Несколько задач с однородной веревкой

[dovlato]

Поторопился. Неужели ж без ДУ никак..

[DimaM]

dovlato в сообщении #1276646 писал(а):

Неужели ж без ДУ никак..

В растянутой энергия должна сохраняться. Так что, если зависимость от времени не нужна, можно без ДУ. Но и ДУ не слишком сложное (до отрыва, см. ниже) - длина от времени получается гиперболический косинус, скорость, соответственно, гиперболический синус.
Вот только разогнавшаяся веревка может оторваться от стола, при этом движение конца будет не совсем понятным. Надо ее ограничить гладкой изогнутой трубкой, чтобы не было неоднозначностей.

[fred1996]

DimaM
Ну да. Иногда эту задачу задают как просто соскальзывание со стола. И тогда непонятно, куда девается горизонтальный импульс, который по-видимому край стола сообщает веревке.
Поэтому я и предпочел версию с дыркой в столе, которая и гасит горизонтальную составляющую. Но повидимому версия с трубкой с небольшим радиусом закругления еще корректнее. Ведь в версии с дыркой появляется некая неопределенность в том, что у горизонтальной части веревки на краю стола моментально исчезает горизонтальная составляющая скорости и появляется вертикальная составляющая. То есть опять появляется неупругое взаимодействие с потерей энергии. Его можно избежать, например, поставив упругий отражатель под 45 градусов. В предположении что веревка у нас абсолютно упруга (этакий резиновый шланг). Ну а проще наверное дейтвительно запихать ее трубку с конечной кривизной.

[wrest]

fred1996
Скажите, а вот эти задачи с веревками, они могут быть как-то практически проверены?
Ну например, если задача про маятник подвешенный на нити -- это можно проверить. Или скатить шарик с наклонной поверхности. Если у веревки есть удельная плотность, то есть задачи про цепи и блоки, где удельная плотность (масса участков цепи) как-то учитывается.
А вот спустить наваленную комом веревку в дырку в столе...

В Москве есть такой музей "Экспериментаниум" и там есть аттракцион "Танцующая цепь"
Суть его в том, что имеется блок через который перекинута замкнутая цепь. За цепь можно дергать, тогда блок крутится, выглядит это так:
https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U
Так вот, я там был мед-пиво пил и за цепь дергал. Интуитивно мне казалось что внизу должно получиться что-то типа полукруга, радиус которого будет увеличиваться с увеличением скорости. Но нет, ничего такого. Более того, нижняя часть (где звенья цепи меняют направление движения от сверху-вниз до снизу-вверх) бывает с очень малым радиусом закругления.

Вопрос: теряется ли там (внизу, на развороте) кинетическая энергия и сколько, если цепь, а также блок вверху, "идеальные".

Допустим, известна удельная плотность цепи (ну скажем 0,5 кг на метр), радиус верхнего блока (ну скажем, полметра) и начальная скорость (мы дергаем цепь примерно за середину между блоком и землей и разгоняем её равномерно до скорости 5 метров в секунду за короткое время, ну скажем за одну секунду). Определить зависимость угловой скорости блока от времени. Ни решения, ни ответа мне неизвестно, только впечатления от натурного эксперимента с неидеальными цепью и блоком.

[fred1996]

wrest
Ну вот вам хорошая задача. Повесили замкнутую однородную веревку длины $L$ и массы $m$ на гвоздь и раскрутили с линейной скоростью $v$. Составить дифференциальное уравнение стационарной кривой, форму которой может принять веревка при отсутствии энергетических потерь. Очевидно, что при очень больших скоростях форма будет приближаться к круговой.
Чтобы задача приобрела более реальный вид, давайте ее положим на тонкий столик ширины $L_0$ и будем искусственно поддерживать постоянную скорость $v$.

Очевидно, свисающая часть веревки будет описываться тем же ДУ.

[wrest]

fred1996

fred1996 в сообщении #1276773 писал(а):

Составить дифференциальное уравнение стационарной кривой, форму которой может принять веревка при отсутствии энергетических потерь.

Ответ, из эксперимента в Эксериментаниуме: форма до начала движения и после одна и та же. В этом случае -- форма отрезка.

fred1996 в сообщении #1276773 писал(а):

Очевидно, что при очень больших скоростях форма будет приближаться к круговой.

Вот мне это совсем не очевидно, об этом был мой предыдущий пост.

fred1996 в сообщении #1276773 писал(а):

Чтобы задача приобрела более реальный вид, давайте ее положим на тонкий столик ширины $L_0$ и будем искусственно поддерживать постоянную скорость $v$.
Изображение

Не уверен что будет отличаться от цепной линии.

[fred1996]

wrest
Вы забываете, что каждый малый элемент движущейся веревки меняет направление вектора скорости, то есть должна появиться дополнительная нормальная составляющая ускорения. В векторной форме уравнение выглядит следующим образом:
$\vec{T_2}-\vec{T_1}+\Delta m\vec{g}=\frac{v^2}{r}\vec{n}$
Здесь $r$ - это радиус кривизны веревки в данной точке, а $\vec{n}$ - единичный вектор нормали в ней.
Как видно, только при $v=0$ оно превращается в обычное уравнение для провисающей веревки.
То есть нам надо преобразовать это уравнение в реальный дифур, который, понятным делом, будет второго порядка. Поэтому он будет включать две константы интегрирования, которые получатся из длины $L$ и длины провисающей части веревки.

[fred1996]

Кстати, этот дифур может быть приближенно решен при очень малых и очень больших скоростях. В первом случае у нас решение - цепная линия, слегка возмущенная движением веревки.
Во втором случае у нас движение по окружности, слегка возмущенное силой тяжести.
Я там в уравнение забыл массу вставить в правую часть.

[DimaM]

Очень достойная задача:
на гладком столе лежит сложенная пополам веревка длины $L$ и массы $M$. За один конец начинают тянуть с постоянной силой $F$ вдоль веревки.
1) Как зависит от времени смещение этого конца?
2) Какую скорость приобретет веревка, когда распрямится полностью?

[wrest]

DimaM в сообщении #1277599 писал(а):

на гладком столе лежит сложенная пополам веревка длины $L$ и массы $M$. За один конец начинают тянуть с постоянной силой $F$ вдоль веревки.
1) Как зависит от времени смещение этого конца?

В момент времени $t=0$ начинает двигаться веревка длиной $L/2$ и следовательно массой $M/2$, так что ускорение по закону Ньютона будет $2F/M$. К моменту распрямления масса движущейся части станет равна $M$, а ускорение соответственно $F/M$
Пусть конец веревки сдвинулся на $s$. Тогда длина движущейся части веревки стала равна $L/2+s/2$ (ясно что чтобы веревка полностью распрямилась, её надо сдвинуть на $s=L$). Ускорение в этом положении будет соответственно равно $2F/(M+s/L)$
Хм... оказывается, ускорение падает кучеряво в зависимости от пройденного концом веревки пути.
Ну поскольку, как учит нас Munin, Ньютон формулировал второй закон как $F(t)=dp/dt=d(mv)/dt$, а поскольку мы знаем зависимость массы от пройденного пути но не знаем ее зависимость от времени, то сперва перепишем 2-й закон Ньютона так:
$m(s)=\dfrac{M}{2}(1+\dfrac{s}{L})=\dfrac{M}{2L}(L+s)$ и $F=a(t)m(s(t))$

и перепишем учитывая $ds(t)/dt=v(t)$:

$$F=d(mv)/dt=\dfrac{M}{2L}\dfrac{d\left((L+s(t))v(t)\right)}{dt} \eqno(1)$$

$$\dfrac{2FL}{M}=\dfrac{d\left((L+s(t))v(t)\right)}{dt} \eqno(2)$$

Ну тут, как водится, "сокращаем $d$", "домножаем" обе части на $t$ и получаем

$$\dfrac{2FLt}{M}=(L+s(t))v(t)+Const \eqno(3)$$

При $t=0$ скорость тоже равна нулю, так что $Const=0$ и подставляя $v(t)=ds(t)/dt$ получаем

$$(L+s(t))\dfrac{ds(t)}{dt}=\dfrac{2FLt}{M} \eqno(4)$$

"Домножаем" на $dt$ обе части (4) и записываем:

$$(L+s(t)){ds(t)}=\dfrac{2FLt}{M}dt \eqno(5)$$

Интегрируем (5), получаем:

$$\int_0^s(L+s)ds=\int_0^t\dfrac{2FLt}{M}dt \eqno(6)$$

Вычисляем определенные интегралы в (6):

$$Ls+s^2/2=FLt^2/M \eqno(7)$$

Дальше находим зубодробительный дискриминант квадратного уравнения (7) относительно $s$, равный $4L^2+4\cdot\dfrac{2FLt^2}{M}$, корень из него равный $2\sqrt{L^2+\dfrac{2FLt^2}{M}}$ и записываем решение

$$s(t)=\dfrac{-2L\pm 2\sqrt{L^2+\dfrac{2FLt^2}{M}}}{2}=-L\pm \sqrt{L^2+\dfrac{2FLt^2}{M} \eqno(8)$$

Фух... это (8) значит ответ на первую часть.

DimaM в сообщении #1277599 писал(а):

2) Какую скорость приобретет веревка, когда распрямится полностью?

Приступаем ко второй.
Когда веревка размотается вся, то будет $s(t)=L$ Подставляем в (8) и ищем чему равно $t$

$$L=-L+ \sqrt{L^2+\dfrac{2FLt^2}{M}} \eqno(9)$$

Под корнем должно получиться $4L^2$ то исть:

$$L^2+\dfrac{2FLt^2}{M}=4L^2 \eqno(10)$$

откуда

$$t=\sqrt{\dfrac{3ML}{2F}} \eqno(11) $$

Считаем производную пройденного пути по времени (спасибо Вольфрам альфе):

$$v(t)=ds(t)/dt=\dfrac{2FLt}{M\sqrt{\dfrac{2FLt^2}{M}+L^2}} \eqno(12)$$

и наконец подставляем в (12) $t=\sqrt{\dfrac{3ML}{2F}}$:

$$v(\sqrt{\dfrac{3ML}{2F}})=\dfrac{2FL\sqrt{\dfrac{3ML}{2F}}}{M\sqrt{\dfrac{2FL\dfrac{3ML}{2F}}{M}+L^2}} \eqno(13)$$

и окончательно

$$v=\sqrt\dfrac{FL}{2M}} \eqno(14)$$

(14) -- ответ на второй вопрос задачи.

[fred1996]

wrest
Вы забыли подсказку pogulyat_vyshel
Время вы посчитали верно, а вот со скоростью где-то ошиблись.
Поскольку в конце имеем $MV=Ft$

[wrest]

fred1996 в сообщении #1277674 писал(а):

Время вы посчитали верно, а вот со скоростью где-то ошиблись.

А, да. Тройку в числителе под корнем потерял при вычислении (13), хотя само (13) записано верно.
Правильно:

$$v=\sqrt\dfrac{3FL}{2M}} \eqno(14)$$

(14) -- ответ на второй вопрос задачи.

[fred1996]

wrest
Ну а все-таки, попробуйте просто исходя из движения ЦМ.
Получится гораздо короче.

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1276773 писал(а):

wrest
Ну вот вам хорошая задача. Повесили замкнутую однородную веревку длины $L$ и массы $m$ на гвоздь и раскрутили с линейной скоростью $v$. Составить дифференциальное уравнение стационарной кривой, форму которой может принять веревка при отсутствии энергетических потерь. Очевидно, что при очень больших скоростях форма будет приближаться к круговой.
Чтобы задача приобрела более реальный вид, давайте ее положим на тонкий столик ширины $L_0$ и будем искусственно поддерживать постоянную скорость $v$.

Очевидно, свисающая часть веревки будет описываться тем же ДУ.

Составление ДУ.

Рассмотрим небольшой кусочек веревки массы $dm$. Естественнее всего наверное рассмотреть задачу в смешанных координатах. То есть силы разложим по собственным координатам веревки, которые представляют локальное касательное направление и нормальное к нему.
Поскольку движение стационарно, то тангенциальное ускорение равно нулю, а нормальное определяется формулой $a_n=\frac{v^2}{r}$, где $r=\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{y - локальный радиус кривизны.
Запишем уравнения Ньютона для обоих направлений.
Вдоль веревки получим:
$dT=dmg\sin\alpha$
Здесь $\alpha$ - угол наклона нашего кусочка к горизонту. Подставим значения: $dm=\sigma dx(1+y'^2)^{1/2}$, $\sin\alpha=\frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}}$
То есть $dT=\sigma gdy$
Интегрируя, получим $T=\sigma gy+C_1$
Пусть у нас оси расположены так, что ось y симметрична рисунку, а ось x совпадает с уровнем стола.
Тогда первая константа определяется из уравнения равновесия по вертикали для всей веревки: $2C_1\sin\alpha=\sigma Lg$, или $C_1=\frac{\sigma Lg}{2}\frac{(1+y'^2)^{1/2}}{y'}$. Здесь значение $y'$ берется в точке $L_0/2$

Второе уравнение вычисляем по нормали к кусочку.
$Td\alpha-dmg\cos\alpha=dmv^2/r$

Делаем подстановки: $\tg\alpha=y'$, dm= $\sigma dx(1+y'^2)^{1/2}$, r=$\frac{(1+y'^2)^{3/2}}{y
И окончательно имеем:
$(C_1+\sigma gy)-v^2\sigma)y''=\sigma g(1+y'^2)$
Уравнение связи для первой константы мы уже определили. У нас для уравнения второго порядка имеются еще две константы, которые определяются параметрами $L$ и $L_0$ - длиной провисающей части веревки и длиной плоской части веревки на столе.

-- 25.12.2017, 14:58 --

Известно решение этого уравнения для крайних случаев: когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности, и когда $v=0$. Это будет цепная линия.
Предлагается оценить поправку в решение при возникновении малых параметров $v$ или $g$

[wrest]

fred1996 в сообщении #1278771 писал(а):

когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности

Для любого допустимого $L_0/L$ ? Например для $L_0/L \ll 1$ ?
Между столом и свободной частью веревки будет излом (очень большое нормальное ускорение).