2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Тут написано, что дробно-линейная функция задаётся однозначно тремя прообразами $z_1, z_2, z_3$ и тремя образами $w_1, w_2, w_3$. Хочу отобразить круг радиуса $a$ на единичный, чтобы $z_0$ оказалась в центре. Пишу двойное отношение
$$
\dfrac{w - w_1}{w - w_2} : \dfrac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} = \dfrac{z - z_1}{z - z_2} : \dfrac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}.
$$
Задаю правила преобразования $z_1: a \mapsto +1$, $z_2: -a \mapsto -1$, $z_3: z_0 \mapsto 0$. Требования о том, что образы и прообразы разные, выполнено. Дробно-линейная функция имеет вид
$$
w = a \dfrac{z - z_0}{a^2 - z z_0}.
$$

Однако, точку $ia$ она отображает в точку $w(ia) = a \dfrac{ia - z_0}{a^2 - i a z_0} = \dfrac{ia - z_0}{a - i z_0} = i \dfrac{a + iz_0}{a - iz_0}$. Спрашивается: а что такого я сделал незаконного, что по трём точкам круга $|z| = a$ я получаю функцию, которая этот круг отображает непонятно во что?

-- 09.12.2017, 00:45 --

Про принцип симметрии касательно образов-прообразов окружности я в учебнике прочёл, но я не хочу его использовать. В лоб по трём точкам не построить отображение круга на круг что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Если центры совпадают, то всё тривиально, так ведь? А если не совпадают, то кто мешает передвинуть так, что бы совпадали? ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
amon, а кого сдвинуть? Если сдвигать $w$, то только на величину, пропорциональную $z - z_0$. Но я пока не понимаю, на какую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Подсказка №1. Если центры обеих окружностей в нуле, то преобразование $w=z/a$ производит необходимое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
amon, я тупой, я опять не понял. $w(z_0) = \dfrac{z_0}{a} \ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
При таком преобразовании окружность переходит в окружность, $z_0=0\to0,\; ia\to i,\;-ia\to-i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Ну ок, исходная окружность сожмётся в единичную, точка $z_0 \mapsto z_0/a$. Я всё ещё ничего не понимаю. Простые сдвиги здесь бесполезны.

-- 09.12.2017, 02:23 --

StaticZero в сообщении #1273346 писал(а):
$$
w = a \dfrac{z - z_0}{a^2 - z z_0}.
$$

Вот это ещё перейдёт в $w = \dfrac{\zeta - \zeta_0}{1 - \zeta \zeta_0}$. Лажа-то с границей круга останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
StaticZero в сообщении #1273346 писал(а):
Спрашивается: а что такого я сделал незаконного, что по трём точкам круга $|z| = a$ я получаю функцию, которая этот круг отображает непонятно во что?
Забудем на время про условие $w(z_0)=0$ и потребуем вместо этого:
$w(a)=1, w(-a)=-1, w(ia)=i$
Понятно без вычислений, что этим условиям удовлетворяет функция $w=\frac 1 a z=\frac{1z+0}{0z+a}$, и из дробно-линейных — только она. Теперь скажите: по какой причине при этом должно быть ещё и $w(z_0)=0$, где $z_0$ — почти произвольная точка?

Ясно, что функция $w=\frac 1 a z$ этого никогда не обеспечит (не считая случая $z_0=0$), то есть условия, которые Вы ставите, в общем случае несовместны.

Можно также спросить: почему Вы думаете, что при Ваших условиях прообразом единичной окружности является именно $|z|=a$? Того, что $z_1=a$ и $z_2=-a$, при том, что $z_0$ произвольна, для этого недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Преобразование исходного круга на нужный - дробно-линейное. По трём точкам оно строится однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Ну, хорошо, пусть $a=1$, $z_0=45+18i$. Что здесь будет исходным кругом и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv, точка $z_0$ не внутри...

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Не внутри окружности $|z|=a=1$, про которую Вы думаете.
Зато существует такая окружность (про которую думаю я), проходящая через $z_1=1$ и $z_2=-1$, что $z_0=45+18i$ будет внутри неё.
Чем моя хуже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
svv, пример понял. Что делать - не понял.

-- 09.12.2017, 03:13 --

Нужно потребовать, наверное, чтобы $|w(z)| = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 03:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
У-у, как всё запущено... Что за молодёжь пошла.. Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло. О чём бишь я? Да.
Подсказка №2. Что делает с окружностью в частности, и с плоскостью вообще преобразование $w=z-z_0?$ А $w=az-z_0?$ Заодно,
Подсказка №3. Дробно-линейное преобразование, вообще-то, имеет вид $\frac{az+b}{cz+d}.$ Подставляете свои числа и находите $a,b,c,d.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробно-линейная функция
Сообщение09.12.2017, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва

(Оффтоп)

amon в сообщении #1273383 писал(а):
Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло.

Просто боюсь спрашивать, кого высекли...
А серьёзно, сейчас с конформными отображениями вообще дела плохо обстоят. Среди студентов-физиков точно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group