Доказательство попарной равносильности условий на множество

[mihaild]

gogoshik в сообщении #1279646 писал(а):

Пусть эти элементы отображаются сами на себя.

Да, всё правильно. На $Y$ отображение сдвигает нумерацию вправо, на $X \setminus Y$ тождественное.

gogoshik в сообщении #1279903 писал(а):

Далее нужно показать как элементы $X$ переводятся в $Y$ и как элементы $X$ переводятся в $X \setminus Y$ или нужно сделать другое?

Нужно задать отображение $X \to X$. Один из способов это сделать - отдельно задать отображение $Y \to X$ и отдельно $(X \setminus Y) \to X$.

[gogoshik]

mihaild, спасибо. Я не понимаю как это правильно оформить.
Пусть $X$ - бесконечное множество. Тогда в множестве $X$ можно выделить счетное подмножество $Y$, такое что $X = Y \cup (X \setminus Y)$ для всех . Рассмотрим отображение $X \xrightarrow{f} X$:

$\begin{equation*} f (x) = \begin{cases} x_n \mapsto x_n, &\text{если x_n \in (X \setminus Y)$}\\ x_n \mapsto x_{n+1}, &\text{иначе.} \end{cases} \end{equation*}$

Это инъекция. Любым двум различным элементам соответствуют различные образы. И можно показать, что при таком отображении найдется хотя бы один элемент, который не будет иметь прообраза. Пусть $X \setminus Y$ состоит из одного элемента $x_1$, тогда $x_1 \mapsto x_1$, $x_2 \mapsto x_3$, ..., $x_n \mapsto x_{n+1}$. Как видно в элемент $x_2$ отображение не перевело ни одного элемента. Пусть $X \setminus Y = \left\lbrace x_1, x_2 \right\rbrace$. Тогда элемент $x_3$ не будет иметь прообраза. И т.д. Следовательно отображение не является сюръекцией.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1280070 писал(а):

\begin{equation*} f (x) = \begin{cases} x_n \mapsto x_n, &\text{если }x_n \in (X \setminus Y)\\ x_n \mapsto x_{n+1}, &\text{иначе.} \end{cases} \end{equation*}

Определение очень плохое. Во-первых, в левой части никакого $x_n$ нет, и никаких пояснений по этому поводу тоже нет. Во-вторых, у Вас перенумерованы только элементы множества $Y$, поэтому написать $x_n\in X\setminus Y$ нельзя. В третьих, сама запись $f(x)=x_n\mapsto x_{n+1}$ без дополнительных пояснений выглядит бессмысленной (возможно, в каких-то математических теориях такая запись осмысленна, но не в стандартной теории множеств).

Правильная запись может выглядеть так:

$$f(x)=\begin{cases}x,\text{ если }x\in X\setminus Y,\\ x_{n+1},\text{ если }x\in Y\text{ и }n\in\mathbb N\text{ такое, что }x_n=x.\end{cases}$$

Чтобы это определение было корректным, должно быть чётко сказано, что элементы множества $Y$ перенумерованы натуральными числами без повторений, то есть, разным натуральным числам соответствуют разные элементы множества $Y$. Иначе можно сказать, что задана биекция (взаимно однозначное отображение) $\mathbb N\to Y$, которая натуральному числу $n$ ставит в соответствие элемент $x_n\in Y$.

P.S. Замечания по поводу использования \LaTeX.
1) Окружения equation, equation* и т.п. не надо окружать знаками доллара, но тег math необходим. Поэтому текст формулы выделяем, нажимаем кнопку math и удаляем знаки доллара, которые вставляются автоматически. На форуме вместо окружений equation и equation* можно использовать двойные знаки доллара, а если потребовалось снабдить формулу номером, непосредственно перед закрывающей парой долларов пишем \eqno(номер).
2) В аргументе команды \text могут быть формулы среди текста. Их надо аккуратно выделять знаками долларов.

[gogoshik]

Someone, спасибо Вам! Учту это.

[gogoshik]

Прошу помочь разобраться, плиз, с оставшейся частью доказательства.
Пусть верно (2). Тогда, как было показано, существует хотя бы один элемент с пустым прообразом. Теперь этот элемент объединим с образом инъекции. Получим множество с мощностью на единицу больше, чем полный прообраз инъекции. И дальше не понимаю как построить сюръекцию. Или тут вступает в силу принцип Дирихле?

[mihaild]

gogoshik в сообщении #1280207 писал(а):

Теперь этот элемент объединим с образом инъекции.

И получим (если такой элемент был один) всё множество. Так неинтересно.

gogoshik в сообщении #1280207 писал(а):

множество с мощностью на единицу больше, чем полный прообраз инъекции

Что в ваших построениях остается той же мощностью.

Для нахождения инъекции, не являющейся сюръекцией, вы построили инъективное, но не сюръективное отображение $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ и из него изготовили нужное отображение $X \to X$. Нельзя ли придумать аналогичную конструкцию для сюръекции, не являющейся инъекцией?