Две карты

[arseniiv]

А мой алгориѳм как? (Вопрос ко всем.) А то он как-то совсем без оценки прошёл — даже не знаю что и думать, вдруг что-то непонятно. (Ясно, что оно всё там корректно, потому что есть реализация, работающая как надо и все операции которой выполнимы типичными построениями, но вопрос не в этом.)

[fred1996]

arseniiv в сообщении #1272930 писал(а):

А мой алгориѳм как? (Вопрос ко всем.) А то он как-то совсем без оценки прошёл — даже не знаю что и думать, вдруг что-то непонятно. (Ясно, что оно всё там корректно, потому что есть реализация, работающая как надо и все операции которой выполнимы типичными построениями, но вопрос не в этом.)

Вы про предельный переход кидания карт сверху? Так вроде отметили, что это работающий алгоритм.

[arseniiv]

Не, какой предельный, вот же. Просто я сначала придумал план решения, а потом сразу стало очевидно, как он реализуется (на самом деле всё действительно тривиально, просто до записи на форум я это не записывал никуда, вот и не видно было ничего). Особенно если изложить всё немного иначе. Понадеялся, что интереса читателей будет достаточно, чтобы раскопать, и что, в частности, wrest посмотрит внутренности чертежа, который я приложил (и оценит! зачем иначе наталкивал меня на аффинную волну? ).

[g______d]

Выберем начало координат в точке $A'$ и ось $x$ так, чтобы $A=(1,0)$. Используя совет amon, будем дальше действовать в комплексной записи. Преобразование имеет вид $az+1$. Пусть $B'=w'$, $B=w$. Тогда $aw'+1=w$, откуда $a=\frac{w-1}{w'}$. Теперь найдём неподвижную точку $z_0$, уравнение которой имеет вид

$$ \frac{w-1}{w'}z_0+1=z_0,\quad z_0=\frac{w'}{w'-w-1}. $$

Знаменатель равен нулю титтк $AA'$ равно и параллельно $BB'$, тогда это параллельный перенос.

-- Чт, 07 дек 2017 10:06:32 --

arseniiv, это фактически Ваше решение, из которого удалена вся избыточная информация (поскольку у нас не просто аффинное преобразование, а преобразование подобия), и координаты можно задавать удобным образом.

[arseniiv]

Ага, да, когда amon написал о комплексных числах, я вспомнил, что с ними было бы лучше.

[fred1996]

Кстати, решение amon
Тоже достаточно конструктивно.
Единственно, его лучше наверное представить в виде $z=z_0(z+z_1)$
Тогда мы можем осуществить перенос например точку левого нижнего угла исходной карты в соответствующую точку маленкой карты. Это будет число $z_1$, а затем поворот с масштабированием даст нам число $z_0$

-- 07.12.2017, 09:19 --

g______d
Пока писал свой ответ на предложение amon, ваш ответ выскочил.
У меня правда преобразование $(ABCD)\to(A'B'C'D')$

[wrest]

arseniiv в сообщении #1272933 писал(а):

Понадеялся, что интереса читателей будет достаточно, чтобы раскопать, и что, в частности, wrest посмотрит внутренности чертежа, который я приложил (и оценит! зачем иначе наталкивал меня на аффинную волну? ).

Я посмотрел Но оценить не смог. Я-то думал там буду два квадрата, и построение неподвижной точки.
В аффинную волну наталкивал затем, что я подозревал что есть какая-нибудь теорема о неподвижной точке, в соответствии с которой ответ на задачу заключается в "по теореме о неподвижной точке". И оказалось что есть теорема Теорема Банаха о неподвижной точке, о которой правда прямо никто не написал, но которая подразумевалась в ответах ваших и ИСН.
Теорема Банаха, ну я глянул Википедию, доказывается там через предельный переход (пределом некоторой последовательности точек там как раз оказывается неподвижная точка).

Я просто не увидел построения неподвижной точки.
То что её можно вычислить, вроде понятно.

[fred1996]

И еще по поводу единственности такой точки. Она вытекае естественным образом из того факта, что расстояния не сохраняются. Если бы было например две таких точки, это бы проитворечило данному условию.

[amon]

Если совсем по рабоче-крестьяски, то $\arg z_0$ это угол поворота, $|z_0|$ это коэффициент изменения масштаба, а $z_1$ это сдвиг центра карты (маленькой относительно большой).

[fred1996]

amon в сообщении #1272945 писал(а):

Если совсем по рабоче-крестьяски, то $\arg z_0$ это угол поворота, $|z_0$ это коэффициент изменения масштаба, а $z_1$ это сдвиг центра карты (маленькой относительно большой).

А, про центр то я и не подумал. Тогда ваше решение тоже становится прозрачным.
Хотя, с точки зрения оптимизации алгоритма поиск центров - это дополнительные операции. :).

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272944 писал(а):

И еще по поводу единственности такой точки.

Единственность очевидна, да. Неочевидно существование, задача-то об этом.

[g______d]

fred1996 в сообщении #1272941 писал(а):

У меня правда преобразование $(ABCD)\to(A'B'C'D')$

Ответ от этого не зависит.

[fred1996]

Резюмируя развернувшуюся дискуссию, могу только констатировать, что полезно не только знать абстрактные теории, но и уметь их применять на практике к таким, вроде простеньким на первый взгляд задачкам. Наверное зубры могут и удивиться, что я запихнул эту задачу в олимпиадные. В свое оправдание могу сказать, что задачка действительно взята из олимпиады довольно высокого уровня. Ну и обсуждение ее было тоже достаточно полезно. В свете предложенных алгоритмов решиния.

-- 07.12.2017, 09:55 --

На самом деле мне интересен некоторый фидбак от участников.
Пока я не совсем понимаю, насколько предлагаемые мной тут задачи соответствуют запросам публики. Я пока пытаюсь публиковать задачи из разделов, в которых сам кое-что смыслю.
В общем не хотелось бы попасть в положение Ktina
У меня еще есть задачи из теории множеств, комбинаторики (вероятности), на полиномы, теории чисел. Но может быть они не будут соответствовать уровню. Дал тут одну задачку на полиномы. Но ее вмиг раскололи. Наверное есть просто хорошие спецы, умеющие жонглировать формулами Виета. Не знаю, насколько актуальны такие задачи.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1272942 писал(а):

Я-то думал там буду два квадрата, и построение неподвижной точки.

Ну, можно и квадраты. У меня, считай, параллелограммы (по вершине недостроено), просто интересовал общий случай, а построение неподвижной точки целиком геометрически было бы слишком утомительным: там столько скалярных произведений надо посчитать, чтобы координаты вектора найти — проще записать формулу и забыть, зная, что возможность всё это построить руками есть. Если бы GeoGebra была бы более автоматизируемой, сделал бы из формулы построение механически. Какая часть реализации вычислений в виде построений ещё интересует?

[wrest]

arseniiv в сообщении #1272961 писал(а):

Ну, можно и квадраты. У меня, считай, параллелограммы (по вершине недостроено), просто интересовал общий случай

Да! Я оценил, работает правильно и действительно, общий случай даже интересней в смысле поиграться. С утра я спросони просто не понял что там к чему, сейчас койчего достроил, круто!