Помогите решить дифференциальное уравнение

[ioleg19029700]

Нужно решить уравнение $y''=e^y$. Так как в выражении нет $x$, то делаем замену $p=y'$ и $y$ принимаем за новую независимую переменную. Тогда получим уравнение $pp'=e^y$.
Решаем:

$$pdp=e^ydy$$

$${p^2\over 2} = e^y + C$$

$$y'=\sqrt{2}\sqrt{e^y+C}$$

$${dy\over \sqrt{e^y+C}}=\sqrt{2}\,dx$$

Делаем замену $\sqrt{e^y+C}=t$, тогда после преобразований получим интеграл
\ln\big|{\sqrt{e^y+C}-C\over\sqrt{e^y+C}+C}\big|

$$2\int{dt\over t^2 - C} = \ln\big|{\sqrt{e^y+C}-C\over\sqrt{e^y+C}+C}\big|$$

Вспоминая вторую замену, получим:

$$\ln\big|{{y'\over\sqrt{2}}-C\over{y'\over\sqrt{2}}+C}\big| = \ln\big|{y'-C_1\over\ y'+C_1}\big|=x + \ln|C|$$

И в итоге:

$${y'-C_1\over y'+C_1}=Ce^x$$

В задачнике Филиппова ответы вот такие: $e^y\sin^2(C_1x+C_2)=2C_1^2;\; e^y\sh^2(C_1x+C_2)=2C_1^2;\; e^y(x+C)^2=2$. Но я абсолютно не представляю как получить такие ответы оттуда где я есть, хотя вроде бы делал всё верно

[Someone]

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

Нужно решить уравнение $y''=e^y$. Так как в выражении нет $x$, то делаем замену $p=y'$ и $y$ принимаем за новую независимую переменную. Тогда получим уравнение $pp'=e^y$.

Что у Вас означает штрих? Если производную по $x$, то после замены нельзя писать $p'$, так как нужна производная по $y$.

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

$$y'=\sqrt{2}\sqrt{e^y+C}$$

Вы решаете квадратное уравнение. Сколько у него корней?

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

В задачнике Филиппова ответы вот такие:

Интеграл надо вычислять аккуратнее. Он при разных $C$ вычисляется по разным формулам.

Также будьте аккуратнее с произвольными постоянными. Вот здесь у Вас их слишком много.

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

$${y'-C_1\over y'+C_1}=Ce^x$$

[ludwig51]

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

Нужно решить уравнение $y''=e^y$. Так как в выражении нет $x$, то делаем замену $p=y'$ и $y$ принимаем за новую независимую переменную. Тогда получим уравнение $pp'=e^y$.

Нет необходимости в замене переменной.
Проинтегрируйте обе части исходного уравнения по dy.
И учтите, замечание Someone, что постоянная интегрирования $c_1$ может быть положительной или отрицательной, в зависимости от начальных условий.
А так как в задаче начальные условия не заданы, вы должны предусмотреть два варианта решения.

[ioleg19029700]

ludwig51
Я не понимаю как можно интегрировать по dy?

$$y' = \int e^y\,dy +C$$

Или

$${dy'\over dx} = e^y\Rightarrow dy' = \int e^y dx$$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ludwig51]

ioleg19029700 в сообщении #1273796 писал(а):

Нужно решить уравнение $y''=e^y$.

Это ваше исходное уравнение.

ioleg19029700 в сообщении #1275689 писал(а):

Я не понимаю как можно интегрировать по dy?

Какие проблемы проинтегрировать ваше исходное уравнение по $dy$?
Напоминания:
$\int y''dy=\int e^ydy$
$y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy'}{dx}$
Вы получите 3 решения в точности, как в ответе.
Произвольная постоянная после выше приведённого первого интегрирования может быть >0, <0 или равна нулю. Поэтому три решения.

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1275803 писал(а):

$\int y''dy=\int e^ydy$

И что с первым интегралом делать?

Уравнение $y''=f(y)$ решается без замены переменной, но известный мне метод не совпадает с вашим предложением.

[B@R5uk]

Someone в сообщении #1275865 писал(а):

И что с первым интегралом делать?

$y''y' + y'y'' = (y'y')'$

$2y''dy = d((y')^2)$

Стандартный приём у физиков. До него легко допереть самому, если покрутить время, координату, скорость, ускорение и их дифференциалы, пытаясь исключить какую-нибудь одну или несколько величин. Отсюда рождается дифференциальное выражение для ускорения через скорость и координату с исключённым временем.

[ludwig51]

Someone в сообщении #1275865 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1275803 писал(а):

$\int y''dy=\int e^ydy$

И что с первым интегралом делать?

А это и есть первый интеграл.
И у TC он взят правильно.

Цитата:

Уравнение $y''=f(y)$ решается без замены переменной, но известный мне метод не совпадает с вашим предложением.

Почему бы и нет.
Интегралы можно брать разными способами.
И второй интеграл у TC взят правильно.
Если сделать замену переменной во втором интеграле $t=e^y$, решение будет проще. Но результат будет одинаковым.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1275999 писал(а):

$y''y' + y'y'' = (y'y')'$

$2y''dy = d((y')^2)$

А… Я просто это иначе делаю: $2y''dy=2y''y'dx=2y'y''dx=2y'dy'=d((y')^2)$.

ludwig51 в сообщении #1276072 писал(а):

И второй интеграл у TC взят правильно.

Зато с первым у него дело плохо:

ioleg19029700 в сообщении #1275689 писал(а):

Я не понимаю как можно интегрировать по dy?

$$y' = \int e^y\,dy +C$$

У него проблемы даже с пониманием того, что производные по $x$ и по $y$ — это разные производные и должны иметь разные обозначения. И потому у него получилось $y'$ вместо $\frac 12(y')^2$. Ваш "метод" (по существу, просто запомненная формула, которую можно и не знать, и в стандартных списках формул её нет) ему явно неизвестен и непонятен.

[ludwig51]

B@R5uk в сообщении #1275999 писал(а):

Стандартный приём у физиков.

Да.
У физиков и математиков дифференциальное уравнение вида $\frac{d^2y}{dt^2}=f(y)$, называется интегралом живых сил.
Это уравнение может быть приведено к уравнению первого порядка.
1. способ
Интегрированием по dy.
$f(y)=e^y$
$\int y''dy=\int e^ydy$
Вместо $dt$ ставим $dx$, как в задаче TC.
Очень подробно:
$\int \frac{d^2y}{dx^2}dy=e^y$

$\int \frac{d^2y}{dx}\frac{dy}{dx}=e^y$

$\int y'\frac{d(dy)}{dx}=e^y$

$\int y'd\left ( \frac{dy}{dx}\right )=e^y$

$\int y'dy'=e^y$

$y'^2=\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2=2e^y\pm C_1$

2. способ.
Справочник по математике для научных работников и инженеров. Г. Корн и Т.Корн.
Интеграл живых сил.
Отличий в результатах нет.