Стадо коров

[мат-ламер]

В стаде коров 101 корова. Если мы удалим любую корову из стада, то оставшееся стадо можно разбить на два стада по 50 коров с одинаковым суммарным весом. Доказать, что все коровы одного веса.

(Оффтоп)

Задача записана по памяти. Недавно видел её в содержании одного из последнего журнала "Квант". Но тот журнал к закачке не предлагался.

[Ktina]

Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.
Но у Вас это не указано.

[мат-ламер]

Ktina в сообщении #706881 писал(а):

Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.Но у Вас это не указано.

Писал условие по памяти. По-хорошему, конечно надо было бы снова зайти на сайт журнала "Квант". Хорошо, допустим вес коровы - целое число. Но если кто знает ответ, то просьба воздержаться некоторое время от публикации его.

-- Вс апр 07, 2013 11:26:57 --

Вот ссылка на условие http://kvant.mccme.ru/2012/056/.

-- Вс апр 07, 2013 11:45:58 --

мат-ламер в сообщении #706885 писал(а):

Хорошо, допустим вес коровы - целое число.

Что-то я в условии при внимательном прочтении намёк на целочисленность не обнаружил. Давайте попробуем отказаться от этого условия. Сначала попробуем рассмотреть стада из небольшого количества коров. Со стадом из трёх коров я разобрался в уме. Попробуем разобраться со стадом из пяти коров. Не теряя общности, упорядочим коровы по весу (возможно не строго). Какие тут возможны варианты?

[Sonic86]

Ktina в сообщении #706881 писал(а):

Утверждение верно, если вес каждой коровы --- целое число.

Правильнее было бы говорить "веса коров соизмеримы", поскольку если есть целочисленное решение, то умножив его на $\sqrt{2}$ получим нецелочисленное.
И вообще, целочисленность не нужна.

Пусть есть $n=2k+1$ коров. Пусть $m_j$ - вес $j$-й коровы. Условие о существовании разбиения на 2 группы тогда переписывается так: $\pm m_1\pm m_2 \pm...\pm \hat{m_j}\pm...\pm m_n=0$ для каждого $j$. Т.е. имеем однородную систему из $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными. Матрица системы $M$ такая: в каждой строке один нуль, $k$ единиц и $k$ минус единиц, каждый нуль находится в разных столбцах. Далее, если все веса коров нулевые, то коров нет, то требуемое доказано, в противном случае $\det M=0$. Покажем, что $\operatorname{rk}M=n-1$. В силу $\det M=0$ можно обнулить последнюю строку. Докажем, что оставшиеся $n-1$ строк линейно независимы. Для этого достаточно, чтобы эти строки были линейно независимы над $\mathbb{Z}_2$. В последнем случае строки состоят из $n-1$ единиц и одного нуля. Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1. Таким образом, $M$ приводима к диагональному виду с одной нулевой строкой. Заметим теперь, что сумма элементов строк равна нулю, и это свойство не меняется при элементарных преобразованиях матрицы. Значит, $j$-е соотношение матрицы будет иметь вид $-m_j+m_n=0$, откуда $m_j=m_n$. Все.

(Оффтоп)

Хорошая задача! Бедные дети!

мат-ламер в сообщении #706885 писал(а):

Сначала попробуем рассмотреть стада из небольшого количества коров. Со стадом из трёх коров я разобрался в уме. Попробуем разобраться со стадом из пяти коров.

Я так же начал решать

[Markiyan Hirnyk]

Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$  - он будет равен 1.

-- 16.12.2017, 23:25 --

мат-ламер
Вы пишете

Цитата:

Вот ссылка на условие .

Там же приведено и полное решение задачи длиной в несколько страниц.

[Sonic86]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275574 писал(а):

Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1.

Вам в topic123460.html и так все подробно разжевали. Мы в провинциальном универе вычисление определителей $n$-го порядка проходили на 1-м курсе по задачнику Проскурякова. В издании 2005-го года это глава 1 параграф 5. А над $\mathbb{Z}_2$ вычисления проводить еще легче, чем в $\mathbb{Z}$. Поэтому приведите попытки его вычисления и скажите, что конкретно Вам непонятно в способе его вычисления.

[Markiyan Hirnyk]

Sonic86 в сообщении #1275921 писал(а):

Markiyan Hirnyk в сообщении #1275574 писал(а):

Sonic86
Пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Просто вычислим главный минор над $\mathbb{Z}_2$ - он будет равен 1.

Вам в topic123460.html и так все подробно разжевали. Мы в провинциальном универе вычисление определителей $n$-го порядка проходили на 1-м курсе по задачнику Проскурякова. В издании 2005-го года это глава 1 параграф 5. А над $\mathbb{Z}_2$ вычисления проводить еще легче, чем в $\mathbb{Z}$. Поэтому приведите попытки его вычисления и скажите, что конкретно Вам непонятно в способе его вычисления.

Ваш ответ не конструктивный.
Пожалуйста, содержательно объясните без руководящих указаний. Я сто лет тому защитил диссертацию, автор двух десятков математических статей, опубликованных в солидных журналах, оппонировал на защитах десятка диссертаций.

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Замечание за дублирование сообщений. Продолжайте в своей теме, пожалуйста.