Почему вероятность ∈ [0; 1]?

[92285]

Как в современной математике обосновывается, почему вероятность лежит в интервале [0; 1] и не может принимать значений за пределами этого интервала?

(Более точно, меня интересует только верхняя граница интервала. Вероятность — частный случай меры множества, так что она неотрицательна по свойствам меры. А вот почему верхняя граница именно 1 — это вопрос.)

UPD.

Это, наверное, первый случай, когда попадают в карантин после цитирования Колмогорова.

Поскольку формальным поводом для карантина послужила формулировка «отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и)», предлагаю такую попытку. Буду пользоваться обозначениями из учебника Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» (8-е изд.; М.: УРСС, 2005), за исключением буквы $p$.

Итак, задача состоит в том, чтобы с формальной строгостью внести в основания теории вероятностей концепцию доли, которая интуитивно интерпретируется как отношение части к целому, содержащему эту часть.

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega ,\mathfrak{F} ,\textsf{P})$. Для начала пусть для любого $A \in \mathfrak{F}$ (в том числе для $A = \Omega$) будет так, что $\textsf{P}(A)$ существует и конечно, а $\textsf{P}(\Omega)$ к тому же строго больше 0.

Затем доказываем, что $\forall A:0 \leqslant \textsf{P}(A) \leqslant \textsf{P}(\Omega)$. (1) (Доказательство аналогично тому, что приводится в упомянутом учебнике на сс. 51–52, за исключением того, что там 1 вместо $\textsf{P}(\Omega)$.)

Затем из того, что действительные числа образуют поле, получаем, что существует и единственно $\textsf{P}(\Omega)^{ - 1}$.

Наконец, определяем $p(A) = \textsf{P}(A) \cdot \textsf{P}(\Omega)^{ - 1}$. Из (1) получаем, что $0 \leqslant p(A) \leqslant 1$, и эта самая $p$ и есть вероятность в привычном смысле, только теперь диапазон её значений не постулируется, а доказывается.

Второй случай: если $\textsf{P}(\Omega) = 0$, то $\forall A:\textsf{P}(A)=0$, и полагаем по определению $p(\Omega) = 0$, дальше всё опять сходится с обычной теорией вероятностей.

Остаётся третий случай, когда $\textsf{P}(\Omega)$ не ограничено (точнее, хотя бы одно из $\textsf{P}(A)$ не ограничено), и в этом случае я не знаю, как формализовать понятие доли. Чтобы разобраться в этом случае, мне нужна помощь специалистов.

Едем дальше, или будем искать новый повод для карантина?

[alesha_popovich]

92285 в сообщении #1278003 писал(а):

А вот почему верхняя граница именно 1 — это вопрос

По определению.

[92285]

alesha_popovich в сообщении #1278004 писал(а):

По определению.

А чем руководствовались авторы определения, устанавливая именно такую границу? Почему они решили а) вообще ограничить вероятность сверху каким-либо числом; б) установить в качестве этого числа именно 1, а не какое-то другое?

[george66]

Если мера всего пространства конечна, удобно принять её за единицу, только и всего. Ключевое различие - конечна или бесконечна.

[atlakatl]

92285
Классическое определение вероятности $P=A/N$ выдаёт число именно в границах [0;1]. Колмогоров продолжил эту традицию.

[dsge]

В быту "шанс 60%" означает вероятность 0.6, а 100% - это как раз 1.

[gris]

Если бы приняли какую-то другую верхнюю границу, то все формулы бы усложнились. Например, пересечения независимых событий. Почему в матане углы считают в радианах? Замучились бы студенты третью производную от синуса считать. Так же и тут. Учёный он как правило преподаватель. И о студентах думает. Ему же самому экзамены принимать. И надо ему в поправочных коэффициентах колупаться?

[92285]

Пока получается, что единственное основание а) ограничения как такового и б) ограничения именно числом 1 — это обратная совместимость с «классической» теорией вероятностей. Программисты сказали бы, что это костыль и дыра в абстракции, а также что введение произвольного «магического числа» портит концептуальную целостность всей конструкции.

Известны ли в науке попытки отрефакторить основания теории вероятностей, чтобы избавить их от элементов legacy и произвола?

-- 23.12.2017, 18:38 --

gris в сообщении #1278020 писал(а):

Если бы приняли какую-то другую верхнюю границу…

Неприятность в том, что какую бы конкретную верхнюю границу не принять, проблема субъективного произвола её выбора от этого не ликвидируется. А меня интересует, как построить теорию вероятностей без этой проблемы.

[mihaild]

$1$ - это не произвольное магическое число, это нейтральный элемент по умножению.

[svv]

92285 в сообщении #1278024 писал(а):

А меня интересует, как построить теорию вероятностей без этой проблемы.

Ну, хорошо, давайте определим «новую вероятность» $\xi$ через вероятность $p$ так:

$$\xi=\frac 1{1-p}-\frac 1 p$$

Такая величина может принимать любое действительное значение, а ещё $+\infty$ и $-\infty$. Пользуйтесь на здоровье!

[92285]

mihaild в сообщении #1278028 писал(а):

$1$ - это не произвольное магическое число, это нейтральный элемент по умножению.

Это никак не объясняет, почему именно это число подходит больше любого другого как верхняя граница для вероятности. Как понятие вероятности связано с нейтральностью относительно умножения? У чисел π и e тоже много интересных свойств, почему бы не выбрать какое-то из них? И уж тем более ваш аргумент не объясняет, зачем вообще устанавливать какую бы то ни было верхнюю границу.

[provincialka]

92285 в сообщении #1278024 писал(а):

как построить теорию вероятностей без этой проблемы.

А это проблема? Хм... не замечала...

george66 в сообщении #1278015 писал(а):

Ключевое различие - конечна или бесконечна.

А если она конечна, то "всё" и "единица" -- это просто синонимы. Вероятность -- это доля от "всего", а больше чем "всё" не бывает.

[mihaild]

92285 в сообщении #1278033 писал(а):

почему именно это число подходит больше любого другого как верхняя граница для вероятности

Потому что во многих местах вылезает в качестве сомножителя мера всего пространства. Если мера всего пространства равна единице, то запись упрощается.

Ну и вообще, есть раздел "теория меры", в котором рассматриваются пространства как с конечной, так и с бесконечной мерой. А теория вероятности - раздел математики, изучающий пространства с вероятностной мерой и оперирующий понятием независимости. Это просто определение тервера.

[92285]

svv в сообщении #1278030 писал(а):

Ну, хорошо, давайте определим «новую вероятность» $\xi$ через вероятность $p$ так:

$$\xi=\frac 1{1-p}-\frac 1 p$$

Такая величина может принимать любое действительное значение, а ещё $+\infty$ и $-\infty$. Пользуйтесь на здоровье!

Это не помогает. Вы предлагаете определять «новую» вероятность через «старую», но при этом все проблемы, которые меня настораживают в определении «старой» вероятности, так и остаются.

[Dan B-Yallay]

92285 в сообщении #1278033 писал(а):

Это никак не объясняет, почему именно это число подходит больше любого другого как верхняя граница для вероятности.

Вообще-то не хотелось бы, чтобы вероятность пересечения двух событий была больше, нежели вероятность каждого в отдельности. Такое объяснение Вас устроит?