Диофантовые уравнения и тригонометрия.

[Коровьев]

Вот ещё очень интересное тригонометрическое тождество

$$\[ \sin ^4 \alpha + \cos ^4 \alpha + \sin ^4 \alpha \cos ^4 \alpha = \left( {1 - \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha } \right)^2 \]$

Опять, заменяя тригонометрические функции на их диофантовые аналоги и освободившись от дробей получим параметрическое решение очень серьёзного диофантового уравнения в целых числах

$\[a^4 + b^4 + c^4 = d^2\]$

$$\[ \left( {2k^3 t + 2kt^3 } \right)^4 + \left( {2k^3 t - 2kt^3 } \right)^4 + \left( {k^4 - t^4 } \right)^4 = \left( {k^8 + 14k^4 t^4 + t^8 } \right)^2 \]$

[scwec]

Можно продолжить бесконечную цепочку 2-параметрических решений уравнения $a^4+b^4+c^4=d^2$
$a=2(2k^3{t}+2t^3{k})(k^{12}+13{k^8}{t^4}-13{k^4}{t^8}-t^{12})$

$b=2(2k^3{t}-2t^3{k})(k^{12}+13{k^8}{t^4}-13{k^4}{t^8}-t^{12})$

$c=k^{16}-36k^{12}{t^4}-186{k^8}{t^8}-36t^{12}{k^4}+t^{16}$

$d=k^{32}+184k^{28}{t^4}+1436k^{24}{t^8}+8968k^{20}t^{12}+44358k^{16}t^{16}$

$+8968k^{12}t^{20}+1436{k^8}t^{24}+184t^{28}{k^4}+t^{32}$
И так далее.
Все они получаются из рациональных точек эллиптической кривой c ненулевым рангом
$Y^2=X^3-64k^4{t^4}((k^2+t^2)^4+(k^2-t^2)^4)X$
Не очевидно, может ли $d$ быть квадратом при $tk\ne{0}$, что является здесь главным интересом.

[Коровьев]

Да уж. Уравнение ужасное.
Один путь упрощения есть. Преобразуем $\[m = \frac{k}{t}\]$

$$\[ \left( {m^{16} + m^{ - 16} } \right) + 184\left( {m^{12} + m^{ - 12} } \right) + 1436\left( {m^8 + m^{ - 8} } \right) + 8968\left( {m^4 + m^{ - 4} }\right) + 44358 \] $

Расширим область переменной $\[m^4 = n\]$

$$\[ d^2 = \left( {n^4 + n^{ - 4} } \right) + 184\left( {n^3 + n^{ - 3} } \right) + 1436\left( {n^2 + n^{ - 2} } \right) + 8968\left( {n + n^{ - 1} } \right) + 44358 \] $

Далее обозначим $\[n + n^{ - 1} = x\]$

Тогда

$\[ n^2 + n^{ - 2} = x^2 - 2 \] $

$\[ n^3 + n^{ - 3} = x^3 - 3x \] $

$\[ n^4 + n^{ - 4} = x^4 - 4x^2 - 14 \]$

Получим эллиптическое уравнение

$\[ {d^2 = x^4 + 184x^3 + 1432x^2 + 8416x + 41472} \]$

где
$\[x=n + n^{ - 1} \]$

$\[n = m^4\]$

Ранг эл.уравнения по видимому больше нуля ( имеется рациональное не целое решение), так что толку от этого упрощения мало.

[scwec]

Ранг кривой $y^2-x^4-184x^3-1432x^2-8416x-41472=0$ действительно больше нуля.
Приведу две рациональные точки на ней:
$(x,y)=\dfrac{-161}{34},\dfrac{140135}{1156}$ и

$(x,y)=\dfrac{579330369}{234866260},\dfrac{14979591321706987791}{55162160086387600}$
Поскольку рациональных точек конечного порядка, кроме $\infty$ на этой кривой нет (надо доказывать), то наличие любой рациональной точки, хотя бы и целой, означает наличие бесконечного числа рациональных точек на кривой.
А вот еще одна рациональная точка на нашей кривой
$x=\dfrac{348294194568511489}{98472043950858240}$

$y=\dfrac{3027065297975152819839908881374576641}{9696743439859756896500032575897600}$
Рациональных точек на кривой бесконечно много и для каждой точки надо проверить разрешимость в рациональных числах уравнения
$m^4+\dfrac{1}{m^4}=x$. В трех приведенных примерах оно неразрешимо.

[Коровьев]

10. Расширение рассмотренных аналогов до двухпараметрических

10.1. Общая часть.
Выше были рассмотрены диофантовые тригонометрические аналоги основанные на уравнении в рациональных числах
$x^2+y^2=1$

Аналогично, рассмотрим уравнение в рациональных числах
$x^2+y^2+z^2=1$
имеющее общее решение

$$\[ \left( {\frac{{2a}}{{1 + a^2 + b^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{2b}}{{1 + a^2 + b^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 - a^2 - b^2 }}{{1 + a^2 + b^2 }}} \right)^2 = 1 \]$

Обозначим
$$\[ \alpha = a + bi,\bar \alpha = a - bi \]$

Тогда приведённое тождество можно записать так
$$\[ \left( {\frac{{\alpha + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2 + \left( {\frac{{ - \alpha i + \bar \alpha i}}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2 = 1 \]$

Введём вещественные рациональные функции от комплексных чисел
$$\[ S\left( \alpha \right) = \frac{{\alpha + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }},S\left( { - \alpha i} \right) = \frac{{ - \alpha i + \bar \alpha i}}{{1 + \alpha \bar \alpha }},C\left( \alpha \right) = \frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} \]$

При вещественых аргументах введённые функции совпадают с ранее рассмотреными.
$$\[ S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }},C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \]$

10.2. Основные соотношения.

$$\[ S^2 \left( \alpha \right) + S^2 \left( { - \alpha i} \right) + C^2 \left( \alpha \right) = 1 \]$

Введённые функции рационально эквивалентны
$$\[ C\left( {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right) = \frac{{\alpha + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = S\left( \alpha \right) \]$

$$\[ S\left( {\frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}} \right) = \frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = C\left( \alpha \right) \]$


10.3. Несколько применений введённых функций.
Рациональная эквивалентность. Для начала найдём все рациональные решения простого уравнения
$$\[x^2+y^2=a^2+b^2\]$
Обозначим
$$\[ \alpha = a + bi,\beta = x + yi \]$

Имеем уравнение в рациональных комплексных числах
$$\[ \chi \bar \chi = \alpha \bar \alpha \]$

Пусть для некоторого комплексного рационального $$\[\delta \]$ имеем
$$\[ \chi = \alpha \delta \to \bar \chi = \bar \alpha \bar \delta \]$
Отсюда $$\[\delta \bar \delta = 1\]$

Множество всех рациональных комплексных чисел удовлетворяющих этому условию это введённая ранее функция
$$\[ E\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} + \frac{{2t}}{{1 + t^2 }}i = C_t + S_t i \]$

Окончательно получим
$$\[ {\chi = \alpha E\left( t \right),\bar \chi = \bar \alpha \bar E\left( t \right) = \bar \alpha E\left( { - t} \right)} \]$
$$\[ x = a\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} - b\frac{{2t}}{{1 + t^2 }},y = a\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} + b\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \]$

Перейдём к рациональной эквивалентности. Нужно решить в рациональных числах уравнение
$$\[ \frac{{2a}}{{1 + a^2 + b^2 }} = \frac{{1 - x^2 - y^2 }}{{1 + x^2 + y^2 }} \]$

Или
$$\[ S\left( \alpha \right) = C\left( \chi \right) \to \alpha = a + bi,\chi = x + yi \]$

$$\[ \frac{{\alpha + \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }} = \frac{{1 - \chi \bar \chi }}{{1 + \chi \bar \chi }} \]$

$$\[ \chi \bar \chi = \frac{{\left( {1 + \alpha \bar \alpha } \right) - \left( {\alpha + \bar \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \alpha \bar \alpha } \right) + \left( {\alpha + \bar \alpha } \right)}} = \frac{{\left( {1 - \alpha } \right)\left( {1 - \bar \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \alpha } \right)\left( {1 + \bar \alpha } \right)}} \]$

Отсюда
$$\[ {\chi = \frac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}E\left( t \right)} \]$
$$\[t\]$ - любое рациональное число. При $$\[t=0\]$ получим
$$\[ x = \frac{{1 - a^2 - b^2 }}{{\left( {1 + a} \right)^2 + b^2 }},y = \frac{{ - 2b}}{{\left( {1 + a} \right)^2 + b^2 }} \]$

Аналогично и обратное преобразование.

[Коровьев]

Продолжим.
Есть интересное соотношение
$$\[ C^2 \left( \alpha \right) = C\left( \beta \right) \]$
для некоторого $$\[\beta\]$

$$\[ C^2 \left( \alpha \right) = \left( {\frac{{1 - \alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha }}} \right)^2 = \frac{{1 - \frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }}}}{{1 + \frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }}}} \]$

$$\[ \frac{{2\alpha \bar \alpha }}{{1 + \alpha ^2 \bar \alpha ^2 }} = \left( {\frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha i}}} \right)\left( {\frac{{\left( {1 - i} \right)\bar \alpha }}{{1 - \alpha \bar \alpha i}}} \right) \]$

$$\[ \beta = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha }}{{1 + \alpha \bar \alpha i}}E\left( t \right) \]$
где $$t$ - любое рациональное число.
Отсюда следует

$$\[ C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\alpha _k } \right) \to \alpha _{k + 1} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _k }}{{1 + \alpha _k \bar \alpha _k i}} \]$

А это означает, что уравнение

$$\[ x^2 + y^2 + z^{2^k } = 1 \]$
имеет двухпараметрическое рациональное решение для любого натурального $$k$

$$\[ C^2 \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _0 }}{{1 + \alpha _0 \bar \alpha _0 i}}} \right) = C\left( {\alpha _1 } \right) \]$

$$\[ C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = C\left( {\alpha _k } \right) \to \alpha _{k + 1} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _k }}{{1 + \alpha _k \bar \alpha _k i}} \]$

Так как

$$\[ S^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) + S^2 \left( { - \alpha _{k - 1} i} \right) + C^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) = 1 \]$

то

$$\[ S^2 \left( {\alpha _{k - 1} } \right) + S^2 \left( { - \alpha _{k - 1} i} \right) + C^{2^k } \left( {\alpha _0 } \right) = 1 \]$

где

$$\[ \alpha _{k - 1} = \frac{{\left( {1 + i} \right)\alpha _{k - 2} }}{{1 + \alpha _{k - 2} \bar \alpha _{k - 2} i}} \]$

а $$\[{\alpha _0 }\]$ - любое рациональное комплексное число.

p.s.
Я нигде не отметил, что под рациональным комплексным числом я имею ввиду комплексное число с рациональными вещественными и мнимыми частями.

[DeBill]

scwec в сообщении #728382 писал(а):

Вы точно, не издеваетесть? А очень похоже.

Да вроде нет. Может, шутит...
Просто ТС использовал универсальную тригонометрическую подстановку, назвал синус СИНУСом, и т.д., и стало хорошо...
И всё захорошело...
Но приложения в ТЧ - интересно.

[Коровьев]

О решении одной системы двух эллиптических кривых.

Она встречается в задаче о рациональной точке в квадрате, расстояния которой до вершин квадрата рациональны.
Рассмотрим систему двух эллиптических кривых.

$\[ \left\{ \begin{array}{l} t^2 = \left( {x + a} \right)^2 + \left( {y + b} \right)^2 \\ z^2 = \left( {x + c} \right)^2 + \left( {y + d} \right)^2 \\ \end{array} \right. \]$

где $a,b,c,d$ заданные рациональные числа.

Если вычесть из первого уравнения второе, а из полученного уравнения найти $x$ и вставить его в первое уравнение, то придётся решать очень "тяжёлое" диофантовое уравнение от трёх переменных.

$$\[ \left( {\frac{{t^2 - z^2 - 2\left( {b - d} \right)y - \left( {a^2 + b^2 - c^2 - d^2 } \right)}}{{2\left( {a - c} \right)}} + a} \right)^2 + \left( {y + b} \right)^2 = t^2 \]$

Здесь я покажу очень простой метод решения этой системы.

Для начала приведу необходимое для решения утверждение.

Если для рациональных чисел выполняется $\[a^2 + b^2 = c^2\]$, то существует единственное $h$, что

$$\[ a = c\frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }},b = c\frac{{2h}}{{1 + h^2 }} \]$

и

$$\[ a + bi = c\left( {\frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }} + \frac{{2h}}{{1 + h^2 }}i} \right) \]$

где $i$ мнимая единица.

Напомню обозначения

$$\[ C_h = \frac{{1 - h^2 }}{{1 + h^2 }},S_h = \frac{{2h}}{{1 + h^2 }} \]$

Из начальных уравнений получим систему двух уравнений в комплексных числах

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + a} \right) + \left( {y + b} \right)i = t\left( {C_m + S_m i} \right) \\ \left( {x + c} \right) + \left( {y + d} \right)i = z\left( {C_n + S_n i} \right) \\ \end{array} \right. \]$

где $m,n$ любые рациональные числа
Вычтем из первого уравнения второе

$$\[ \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i = \left( {tC_m - zC_n } \right) + \left( {tS_m - zS_n } \right)i \]$

Приравняем мнимые и вещественные части

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} tC_m - zC_n = a - c \\ tS_m - zS_n = b - d \\ \end{array} \right. \]$

Отсюда находим

$$\[ {t = \frac{{\left( {b - d} \right)C_n - \left( {a - c} \right)S_n }}{{S_m C_n - C_m S_n }},z = \frac{{\left( {b - d} \right)C_m - \left( {a - c} \right)S_m }}{{S_m C_n - C_m S_n }}} \]$

Подставив $t$ в первое уравнение, и опять приравняв мнимые и вещественные, части находим $x,y$

$$\[ x = tC_m - a = \frac{{cC_m S_n - aS_m C_n + \left( {b - d} \right)C_m C_n }}{{S_m C_n - C_m S_n }} \]$

$$\[ y = tS_m - b = \frac{{bC_m S_n - dS_m C_n - \left( {a - c} \right)S_m S_n }}{{S_m C_n - C_m S_n }} \]$

Заменив введённые функции их значениями получим решение системы от двух переменных $m,n$
Приводить значения переменных $x,y,t,z$ не буду из-за их громоздкости. Приведу код для PARI.

{
C_m=(1-m^2)/(1+m^2);
S_m=2*m/(1+m^2);
C_n=(1-n^2)/(1+n^2);
S_n=2*n/(1+n^2);
h=(S_m*C_n-C_m*S_n);
t=((b-d)*C_n-(a-c)*S_n)/h;
z=((b-d)*C_m-(a-c)*S_m)/h;
x=t*C_m-a;
y=t*S_m-b;
}

(x+a)^2+(y+b)^2-t^2
(x+c)^2+(y+d)^2-z^2

[Singular]

Коровьев в сообщении #1043278 писал(а):

Наряду с диофантовыми аналогами тригонометрических функций можно рассмотреть и их обратные функции.
Правда, куда их приткнуть практически, я не нашёл.

Не знаю насколько будет востребовано, но обратные функции можно представить непрерывными дробями:

$ S\left(x\right)=a;\quad x=AS\left(a\right)\\ \left|a\right|<1,\quad x=\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\ldots}}};\quad \left|a\right|>1,\quad x=\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}-\ldots}}} $

$ T\left(x\right)=a;\quad x=AT\left(a\right)\\ \left|a\right|<1,\quad x=-\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\ldots}}};\quad \left|a\right|>1,\quad x=\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{\cfrac{2}{a}+\ldots}}} $

[Коровьев]

Singular
Мне видится, что востребованность может появится, когда найдутся некие свойства такого представления, позволяющие решить отдельные частные задачи на непрерывные дроби. Но мне на ум ничего не приходит. Слишком мало свойств у обратных функций.
Вот тождество для двух аналогов обратных функций от одного аргумента

$$\[ \frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}} \equiv 1 \ \]$$

Что из него можно вывести? Пожалуй только то, что если известна одна функция, то можно найти и другую.
Но если функции заданы в непрерывных дробях, то можно, к примеру, поставить такую задачу - "Доказать тождество...". Не думаю, что её можно будет просто решить.

[Коровьев]

Господа, предыдущую мою задачу - найти рациональные решения системы

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} t^2 = \left( {x + a} \right)^2 + \left( {y + b} \right)^2 \\ z^2 = \left( {x + c} \right)^2 + \left( {y + d} \right)^2 \\ \end{array} \right. \] $

можно решить совсем просто, не выходя в комплексную область, воспользовавшись лишь следующим утверждением:
Если в рациональных числах выполняется

$\[ 1 + a^2 = r^2 \]$

то существует единственное $h$ такое, что

$$\[ a = \frac{{2h}}{{1 - h^2 }} = T_h \] $

Из исходной системы следует

$$\[ \frac{{x + a}}{{y + b}} = T_k ,\frac{{x + c}}{{y + d}} = T_t \] $

отсюда получаем систему

$\[ \left\{ \begin{array}{l} x - yT_k = bT_k - a \\ x - yT_t = dT_t - c \\ \end{array} \right. \] $

Решая её окончательно получим двухпараметрическое решение

$$\[ x = \frac{{\left( {d-b} \right)T_k T_t - cT_k + aT_t }}{{T_k - T_t }},y = \frac{{\left( {a - c} \right) + dT_t - bT_k }}{{T_k - T_t }} \] $

[Коровьев]

Преобразование рационального куббоида Эйлера в рациональный куббоид с одной нерациональной стороной

Обозначение
$$\[ S_t = S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }};C_t = C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }};T_t = T\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 - t^2 }} \]$

Рациональный куббоид Эйлера - это параллелепипед с рациональными сторонами и боковыми диагоналями.
Необходимым и достаточным условием существования куббоида Эйлера является существование рационального решения уравнения.
$$\[ T^{ - 2} \left( x \right) + T^{ - 2} \left( y \right) = z^2 \]$

Тогда
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = T^{ - 1} \left( x \right) \\ b = T^{ - 1} \left( y \right) \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \sqrt {T^{ - 2} \left( x \right) + 1} = S^{ - 1} \left( x \right) \\ d_{bc} = \sqrt {T^{ - 2} \left( y \right) + 1} = S^{ - 1} \left( y \right) \\ d_{ab} = \sqrt {T^{ - 2} \left( x \right) + T^{ - 2} \left( y \right)} = z \\ \end{array} \right. \to d_{abc} = \sqrt {z^2 + 1} \]$

Существует много различных одно-параметрических решений этого уравнения.
Одно из них

$$ \[ T^{ - 2} \left( {2S_t } \right) + T^{ - 2} \left( {2C_t } \right) = \left( {4S_t C_t } \right)^{ - 2} \] $

И получим куббоид

$\[ \begin{array}{l} T^{ - 2} \left( {2S_t } \right) + T^{ - 2} \left( {2C_t } \right) = \left( {4S_t C_t } \right)^{ - 2} \\ \left\{ \begin{array}{l} a = T^{ - 1} \left( {2S_t } \right) \\ b = T^{ - 1} \left( {2C_t } \right) \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \sqrt {T^{ - 2} \left( {2S_t } \right) + 1} = S^{ - 1} \left( {2S_t } \right) \\ d_{bc} = \sqrt {T^{ - 2} \left( {2C_t } \right) + 1} = S^{ - 1} \left( {2C_t } \right) \\ d_{ab} = \sqrt {T^{ - 2} \left( {2S_t } \right) + T^{ - 2} \left( {2C_t } \right)} = \left( {4S_t C_t } \right)^{ - 1} \\ \end{array} \right. \\ d_{abc} = \sqrt {\left( {4S_t C_t } \right)^{ - 2} + 1} \\ \end{array} \] $

Замечу, что полученное одно-параметрическое решение уравнения есть тождество, а ,следовательно, верно для любых значениях параметра. В частности, при комплексном значении параметра мы получим куббоид Эйлера с комплексными сторонами и диагоналями.
Но самое интересное получается при мнимом значении параметра.
Тригонометрические аналоги при мнимом значении параметра преобразуются следующим образом

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} S_{ti} = T_t i \\ C_{ti} = C_t ^{ - 1} \\ T_{ti} = S_t i \\ \end{array} \right. \] $

Преобразуем само тождество

$$\[ T^{ - 2} \left( {2S_{ti} } \right) + T^{ - 2} \left( {2C_{ti} } \right) = \left( {4S_{ti} C_{ti} } \right)^{ - 2} \] $

$$\[ T^{ - 2} \left( {2T_t i} \right) + T^{ - 2} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) = \left( {4T_t iC_t ^{ - 1} } \right)^{ - 2} \] $

$$\[ - S^{ - 2} \left( {2T_t } \right) + T^{ - 2} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) = - \left( {4T_t C_t ^{ - 1} } \right)^{ - 2} \] $

$$\[ S^{ - 2} \left( {2T_t } \right) - T^{ - 2} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) = \left( {4T_t C_t ^{ - 1} } \right)^{ - 2} \] $

Полученное одно-параметрическое тождество есть одно-параметрическое решение уравнения рационального куббоида с одной нерациональной стороной

$$\[ S^{ - 2} \left( x \right) - T^{ - 2} \left( y \right) = z^2 \] $

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = T^{ - 1} \left( y \right) \\ b = \sqrt {z^2 - 1} \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \sqrt {T^{ - 2} \left( y \right) + 1} = S^{ - 1} \left( y \right) \\ d_{ab} = \sqrt {S^{ - 2} \left( x \right) - 1} = T^{ - 1} \left( x \right) \\ d_{bc} = \sqrt {S^{ - 2} \left( x \right) - T^{ - 2} \left( y \right)} = z \\ \end{array} \right. \to d_{abc} = S^{ - 1} \left( x \right) \] $

Для нашего тождества получим куббоид с одной нерациональной стороной

$\[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = T^{ - 1} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) \\ b = \sqrt {\left( {4T_t C_t ^{ - 1} } \right)^{ - 2} - 1} \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \sqrt {T^{ - 2} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) + 1} = S^{ - 1} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right) \\ d_{ab} = \sqrt {S^{ - 2} \left( {2T_t } \right) - 1} = T^{ - 1} \left( {2T_t } \right) \\ d_{bc} = \sqrt {S^{ - 2} \left( {2T_t } \right) - T^{ - 2} \left( {2C_t ^{ - 1} } \right)} = \left( {4T_t C_t ^{ - 1} } \right)^{ - 1} \\ \end{array} \right. \\ d_{abc} = S^{ - 1} \left( {2T_t } \right) \\ \end{array} \] $

Пример.
При числовом значении параметре $t=9$ получим:

1.Куббоид Эйлера

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{{\rm{1357}}}}{{{\rm{1476}}}} \\ \\ b = \frac{{{\rm{4719}}}}{{{\rm{6560}}}} \\ \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \frac{{{\rm{2005}}}}{{{\rm{1476}}}} \\ \\ d_{bc} = \frac{{{\rm{8081}}}}{{{\rm{6560}}}} \\ \\ d_{ab} = \frac{{{\rm{1681}}}}{{{\rm{1440}}}} \\ \end{array} \right. \to d_{abc} = \frac{{2213,45...}}{{{\rm{1440}}}} \] $


2.Куббоид с одной нерациональной стороной

$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{1281}}{{1640}} \\ \\ d_{abc} = \frac{{481}}{{360}} \\ \\ c = 1 \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} d_{ac} = \frac{{2081}}{{1640}} \\ \\ d_{ab} = \frac{{319}}{{360}} \\ \\ d_{bc} = \frac{{400}}{{369}} \\ \end{array} \right. \to b = \frac{{154,39...}}{{369}} \] $

Таким образом, некоторый класс рациональных куббоидов Эйлера
трансформировался в некоторый класс рациональных куббоидов с одной нерациональной стороной.
Что для меня было достаточно неожиданно.

[grizzly]

Коровьев в сообщении #1277452 писал(а):

Таким образом, некоторый класс рациональных куббоидов Эйлера
трансформировался в некоторый класс рациональных куббоидов с одной нерациональной стороной.

Ничего себе! А эта трансформация насколько (не)(взаимно)однозначная? Вот здесь говорят, что нашли все кубоиды Эйлера и все вот такие (с одним иррациональным ребром) до чисел $1.55\cdot 10^{11}$ и отношение между ними 5797:4662 в пользу Эйлера. Но они, кажется, тупо искали, без всяких трансформаций. Интересно было бы посмотреть на их таблицы под этим углом.

[Коровьев]

grizzly в сообщении #1277498 писал(а):

Ничего себе! А эта трансформация насколько (не)(взаимно)однозначная? Вот здесь
говорят, что нашли все кубоиды Эйлера и все вот такие (с одним иррациональным ребром) до чисел $1.55\cdot 10^{11}$ и отношение между ними 5797:4662 в пользу Эйлера. Но они, кажется, тупо искали, без всяких трансформаций. Интересно было бы посмотреть на их таблицы под этим углом.

Поставить во взаимно-однозначное соответствие этих двух видов рациональных куббоидов не удастся.
Во-первых, приведённое решение для куббоидов Эйлера не описывает очень далеко-далеко все решения. Найти же формулу для всех куббоидов Эйлера, по-видимому, невозможно.
Во-вторых, не для каждого приведённого решения куббоида Эйлера существует реальный куббоид с нерациональной стороной полученный по выведенной формуле. Для его существования необходимо ещё одно условие

$$\[ b = \sqrt {\left( {4T_t C_t ^{ - 1} } \right)^{ - 2} - 1} \to 4T_t C_t ^{ - 1} < 1 \]$

В противном случае одна сторона получается мнимой.
И в третьих, не каждое, по-видимому, другое параметрическое решение куббоида Эйлера обязано трансформироваться в куббоид с нерациональной стороной. Тут ещё надо повозиться.

[grizzly]

Спасибо! Не удивительно, что не так всё просто, но всё равно интересно.

Коровьев в сообщении #1277607 писал(а):

Тут ещё надо повозиться.

Я думаю, что из этой идеи нужно выжать максимум (поискать также трансформации с третьим типом кубоидов и вообще, все возможные попарные варианты -- прямые и обратные). Если этого никто не находил раньше, есть шанс раскопать золотую жилу (а вдруг!).