2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 10:01 
Аватара пользователя


09/10/15
4056
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest в сообщении #1278797 писал(а):
fred1996 в сообщении #1278771 писал(а):
когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности

Для любого допустимого $L_0/L$ ? Например для $L_0/L \ll 1$ ?
Между столом и свободной частью веревки будет излом (очень большое нормальное ускорение).

Излом будет в любом случае, что не должно нас смущать, поскольку веревка на верхней части стола искусственным образом удерживается в горизонтальном положении.
Кстати, вот нашел ссылку, где исследуется много классических задач, связанных с теорией гибкой нити. http://know.alnam.ru/book_gth.php?id=1

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 11:01 


05/09/16
8877
fred1996 в сообщении #1278799 писал(а):
Излом будет в любом случае, что не должно нас смущать, поскольку веревка на верхней части стола искусственным образом удерживается в горизонтальном положении.

Ну это не очень-то очевидный аргумент. В статическом случае излом понятен: нет сопротивления изгибу. В динамическом уже не очень понятен. Заменим стол трубкой. Почему вылетающая с края трубки $dm$ должна изломаться и сменить направление с нулевым радиусом кривизны? Интуитивно, движущаяся веревка (цепь) должна бы быть гладкой на концах трубки.

Далее, предположим что мы не меняем положения концов трубки, но меняем угол.
Изображение
Цветные линии - трубки. По-вашему выходит, что независимо от того, через какую трубку мы пропускаем веревку, при установившемся движении (внутри трубки двигаем веревку с постоянной скоростью) свободная часть веревки будет сектором окружности (черный цвет). Полагаем, что силы тяжести нет, то есть трубки и веревка лежат на гладком (скользком) горизонтальном столе, но трубки мы удерживаем на месте. Физическая интуиция возражает против этого! :) (против синей и особенно красной. а вот против зеленой - нет, там трубка касательная к окружности).

У синей трубки, очевидно, есть два ранозначных решения -- веревка пойдет вверх чертежа и веревка пойдет вниз чертежа. А вот для красной трубки что-то не верится, что может установиться движение такое как показано на чертеже даже если насильно уложить в дополнительную трубку по черной окружности, разогнать веревку и дополнительную трубку убрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 11:30 
Аватара пользователя


09/10/15
4056
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest
Чисто математически это выглядит так, что мы задаем значение натяжения нити в точке излома. Напомню, что речь идет об абсолютно гибкой нити, у которой отсутствует напряжение на изгиб. Я задал граничное условие таким: $2T\sin\alpha=\sigma Lg$. Этим все определяется. Задайте другое условие в точке излома, будет другое условие. У нас это первая константа интегрирования, которое соответствует прижатой к столу веревке. Если веревку на этих концах не прижимать, излома не будет. И таким образом надо будет считать по другому граничное условие, связанное с натяжением нити. Но это будет другая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 11:51 


05/09/16
8877
fred1996 в сообщении #1278821 писал(а):
Если веревку на этих концах не прижимать, излома не будет. И таким образом надо будет считать по другому граничное условие, связанное с натяжением нити. Но это будет другая задача.

Почему другая? В качестве начального условия мы задаем форму веревки в виде прямого отрезка только на столе. Да, в статическом случае веревка будет свешиваться с края стола с изломом, тут проблем нет. Откуда возьмется излом при движении веревки - вот что непонятно. Излом это что-то вроде упругого удара, как будто $dm$ ударяется о стенку и отскакивает, но ведь никакой стенки нет.
Хотелось бы конечно посмотреть на то, как ведут себя реальные веревки (вернее - цепи, у которых выполнение условия отсутствия сопротивления изгибу более очевидно).
Как ведет себя реальная цепь я показывал в ролике, выше в моих постах есть ссылка.
https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U
И ведут они себя удивительно, не демонстрируя никакого желания превращаться в окружность при быстром движении.
Поэтому я не очень доверяю, уж простите, вашему решению, которое вы объясняете специфическим выбором граничных условий.

Вот еще видео на тему цепей: https://www.youtube.com/watch?v=-eEi7fO ... e=youtu.be и у него даже есть статья в википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_fountain

И вообще... Оказывается, в реальном мире цепь падает на стол быстрее чем если стола нет:
https://www.scientificamerican.com/arti ... ain-trick/
Цитата:
Experiments by mechanical engineer Andy Ruina and his colleagues at Cornell University in Ithaca, New York, showed that when dropping two chains side by side — one onto a table and one into free space — the chain falling to the table falls faster than the one falling in free space. The suck is explained in the same way as the kick. As a section of chain lands, the first end to touch the surface experiences a pushing force, rotating the rod and pulling down the other end, says Biggins. “To my mind, it's completely astounding.”

Тут как я понимаю проявляется эффект того, цепь состоит из звеньев конечного размера, но все равно... Представляете: цепь которая падает на стол, испытывает "засасывающий эффект"!

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 12:32 
Аватара пользователя


09/10/15
4056
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest
Вот именно излом и играет роль упругого мгновенного удара о стену. У вас веревка добежала до точки излома с постоянной скоростью, а дальше ее поведение неважно. За точками излома черный ящик. Все что вам требуется знать в точке излома - это натяжение нити. Вы можете и вообще избежать излома просто переформулировав задачу. Считайте, что вы ищете форму кривой не на уровне ниже стола, а на уровне $-h$ ниже стола. У вас форма кривой будет определяться только скоростью веревки, наклоном веревки на данном уровне и расстоянием между точками веревки на данном уровне. То есть на самом деле вы можете вообще повесить крутящуюся веревку на гвоздь, а в качестве двух меняющихся параметров выбрать общую длину веревки и уровень, с какого вы считаете форму веревки. Манипулироя обоими этими параметрами, вы можете подобрать их так, что задача превратится в первоначальную задачу со столом.
Ну а если так уж хочется избежать кривосмыслов, просто изначально решать задачу веревки на тонком гвозде с произвольной длиной. К тонкому гвоздю ее не придется прижимать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 12:52 


05/09/16
8877
fred1996
Вы как будто не слышите :) Я вам пишу что реальные цепи себя так не ведут в движении, даже близко, как в вашем решении про сегмент окружности. Ролики вам показываю...

Ну хорошо, пусть математика дает сегмент окружности при большой скорости в вашей задаче, я не против математики. :)

-- 26.12.2017, 12:57 --

fred1996 в сообщении #1278838 писал(а):
Все что вам требуется знать в точке излома - это натяжение нити.

А почему вы в точке схода со стола считаете натяжение не зависящим от скорости веревки, а во всех остальных местах вне стола - зависящим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение26.12.2017, 20:01 


05/09/16
8877
fred1996 в сообщении #1278799 писал(а):
Кстати, вот нашел ссылку, где исследуется много классических задач, связанных с теорией гибкой нити. http://know.alnam.ru/book_gth.php?id=1

На 177 странице там написано, что в вашей задаче не будет никакого сегмента окружности, а будет цепная линия, как я вам сразу и ответил :)
Форма цепи не зависит от скорости при таком движении, и сохраняется та форма, при которой скорость нулевая.
Соответственно, при отсутствии силы тяжести может сохраняться любая форма. Вы кладете цепь в трубку, разгоняете, трубку убираете, а цепь продолжает двигаться также как двигалась в трубке. Моя интуиция не против такого поворота событий, а ваша?

Да и натурный эксперимент с колесом подтверждает такой вывод, ссылку на видео я приводил. Поищете у себя ошибку? ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение27.12.2017, 00:41 
Аватара пользователя


09/10/15
4056
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest
Согласен, что форма нити не зависит от скорости ее движения. Причем у меня ошибки никакой нет. Уравнение составлено правильно. Просто везде добавляется постоянное натяжение $T_v=\sigma v_2$ которое в точности вызывает требуемое нормальное ускорение.
Я просто предположил, что что-то должно измениться. И предположение оказалось неверным.
Забавно, что со школьниками я уже решал задачу о движении веревки на гладком столе в отсутствии внешних сил и доказывалось, что форма движущейся замкнутой цепи не зависит от времени. Меня сбила с тольку сила тяжести, которая, понятно, задает изначальную равновесную форму кривой, на что потом движение не влияет никоим образом, а просто привносит постоянную добавку в силу натяжение, и, соответственно в константу интегрирования $C_1$. Ну что ж. Признаю, что задачку, сам того не подозревая, я предложил поучительную. :)

-- 26.12.2017, 14:28 --

Кстати, в связи с открывшимися (по крайней мере для меня), новыми обстоятельствами, возникает следующая задача. Пусть у нас теперь есть растяжимая нить с известной длиной и к-том упругости. Ее помещают в изогнутую замкнутую трубку, разгоняют до какой-то скорости, а потом моментально удаляют трубку. Видимо если нить абсолютно эластична, она начнет периодически сжиматься-разжиматься. Надо найти период малых колебаний. Для случая начального кругового движения это достаточно просто в силу симметрии. А что будет, если форма трубки произвольна? По-моему тут есть над чем подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение27.12.2017, 11:01 


05/09/16
8877
fred1996 в сообщении #1279078 писал(а):
Я просто предположил, что что-то должно измениться. И предположение оказалось неверным.

Ну, немножко по-другому. Я увидел это так, что вы вместо предположения сообщили известный факт:
fred1996 в сообщении #1278771 писал(а):
Известно решение этого уравнения для крайних случаев: когда $g=0$, что соответствует очень большой скорости - это будет сегмент окружности,

Мне все-таки интересно, почему вы проигнорировали мои сообщения насчет несоответствия вашего решения "сегмент окружности" эксперименту, но немедленно согласились с ошибочностью вашего предположения после указания на страницу книги. Вы на неё хотя бы глянули? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Несколько задач с однородной веревкой
Сообщение27.12.2017, 19:28 
Аватара пользователя


09/10/15
4056
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
wrest
Есть объективные причины, а есть субъективные. На моей таблетке видео на обычном ютюбе не открываются. Это первое.
Ну а далее я просто вспомнил, что если раскрутить замкнутую веревку на шкивах, то сила натяжения везде постоянна и складывается из статической и динамической составляющих. Статическую можно убрать. То есть шкивы просто вынуть и веревка продолжит движение без изменения формы. Затем я посмотрел на уравнение, которое вывел, и увидел, что натяжение веревки, вызванное двумя факторами - внешними силами и вращением независимы друг от друга. То есть математически их просто можно сложить и ничего не изменится в решении для формы веревки. Ну и еще постоянно со школьниками решаю задачу на растяжение вращающейся пружины, которая принимает форму окружности. Это и сбило меня с толку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group