2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 11:53 


19/04/11
69
Помогите, пожалуйста, прояснить один момент в понятии предела функции одной переменной. В учебнике Зорича даётся такое определение:

Изображение

При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена. Например, для функции $f(x)=x^2$ при нахождении предела $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, получается, мы не обязаны рассматривать $E=R$, а можем рассмотреть, например, просто $E=(2;5)$. Однако тогда, если мы рассмотрим $E=(2;5)$ и докажем, что предел равен 16, то не придется ли доказывать, что если взять, например, $E=(-10;9)$, то предел останется тем же?

Кудрявцев, например, говорит просто об определенности функции в некоей окрестности:

Изображение

Т.е. тут тоже нет речи про область определения функции - просто про некое подмножество этой области определения. Однако предыдущий вопрос остаётся в силе: если мы найдём предел при условии, что переменная принадлежит именно рассматриваемой проколотой окрестности $\dot{U}\limits_{\delta_0}(x_0)$, то при изменении окрестности, получается, предел нужно перенаходить заново?

Помогите, пожалуйста, разобраться с этим вопросом, что-то я совсем запутался :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):
о рассматриваемой проколотой окрестности $\dot{U}\limits_{\delta_0}(x_0)$, то при изменении окрестности, получается, предел нужно перенаходить заново?

Почему? Предел - это локальное понятие, грубо говоря, нам не важно, откуда все началось, а важно - где все закончится

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:04 


19/04/11
69
thething, спасибо за ответ :)
Неформальное определение предела мне ясно, но хотелось бы уточнить именно формальный подход. О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части? И если мы изменим проколотую окрестность в определении Кудрявцева, не придется ли нам - с точки зрения формального определения - передоказывать предел заново?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Насколько я помню, Зорич в таком обозначении $f(x):E\to\mathbb{R}$ пишет именно об области определения функции.
Может, Вам стОит тогда посмотреть на определение предела в терминах окрестностей (оно эквивалентно определению на языке $\varepsilon-\delta$)

Если Вы нашли хоть одну проколотую окрестность точки $x_0$, то при уменьшении $E$, в нужное число раз сузьте и окрестность и вуаля - все автоматически доказано. При увеличении $E$ с проколотой окрестностью делать вообще ничего не нужно

P.S. Если Вы имели ввиду решение какой-то конкретной задачи "по определению", то да, надо будет по-честному пересчитать $\delta$ при изменении исходного множества

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:15 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
В Зориче - определение предела $\lim\limits_{E\ni x\to a}f(x)=A$.
В Кудрявцеве просто $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, то есть в качестве $E$ можно рассматривать некоторую проколотую окрестность точки $x_0$.
AlexeyM в сообщении #1282303 писал(а):
О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части?
Вопрос звучит несколько некорректно, поскольку чтобы определить функцию, необходимо задать, в частности, ее область определения. То есть множество $E$ разрешенного изменения аргумента. Поэтому, если это множество брать разным, то и пределы могут оказаться разными.
Частный случай: предел слева и предел справа, они могут быть определены и с помощью такой конструкции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):
При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена.
Здесь Вы ошибаетесь -- как раз в приведенной цитате говорится, что $E$ -- всё множество определения функции. Посмотрите определение функции в этом учебнике. Сначала задаётся область определения, а потом "закон отображения" на этой области. Обратите внимание на пример, что $f|_A$ (сужение) это другая функция, которая отличается от $f$ (она даже обозначается там другой буквой -- $\varphi $, во избежание путаницы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:46 


19/04/11
69
grizzly в сообщении #1282315 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282300 писал(а):
При этом не говорится, что множество E - есть всё множество определения функции, т.е. E - просто некое множество, на котором функция определена.
Здесь Вы ошибаетесь -- как раз в приведенной цитате говорится, что $E$ -- всё множество определения функции. Посмотрите определение функции в этом учебнике. Сначала задаётся область определения, а потом "закон отображения" на этой области. Обратите внимание на пример, что $f|_A$ (сужение) это другая функция, которая отличается от $f$ (она даже обозначается там другой буквой -- $\varphi $, во избежание путаницы).


Вот определение функции в учебнике:

Изображение

Там говорится лишь о некоем множестве X. В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$. И это никоим образом не нарушит определение. При этом, разумеется, можно говорить о второй области как о сужении первой.

-- Пн янв 08, 2018 13:52:53 --

thething в сообщении #1282307 писал(а):
Насколько я помню, Зорич в таком обозначении $f(x):E\to\mathbb{R}$ пишет именно об области определения функции.


Да, но Зорич не указывает, какой эта область должна быть. Что я имею в виду: я могу определить $f(x)=x^2$ на интервале $E_1=(2;5)$, а могу и на интервале $E_2=(-9;10)$. Это уже будут разные функции, так как их области определения различны. Таким образом, если строго следовать определению предела, запись $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, применённая к функции $f(x)$, заданной на множестве $E_1$ и запись $\lim\limits_{x\to{4}}f(x)$, применённая к функции $f(x)$, заданной на множестве $E_2$, будет означать пределы двух совершенно разных функций. А если взять множество $E_3=(-100;99)$, то предел, строго следуя формальному определению, придётся опять находить заново? Ведь функции-то каждый раз различны.

thething в сообщении #1282307 писал(а):
Может, Вам стОит тогда посмотреть на определение предела в терминах окрестностей (оно эквивалентно определению на языке $\varepsilon-\delta$)


Хотелось бы разобраться сначала с этим определением :)


thething в сообщении #1282307 писал(а):
Если Вы нашли хоть одну проколотую окрестность точки $x_0$, то при уменьшении $E$, в нужное число раз сузьте и окрестность и вуаля - все автоматически доказано. При увеличении $E$ с проколотой окрестностью делать вообще ничего не нужно.


Да, вы правы - при решении конкретных задач так зачастую и делают: ограничивают переменную неким интервалом, и выполняют преобразования при условии ограничения $x$. Однако всё-таки хотелось бы понять общее определение, так как частных случаев может быть много, и функции тоже могут быть разными. Я просто хочу выбрать для себя то определение, которое будет наиболее точным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 12:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):
Однако всё-таки хотелось бы понять общее определение, так как частных случаев может быть много, и функции тоже могут быть разными. Я просто хочу выбрать для себя то определение, которое будет наиболее точным.

Это как раз общее определение. Для второго достаточно взять $E$, накрывающее хотя бы одну проколотую окрестность точки полностью.
AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):
Да, но Зорич не указывает, какой эта область должна быть.

А что там написано под процитированным Вами из учебника определением функции, как это все обозначается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):
В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$.
Конечно Вы можете так задать. Главное, чтобы Вы понимали, что это будут разные функции. Несмотря на то, что "закон отображения" у них будет похож.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:06 


19/04/11
69
Otta в сообщении #1282308 писал(а):
В Зориче - определение предела $\lim\limits_{E\ni x\to a}f(x)=A$.
В Кудрявцеве просто $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, то есть в качестве $E$ можно рассматривать некоторую проколотую окрестность точки $x_0$.
AlexeyM в сообщении #1282303 писал(а):
О каком именно множестве $E$ говорится у Зорича? Об области определения или, возможно, лишь о её части?
Вопрос звучит несколько некорректно, поскольку чтобы определить функцию, необходимо задать, в частности, ее область определения. То есть множество $E$ разрешенного изменения аргумента. Поэтому, если это множество брать разным, то и пределы могут оказаться разными.
Частный случай: предел слева и предел справа, они могут быть определены и с помощью такой конструкции.


Да, надо было корректно определить термин, который я имею в виду, дабы избежать неточностей. Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено. При этом любое множество $E\subseteq{R}$, для каждого элемента $x$ которого определено значение $f(x)$, является подмножеством множества $X$.

Т.е., мы можем определить функцию $y=x^2$ на разных интервалах. Но вот что именно имеется в виду у Зорича: указанное выше множество $X$ или же произвольное его подмножество $E$, включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
AlexeyM
Нет. То, что Вы имеете в виду, когда пишете про всю область определения, и то, что написано в учебнике - это разные вещи. И коли уж мы взялись разбирать учебник, надо смотреть, что Зорич называет областью определения.

А это Вы сами процитировали. Вот только обозначение не привели к этой цитате. А очень надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:12 


19/04/11
69
grizzly в сообщении #1282326 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282320 писал(а):
В принципе, для функции $y=x^2$ я могу задать $X=(0;5)$, $Y=(0;25)$, или же $X=(1;3)$, $Y=(1;9)$.
Конечно Вы можете так задать. Главное, чтобы Вы понимали, что это будут разные функции. Несмотря на то, что "закон отображения" у них будет похож.


Вот об этом я и пишу :) Функции разные. И получается, доказывать, что $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$ нужно будет заново: для каждого множества $E_i$, на котором определена функция $f(x)$ и которое включается в себя точку $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):
Но вот что именно имеется в виду у Зорича: указанное выше множество $X$ или же произвольное его подмножество $E$, включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?
Ни то, ни другое. Там имеется в виду конкретное (не произвольное), заранее заданное подмножество $\mathbb R$, содержащее точку, в которой мы ищем предел. Точнее даже не обязательно содержащее, а для которого данная точка является предельной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):
включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

Вот это неправильно, точка - она предельная, но не обязана лежать в области определения

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:18 


19/04/11
69
Otta в сообщении #1282328 писал(а):
AlexeyM
Нет. То, что Вы имеете в виду, когда пишете про всю область определения, и то, что написано в учебнике - это разные вещи. И коли уж мы взялись разбирать учебник, надо смотреть, что Зорич называет областью определения.

А это Вы сами процитировали. Вот только обозначение не привели к этой цитате. А очень надо.


Вот что Зорич называет областью определения:

Изображение

Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет. Но я написал выше, что имел в виду под этим термином.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group