2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение29.12.2017, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
gogoshik в сообщении #1279646 писал(а):
Пусть эти элементы отображаются сами на себя.
Да, всё правильно. На $Y$ отображение сдвигает нумерацию вправо, на $X \setminus Y$ тождественное.
gogoshik в сообщении #1279903 писал(а):
Далее нужно показать как элементы $X$ переводятся в $Y$ и как элементы $X$ переводятся в $X \setminus Y$ или нужно сделать другое?
Нужно задать отображение $X \to X$. Один из способов это сделать - отдельно задать отображение $Y \to X$ и отдельно $(X \setminus Y) \to X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение30.12.2017, 13:27 


11/12/16
403
сБп
mihaild, спасибо. Я не понимаю как это правильно оформить.
Пусть $X$ - бесконечное множество. Тогда в множестве $X$ можно выделить счетное подмножество $Y$, такое что $X = Y \cup (X \setminus Y)$ для всех . Рассмотрим отображение $X \xrightarrow{f} X$:

$\begin{equation*}
f (x) =  \begin{cases}
   x_n \mapsto x_n, &\text{если x_n \in (X \setminus Y)$}\\
   x_n \mapsto x_{n+1}, &\text{иначе.}
 \end{cases}
\end{equation*}$

Это инъекция. Любым двум различным элементам соответствуют различные образы. И можно показать, что при таком отображении найдется хотя бы один элемент, который не будет иметь прообраза. Пусть $X \setminus Y$ состоит из одного элемента $x_1$, тогда $x_1 \mapsto x_1$, $x_2 \mapsto x_3$, ..., $x_n \mapsto x_{n+1}$. Как видно в элемент $x_2$ отображение не перевело ни одного элемента. Пусть $X \setminus Y =  \left\lbrace x_1, x_2 \right\rbrace$. Тогда элемент $x_3$ не будет иметь прообраза. И т.д. Следовательно отображение не является сюръекцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение30.12.2017, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
gogoshik в сообщении #1280070 писал(а):
\begin{equation*}
f (x) =  \begin{cases}
  x_n \mapsto x_n, &\text{если }x_n \in (X \setminus Y)\\
  x_n \mapsto x_{n+1}, &\text{иначе.}
\end{cases}
\end{equation*}
Определение очень плохое. Во-первых, в левой части никакого $x_n$ нет, и никаких пояснений по этому поводу тоже нет. Во-вторых, у Вас перенумерованы только элементы множества $Y$, поэтому написать $x_n\in X\setminus Y$ нельзя. В третьих, сама запись $f(x)=x_n\mapsto x_{n+1}$ без дополнительных пояснений выглядит бессмысленной (возможно, в каких-то математических теориях такая запись осмысленна, но не в стандартной теории множеств).

Правильная запись может выглядеть так: $$f(x)=\begin{cases}x,\text{ если }x\in X\setminus Y,\\ x_{n+1},\text{ если }x\in Y\text{ и }n\in\mathbb N\text{ такое, что }x_n=x.\end{cases}$$ Чтобы это определение было корректным, должно быть чётко сказано, что элементы множества $Y$ перенумерованы натуральными числами без повторений, то есть, разным натуральным числам соответствуют разные элементы множества $Y$. Иначе можно сказать, что задана биекция (взаимно однозначное отображение) $\mathbb N\to Y$, которая натуральному числу $n$ ставит в соответствие элемент $x_n\in Y$.

P.S. Замечания по поводу использования \LaTeX.
1) Окружения equation, equation* и т.п. не надо окружать знаками доллара, но тег math необходим. Поэтому текст формулы выделяем, нажимаем кнопку math и удаляем знаки доллара, которые вставляются автоматически. На форуме вместо окружений equation и equation* можно использовать двойные знаки доллара, а если потребовалось снабдить формулу номером, непосредственно перед закрывающей парой долларов пишем \eqno(номер).
2) В аргументе команды \text могут быть формулы среди текста. Их надо аккуратно выделять знаками долларов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение30.12.2017, 14:39 


11/12/16
403
сБп
Someone, спасибо Вам! Учту это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение30.12.2017, 22:26 


11/12/16
403
сБп
Прошу помочь разобраться, плиз, с оставшейся частью доказательства.
Пусть верно (2). Тогда, как было показано, существует хотя бы один элемент с пустым прообразом. Теперь этот элемент объединим с образом инъекции. Получим множество с мощностью на единицу больше, чем полный прообраз инъекции. И дальше не понимаю как построить сюръекцию. Или тут вступает в силу принцип Дирихле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство попарной равносильности условий на множество
Сообщение31.12.2017, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
gogoshik в сообщении #1280207 писал(а):
Теперь этот элемент объединим с образом инъекции.
И получим (если такой элемент был один) всё множество. Так неинтересно.
gogoshik в сообщении #1280207 писал(а):
множество с мощностью на единицу больше, чем полный прообраз инъекции
Что в ваших построениях остается той же мощностью.

Для нахождения инъекции, не являющейся сюръекцией, вы построили инъективное, но не сюръективное отображение $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ и из него изготовили нужное отображение $X \to X$. Нельзя ли придумать аналогичную конструкцию для сюръекции, не являющейся инъекцией?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group