Несколько задач с однородной веревкой

[fred1996]

wrest в сообщении #1278797 писал(а):

fred1996 в сообщении #1278771 писал(а):

когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности

Для любого допустимого $L_0/L$ ? Например для $L_0/L \ll 1$ ?
Между столом и свободной частью веревки будет излом (очень большое нормальное ускорение).

Излом будет в любом случае, что не должно нас смущать, поскольку веревка на верхней части стола искусственным образом удерживается в горизонтальном положении.
Кстати, вот нашел ссылку, где исследуется много классических задач, связанных с теорией гибкой нити. http://know.alnam.ru/book_gth.php?id=1

[wrest]

fred1996 в сообщении #1278799 писал(а):

Излом будет в любом случае, что не должно нас смущать, поскольку веревка на верхней части стола искусственным образом удерживается в горизонтальном положении.

Ну это не очень-то очевидный аргумент. В статическом случае излом понятен: нет сопротивления изгибу. В динамическом уже не очень понятен. Заменим стол трубкой. Почему вылетающая с края трубки $dm$ должна изломаться и сменить направление с нулевым радиусом кривизны? Интуитивно, движущаяся веревка (цепь) должна бы быть гладкой на концах трубки.

Далее, предположим что мы не меняем положения концов трубки, но меняем угол.

Цветные линии - трубки. По-вашему выходит, что независимо от того, через какую трубку мы пропускаем веревку, при установившемся движении (внутри трубки двигаем веревку с постоянной скоростью) свободная часть веревки будет сектором окружности (черный цвет). Полагаем, что силы тяжести нет, то есть трубки и веревка лежат на гладком (скользком) горизонтальном столе, но трубки мы удерживаем на месте. Физическая интуиция возражает против этого! :) (против синей и особенно красной. а вот против зеленой - нет, там трубка касательная к окружности).

У синей трубки, очевидно, есть два ранозначных решения -- веревка пойдет вверх чертежа и веревка пойдет вниз чертежа. А вот для красной трубки что-то не верится, что может установиться движение такое как показано на чертеже даже если насильно уложить в дополнительную трубку по черной окружности, разогнать веревку и дополнительную трубку убрать.

[fred1996]

wrest
Чисто математически это выглядит так, что мы задаем значение натяжения нити в точке излома. Напомню, что речь идет об абсолютно гибкой нити, у которой отсутствует напряжение на изгиб. Я задал граничное условие таким: $2T\sin\alpha=\sigma Lg$. Этим все определяется. Задайте другое условие в точке излома, будет другое условие. У нас это первая константа интегрирования, которое соответствует прижатой к столу веревке. Если веревку на этих концах не прижимать, излома не будет. И таким образом надо будет считать по другому граничное условие, связанное с натяжением нити. Но это будет другая задача.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1278821 писал(а):

Если веревку на этих концах не прижимать, излома не будет. И таким образом надо будет считать по другому граничное условие, связанное с натяжением нити. Но это будет другая задача.

Почему другая? В качестве начального условия мы задаем форму веревки в виде прямого отрезка только на столе. Да, в статическом случае веревка будет свешиваться с края стола с изломом, тут проблем нет. Откуда возьмется излом при движении веревки - вот что непонятно. Излом это что-то вроде упругого удара, как будто $dm$ ударяется о стенку и отскакивает, но ведь никакой стенки нет.
Хотелось бы конечно посмотреть на то, как ведут себя реальные веревки (вернее - цепи, у которых выполнение условия отсутствия сопротивления изгибу более очевидно).
Как ведет себя реальная цепь я показывал в ролике, выше в моих постах есть ссылка.
https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U
И ведут они себя удивительно, не демонстрируя никакого желания превращаться в окружность при быстром движении.
Поэтому я не очень доверяю, уж простите, вашему решению, которое вы объясняете специфическим выбором граничных условий.

Вот еще видео на тему цепей: https://www.youtube.com/watch?v=-eEi7fO ... e=youtu.be и у него даже есть статья в википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_fountain

И вообще... Оказывается, в реальном мире цепь падает на стол быстрее чем если стола нет:
https://www.scientificamerican.com/arti ... ain-trick/

Цитата:

Experiments by mechanical engineer Andy Ruina and his colleagues at Cornell University in Ithaca, New York, showed that when dropping two chains side by side — one onto a table and one into free space — the chain falling to the table falls faster than the one falling in free space. The suck is explained in the same way as the kick. As a section of chain lands, the first end to touch the surface experiences a pushing force, rotating the rod and pulling down the other end, says Biggins. “To my mind, it's completely astounding.”

Тут как я понимаю проявляется эффект того, цепь состоит из звеньев конечного размера, но все равно... Представляете: цепь которая падает на стол, испытывает "засасывающий эффект"!

[fred1996]

wrest
Вот именно излом и играет роль упругого мгновенного удара о стену. У вас веревка добежала до точки излома с постоянной скоростью, а дальше ее поведение неважно. За точками излома черный ящик. Все что вам требуется знать в точке излома - это натяжение нити. Вы можете и вообще избежать излома просто переформулировав задачу. Считайте, что вы ищете форму кривой не на уровне ниже стола, а на уровне $-h$ ниже стола. У вас форма кривой будет определяться только скоростью веревки, наклоном веревки на данном уровне и расстоянием между точками веревки на данном уровне. То есть на самом деле вы можете вообще повесить крутящуюся веревку на гвоздь, а в качестве двух меняющихся параметров выбрать общую длину веревки и уровень, с какого вы считаете форму веревки. Манипулироя обоими этими параметрами, вы можете подобрать их так, что задача превратится в первоначальную задачу со столом.
Ну а если так уж хочется избежать кривосмыслов, просто изначально решать задачу веревки на тонком гвозде с произвольной длиной. К тонкому гвоздю ее не придется прижимать.

[wrest]

fred1996
Вы как будто не слышите :) Я вам пишу что реальные цепи себя так не ведут в движении, даже близко, как в вашем решении про сегмент окружности. Ролики вам показываю...

Ну хорошо, пусть математика дает сегмент окружности при большой скорости в вашей задаче, я не против математики. :)

-- 26.12.2017, 12:57 --

fred1996 в сообщении #1278838 писал(а):

Все что вам требуется знать в точке излома - это натяжение нити.

А почему вы в точке схода со стола считаете натяжение не зависящим от скорости веревки, а во всех остальных местах вне стола - зависящим?

[wrest]

fred1996 в сообщении #1278799 писал(а):

Кстати, вот нашел ссылку, где исследуется много классических задач, связанных с теорией гибкой нити. http://know.alnam.ru/book_gth.php?id=1

На 177 странице там написано, что в вашей задаче не будет никакого сегмента окружности, а будет цепная линия, как я вам сразу и ответил :)
Форма цепи не зависит от скорости при таком движении, и сохраняется та форма, при которой скорость нулевая.
Соответственно, при отсутствии силы тяжести может сохраняться любая форма. Вы кладете цепь в трубку, разгоняете, трубку убираете, а цепь продолжает двигаться также как двигалась в трубке. Моя интуиция не против такого поворота событий, а ваша?

Да и натурный эксперимент с колесом подтверждает такой вывод, ссылку на видео я приводил. Поищете у себя ошибку? ;)

[fred1996]

wrest
Согласен, что форма нити не зависит от скорости ее движения. Причем у меня ошибки никакой нет. Уравнение составлено правильно. Просто везде добавляется постоянное натяжение $T_v=\sigma v_2$ которое в точности вызывает требуемое нормальное ускорение.
Я просто предположил, что что-то должно измениться. И предположение оказалось неверным.
Забавно, что со школьниками я уже решал задачу о движении веревки на гладком столе в отсутствии внешних сил и доказывалось, что форма движущейся замкнутой цепи не зависит от времени. Меня сбила с тольку сила тяжести, которая, понятно, задает изначальную равновесную форму кривой, на что потом движение не влияет никоим образом, а просто привносит постоянную добавку в силу натяжение, и, соответственно в константу интегрирования $C_1$. Ну что ж. Признаю, что задачку, сам того не подозревая, я предложил поучительную. :)

-- 26.12.2017, 14:28 --

Кстати, в связи с открывшимися (по крайней мере для меня), новыми обстоятельствами, возникает следующая задача. Пусть у нас теперь есть растяжимая нить с известной длиной и к-том упругости. Ее помещают в изогнутую замкнутую трубку, разгоняют до какой-то скорости, а потом моментально удаляют трубку. Видимо если нить абсолютно эластична, она начнет периодически сжиматься-разжиматься. Надо найти период малых колебаний. Для случая начального кругового движения это достаточно просто в силу симметрии. А что будет, если форма трубки произвольна? По-моему тут есть над чем подумать.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1279078 писал(а):

Я просто предположил, что что-то должно измениться. И предположение оказалось неверным.

Ну, немножко по-другому. Я увидел это так, что вы вместо предположения сообщили известный факт:

fred1996 в сообщении #1278771 писал(а):

Известно решение этого уравнения для крайних случаев: когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности,

Мне все-таки интересно, почему вы проигнорировали мои сообщения насчет несоответствия вашего решения "сегмент окружности" эксперименту, но немедленно согласились с ошибочностью вашего предположения после указания на страницу книги. Вы на неё хотя бы глянули? :)

[fred1996]

wrest
Есть объективные причины, а есть субъективные. На моей таблетке видео на обычном ютюбе не открываются. Это первое.
Ну а далее я просто вспомнил, что если раскрутить замкнутую веревку на шкивах, то сила натяжения везде постоянна и складывается из статической и динамической составляющих. Статическую можно убрать. То есть шкивы просто вынуть и веревка продолжит движение без изменения формы. Затем я посмотрел на уравнение, которое вывел, и увидел, что натяжение веревки, вызванное двумя факторами - внешними силами и вращением независимы друг от друга. То есть математически их просто можно сложить и ничего не изменится в решении для формы веревки. Ну и еще постоянно со школьниками решаю задачу на растяжение вращающейся пружины, которая принимает форму окружности. Это и сбило меня с толку.