Дробно-линейная функция

[svv]

Всем условиям, которые ставит StaticZero, удовлетворить не удастся:
$\bullet$ функция $w(z)$ — дробно-линейная
$\bullet$ $w(a)=1$
$\bullet$ $w(-a)=-1$
$\bullet$ $w(z_0)=0$, где $z_0$ — заданная внутренняя точка круга $|z|< a$
$\bullet$ образом круга $|z|<a$ является единичный круг

Я бы отбросил условия $w(a)=1, w(-a)=-1$, если они ещё не отброшены.

[StaticZero]

amon в сообщении #1273383 писал(а):

У-у, как всё запущено... Что за молодёжь пошла.. Помню, пирамиду строили, так я там в назидание высек.. Не помогло. О чём бишь я? Да.
Подсказка №2. Что делает с окружностью в частности, и с плоскостью вообще преобразование $w=z-z_0?$ А $w=az-z_0?$ Заодно,
Подсказка №3. Дробно-линейное преобразование, вообще-то, имеет вид $\frac{az+b}{cz+d}.$ Подставляете свои числа и находите $a,b,c,d.$

$z-z_0$ комплексную плоскость переводит в комплексную плоскость, сажая точку $z_0$ в нуль. Окружности переводятся в окружности.

$az-z_0$ делает то же самое, только ещё растягивает расстояния в $a$ раз.

[Brukvalub]

Сначала, пользуясь круговым свойством дробно-линейных отображений, можно перевести три точки границы первого круга в три точки границы второго, при этом центр первого круга шлепнется куда-то внутрь второго. А затем, используя известную параметризацию группы автоморфизмов единичного круга, можно поставить образ центра на нужное место.

[amon]

StaticZero в сообщении #1273397 писал(а):

$az-z_0$ делает то же самое, только ещё растягивает расстояния в $a$ раз.

А подумать? Какая точка попадает в ноль? А как додумаете, то

amon в сообщении #1273349 писал(а):

если не совпадают, то кто мешает передвинуть так, что бы совпадали?

Подсказка №4 (совсем прозрачная) уравнение окружности радиуса $R$ с центром в $z_0$ это $|z-z_0|^2=R^2,$ уравнение единичной окружности с центром в начале координат это $|z|^2=1.$ Как из первого сделать второе?

[StaticZero]

amon в сообщении #1273423 писал(а):

Какая точка попадает в ноль?

$z_0/a$.

amon в сообщении #1273423 писал(а):

уравнение единичной окружности с центром в начале координат это $|z|^2=1.$ Как из первого сделать второе?

$$\left|\dfrac {z-z_0} R\right| = 1$$

[amon]

Ну вот, все готово, что бы разобраться. Итак, пусть $z_R$ - центр исходного круга, тогда преобразование $w=\frac{z-z_R}{a}$ переведет исходный круг в единичный. Если Ваше $z_0=z_R,$ то задача решена. Если нет, то все что остаётся в наличии - автоморфизм единичного круга $e^{i\varphi}\frac{w-w_0}{1+w_0^*w}$ ($w_0$ - образ точки $z_0,$ написанное переводит точку $w_0$ в 0.) При этом, точки $i$ и $-i$ куда-то уедут, и что бы вернуть их взад осталась единственная степень свободы - поворот круга как целого. Т.е. для произвольной $z_0$ задача не решается, а для каких решается можно сообразить. Проблема в том, что у Вас было 3 с половиной условия (три точки и условие единичности радиуса), а параметров в дробно-линейном преобразовании только три, и эта половинка всю малину портит.