2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стадо коров
Сообщение07.04.2013, 10:06 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
В стаде коров 101 корова. Если мы удалим любую корову из стада, то оставшееся стадо можно разбить на два стада по 50 коров с одинаковым суммарным весом. Доказать, что все коровы одного веса.

(Оффтоп)

Задача записана по памяти. Недавно видел её в содержании одного из последнего журнала "Квант". Но тот журнал к закачке не предлагался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение07.04.2013, 10:12 
Аватара пользователя


01/12/11
8351
Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.
Но у Вас это не указано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение07.04.2013, 10:25 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Ktina в сообщении #706881 писал(а):
Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.Но у Вас это не указано.

Писал условие по памяти. По-хорошему, конечно надо было бы снова зайти на сайт журнала "Квант". Хорошо, допустим вес коровы - целое число. Но если кто знает ответ, то просьба воздержаться некоторое время от публикации его.

-- Вс апр 07, 2013 11:26:57 --

Вот ссылка на условие http://kvant.mccme.ru/2012/056/.

-- Вс апр 07, 2013 11:45:58 --

мат-ламер в сообщении #706885 писал(а):
Хорошо, допустим вес коровы - целое число.

Что-то я в условии при внимательном прочтении намёк на целочисленность не обнаружил. Давайте попробуем отказаться от этого условия. Сначала попробуем рассмотреть стада из небольшого количества коров. Со стадом из трёх коров я разобрался в уме. Попробуем разобраться со стадом из пяти коров. Не теряя общности, упорядочим коровы по весу (возможно не строго). Какие тут возможны варианты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение07.04.2013, 10:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8459
Ktina в сообщении #706881 писал(а):
Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.
Правильнее было бы говорить "веса коров соизмеримы", поскольку если есть целочисленное решение, то умножив его на $\sqrt{2}$ получим нецелочисленное.
И вообще, целочисленность не нужна.

Пусть есть $n=2k+1$ коров. Пусть $m_j$ - вес $j$-й коровы. Условие о существовании разбиения на 2 группы тогда переписывается так: $\pm m_1\pm m_2 \pm...\pm \hat{m_j}\pm...\pm m_n=0$ для каждого $j$. Т.е. имеем однородную систему из $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными. Матрица системы $M$ такая: в каждой строке один нуль, $k$ единиц и $k$ минус единиц, каждый нуль находится в разных столбцах. Далее, если все веса коров нулевые, то коров нет, то требуемое доказано, в противном случае $\det M=0$. Покажем, что $\operatorname{rk}M=n-1$. В силу $\det M=0$ можно обнулить последнюю строку. Докажем, что оставшиеся $n-1$ строк линейно независимы. Для этого достаточно, чтобы эти строки были линейно независимы над $\mathbb{Z}_2$. В последнем случае строки состоят из $n-1$ единиц и одного нуля. Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1. Таким образом, $M$ приводима к диагональному виду с одной нулевой строкой. Заметим теперь, что сумма элементов строк равна нулю, и это свойство не меняется при элементарных преобразованиях матрицы. Значит, $j$-е соотношение матрицы будет иметь вид $-m_j+m_n=0$, откуда $m_j=m_n$. Все.

(Оффтоп)

Хорошая задача! Бедные дети!

мат-ламер в сообщении #706885 писал(а):
Сначала попробуем рассмотреть стада из небольшого количества коров. Со стадом из трёх коров я разобрался в уме. Попробуем разобраться со стадом из пяти коров.
Я так же начал решать :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение17.12.2017, 00:05 


11/07/16
541
Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте
Цитата:
Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$  - он будет равен 1.


-- 16.12.2017, 23:25 --

мат-ламер
Вы пишете
Цитата:
Вот ссылка на условие .

Там же приведено и полное решение задачи длиной в несколько страниц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение18.12.2017, 09:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8459
Markiyan Hirnyk в сообщении #1275574 писал(а):
Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте
Цитата:
Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1.
Вам в topic123460.html и так все подробно разжевали. Мы в провинциальном универе вычисление определителей $n$-го порядка проходили на 1-м курсе по задачнику Проскурякова. В издании 2005-го года это глава 1 параграф 5. А над $\mathbb{Z}_2$ вычисления проводить еще легче, чем в $\mathbb{Z}$. Поэтому приведите попытки его вычисления и скажите, что конкретно Вам непонятно в способе его вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение18.12.2017, 14:17 


11/07/16
541
Sonic86 в сообщении #1275921 писал(а):
Markiyan Hirnyk в сообщении #1275574 писал(а):
Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте
Цитата:
Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1.
Вам в topic123460.html и так все подробно разжевали. Мы в провинциальном универе вычисление определителей $n$-го порядка проходили на 1-м курсе по задачнику Проскурякова. В издании 2005-го года это глава 1 параграф 5. А над $\mathbb{Z}_2$ вычисления проводить еще легче, чем в $\mathbb{Z}$. Поэтому приведите попытки его вычисления и скажите, что конкретно Вам непонятно в способе его вычисления.

Ваш ответ не конструктивный.
Пожалуйста, содержательно объясните без руководящих указаний. Я сто лет тому защитил диссертацию, автор двух десятков математических статей, опубликованных в солидных журналах, оппонировал на защитах десятка диссертаций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стадо коров
Сообщение18.12.2017, 15:03 
Модератор


20/03/14
9460
 !  Markiyan Hirnyk
Замечание за дублирование сообщений. Продолжайте в своей теме, пожалуйста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group