Несколько задач с однородной веревкой

[fred1996]

Задача 1

Пусть у нас на гладком столе лежит достаточно гибкая веревка массы $m$, полностью растянутая, как показано на рисунке.
В какой-то момент времени мы начинаем тянуть ее левый конец направо с постоянной скоростью $v$. Какую работу мы совершим, когда веревка полностью окажется в движении?
Считаем что трение о стол и веревки о себя отсутствует. Какая энергия все же превратится в тепло и объяснить почему? Видимо в задаче надо особо подчеркнуть, что в процессе движения веревка не вихляет, а движется прямо. По-моему это существенный момент, упущенный в постановке задачи автором.

[wrest]

fred1996
Что такое "достаточно гибкая" веревка? Чем отличается от нити, цепи, каната?

До начала движения кинетическая энергия веревки в системе покоя стола - ноль, а когда веревка движется вся то $mv^2/2$, так что минимум вот эту работу совершим, а насчет тепла для "достаточно гибкой" веревки и при отсутствии трения -- неясно.

[dovlato]

$A=mV^2$
Половина работы идёт на нагрев. Причина - внутреннее трение в верёвке.

[fred1996]

dovlato
Ответ правильный.
Я бы скорее назвал причиной не трение внутри веревки, а растянутый во времени неупругий удар на границе где скорость из нулевой превращается в $v$. Неупругое взаимодействие это как-раз такое, когда взаимодействующие тела слипаются. Представим, что у нас не сплошная веревка, а цепочка из близко посаженных шариков. Тогда при дергании шарика со скоростью $v$, он бы при упругом взаимодействии получил скорость $2v$. То есть при упругом взаимодействии веревка бы начала извиваться. Не было бы такого излома под 180 градусов. Ну и точного решения не было бы.

-- 17.12.2017, 14:51 --

Задача 2
Пусть та же веревка просто свалена в кучу в одном месте. И мы начинаем ее тянуть вправо с одинаковой силой $F$. Надо найти положение правого конца как функцию времени, пока веревка разматывается. Линейная плотность веревки $\sigma$. Опять все трения отсутствуют.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1275897 писал(а):

Задача 2
Пусть та же веревка просто свалена в кучу в одном месте. И мы начинаем ее тянуть вправо с одинаковой силой $F$. Надо найти положение правого конца как функцию времени, пока веревка разматывается. Линейная плотность веревки $\sigma$. Опять все трения отсутствуют.

теорема о движении центра масс :[||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||]:

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Да. Вы предложили интегральное решение, которое наверное самое простое.
А есть еще дифференциальное решение.
Если веревка движется с постоянной скоростью, то сила не нужна для поддержания скорости всей двигающейся части веревки. Она нужна для того, чтобы быстро разогнать маленький кусочек веревки до этой постоянной скорости. То есть работает аналог реактивной тяги:
$Fdt=vdm=\sigma vdx$, или $F=\sigma v^2$

задача 3
Падающая веревка.
Мы держим веревку за верхний конец, а нижний конец прикреплен к краю стола. Веревка в начальный момент растянута как на рисунке.
В начальный момент мы отпускаем верхний конец и веревка начинает падать. Свойства у веревки те же, что и в первых двух задачах. Надо найти силу, с которой веревка действует на край стола как функция времени. Опять нам задана линейная плотность веревки $\sigma$

[dovlato]

$dp/dt=f$
$p=\lambda Vt V=\lambda V^2t$, где $\lambda$- линейная плотность верёвки.
$V^2=f/\lambda$

[fred1996]

Хочу немножко прокоментировать эти задачи с веревками. Дело в том, что при кажущейся простоте, именно эти задачи более всего ставят в тупик моих олимпиадников. Они способны решать достаточно сложные вычислительные задачи, но пасуют при применении можно сказать основ физики.

[dovlato]

Задача 3.
Упавшая масса $m_t=\lambda gt^2/2$
Сила давления в точке падения $f=\lambda V^2=\lambda (gt)^2=2m_t g$
Итого $F=m_t g+f=3m_t g$
So, в последний момент падения $F=3mg$
Интересно, что не зависит от её длины.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1275935 писал(а):

Хочу немножко прокоментировать эти задачи с веревками.

Если не трудно, прокомментируйте что такое веревка, чем отличается от цепочки и других нежёстких протяженных объектов - нити, каната, струны и т.п.. В частности если заменить слово "веревка" на "цепочка" в задаче 3, что-то изменится? Задачу 3 также можно сформулировать и как веревка/цепочка падает на стол с высоты длины веревки/цепочки (верхний конец неподвижно держат так, что нижний касается стола, затем отпускают), найти силу реакции стола в последний момент падения. Ответ тот же, $3mg$.

[fred1996]

wrest
dovlato
Ответ верный.
Собственно я уже охарактеризовал свойства данной веревки.
У нее нет самотрения, нет сопротивления на изгиб. Она нерастяжима и абсолютно неупруга.
Собственно, ее нужные физические качества вытекают из характера описания движения, которое прилагается. Я думаю для других предметов их качества вытекают из соответствующей постановки задачи. Скажем для натянутой струны характерна абсолютная упругость (энергия не теряется при деформации), большой к-т жесткости, так что все деформации считаются достаточно малыми по сравнению с линейными размерами или длиной волны. Думаю, что цепочка и веревка в такого сорта задачах вполне взаимозаменяемы. В англоязычной литературе принято слово chain. У нас встречаются веревка, нить, цепочка.

[dovlato]

Думаю, что неупругость - это синоним внутреннего трения.

[fred1996]

Давайте еще тогда рассмотрим пару вариантов.
задача 4
Теперь наша веревка полностью растянута на гладком столе, а ее маленький кусочек свешивается в дырку в столе.
Опеределить скорость веревки, когда ее задний конец поравняется с дыркой.
Задача 5
Керевка лежит в куче рядом с дыркой. И опять маленький конец свисает в дырку.
Определить скорость веревки когда ее задний конец поравняется с дыркой.

[dovlato]

Задача 5. Работа сил тяготения $A=mgl/2$. Как выяснено выше, половина её идёт на нагрев. Значит,

$$m\frac{V^2}2=mgl/4$$

$$V^2=\frac12 gl$$

[fred1996]

dovlato
Вообще-то в каждом конкретном случае на нагрев может идти различное количество энегрии. То есть в каждом случае свой расчет.