2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 03:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Всем условиям, которые ставит StaticZero, удовлетворить не удастся:
$\bullet$ функция $w(z)$ — дробно-линейная
$\bullet$ $w(a)=1$
$\bullet$ $w(-a)=-1$
$\bullet$ $w(z_0)=0$, где $z_0$ — заданная внутренняя точка круга $|z|< a$
$\bullet$ образом круга $|z|<a$ является единичный круг

Я бы отбросил условия $w(a)=1, w(-a)=-1$, если они ещё не отброшены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
amon в сообщении #1273383 писал(а):
У-у, как всё запущено... Что за молодёжь пошла.. Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло. О чём бишь я? Да.
Подсказка №2. Что делает с окружностью в частности, и с плоскостью вообще преобразование $w=z-z_0?$ А $w=az-z_0?$ Заодно,
Подсказка №3. Дробно-линейное преобразование, вообще-то, имеет вид $\frac{az+b}{cz+d}.$ Подставляете свои числа и находите $a,b,c,d.$

$z-z_0$ комплексную плоскость переводит в комплексную плоскость, сажая точку $z_0$ в нуль. Окружности переводятся в окружности.

$az-z_0$ делает то же самое, только ещё растягивает расстояния в $a$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сначала, пользуясь круговым свойством дробно-линейных отображений, можно перевести три точки границы первого круга в три точки границы второго, при этом центр первого круга шлепнется куда-то внутрь второго. А затем, используя известную параметризацию группы автоморфизмов единичного круга, можно поставить образ центра на нужное место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1273397 писал(а):
$az-z_0$ делает то же самое, только ещё растягивает расстояния в $a$ раз.
А подумать? Какая точка попадает в ноль? А как додумаете, то
amon в сообщении #1273349 писал(а):
если не совпадают, то кто мешает передвинуть так, что бы совпадали?

Подсказка №4 (совсем прозрачная) уравнение окружности радиуса $R$ с центром в $z_0$ это $|z-z_0|^2=R^2,$ уравнение единичной окружности с центром в начале координат это $|z|^2=1.$ Как из первого сделать второе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
amon в сообщении #1273423 писал(а):
Какая точка попадает в ноль?
$z_0/a$.

amon в сообщении #1273423 писал(а):
уравнение единичной окружности с центром в начале координат это $|z|^2=1.$ Как из первого сделать второе?

$$\left|\dfrac {z-z_0} R\right| = 1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение10.12.2017, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Ну вот, все готово, что бы разобраться. Итак, пусть $z_R$ - центр исходного круга, тогда преобразование $w=\frac{z-z_R}{a}$ переведет исходный круг в единичный. Если Ваше $z_0=z_R,$ то задача решена. Если нет, то все что остаётся в наличии - автоморфизм единичного круга $e^{i\varphi}\frac{w-w_0}{1+w_0^*w}$ ($w_0$ - образ точки $z_0,$ написанное переводит точку $w_0$ в 0.) При этом, точки $i$ и $-i$ куда-то уедут, и что бы вернуть их взад осталась единственная степень свободы - поворот круга как целого. Т.е. для произвольной $z_0$ задача не решается, а для каких решается можно сообразить. Проблема в том, что у Вас было 3 с половиной условия (три точки и условие единичности радиуса), а параметров в дробно-линейном преобразовании только три, и эта половинка всю малину портит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group