2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Две карты
Сообщение06.12.2017, 06:39 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
Изображение
Пусть у нас даны две карты одной и той же местности разного масштаба.
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

#782

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2240
Уфа
А бывают карты с дырками посередине? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:49 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
Давайте пока без топологических извращений. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:58 


21/05/16
1043
Аделаида
fred1996 в сообщении #1272500 писал(а):
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

Несложная координатно-геометрическая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Сжимающие отображения же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 08:52 


05/09/16
2449
Тут нужен arseniiv, который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 10:40 


05/09/16
2449
Я бы еще спросил: а как построить эту точку?

В случае если поворота нет, а есть только гомотетия, то неподвижная точка (центр гомотетии) находится легко, просто как пересечение прямых соединяющих одноименные вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
wrest в сообщении #1272515 писал(а):
который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка
Ну тут действительно можно глянуть, сколько неподвижных точек вообще бывает у преобразования аффинной евклидовой плоскости. Или это вся плоскость, и преобразование необходимо тождественно — не наш случай, сказано «разного масштаба». Или это ничего — тогда это трансляция, опять не то. Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка! :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:37 


05/09/16
2449
arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):
Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка!

Это-то понятно, т.к. мы явно видим, что там преобразование подобия в виде комбинации гомотетии и поворота. Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого. Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга? Для случая только гомотетии ответ очевиден (центр гомотетии это пересечение прямых, например проведенных через "одноименные" вершины квадратов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
wrest в сообщении #1272561 писал(а):
Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого.
Да, это хороший вопрос, но ИСН уже написал ответ. Принцип сжимающих отображений отвечает, что точка внутри и одна.

wrest в сообщении #1272561 писал(а):
Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга?
Тут сразу можно сказать, что для построения должно быть достаточно всего двух пар точек — упорядоченная пара точек, если зафиксировать ориентацию плоскости, задаёт ортогональный базис.

Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:
arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):
преобразования аффинной евклидовой плоскости
Забыл про гомотетии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:23 


05/09/16
2449
arseniiv в сообщении #1272563 писал(а):
Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:

Я в этих вопросах (аффинных преобразований) полностью вам доверяю. :mrgreen:

(arseniiv)

И у меня к вам есть один вопросик про них.
Допустим, мы пуляем из рогатки по оптимальной траектории камень чтобы он пролетел 10 метров. Ну, под 45 градусов ессно. Теперь поворачиваем горизонталь на какой-то угол (но силу тяжести при этом оставляем вертикальной) и опять пуляем по оптимальной траектории. Вопрос -- будет ли вторая траектория результатом аффинного преобразования первой? Я вас призывал вот тут post1265253.html#p1265253 но вы не отозвались...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа

(wrest)

Ой, не слежу за уведомлениями. Когда читаешь другой список тем, там одни дубли в результате. Вообще, любая парабола будет аффинным преобразованием какой-то одной параболы. А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно. :-)

-- Ср дек 06, 2017 16:32:46 --

Ну чего тут доверять, аффинные преобразования почти как линейные, просто к ним «добавили» параллельные переносы, а действуют они на том, что принято звать точками, вот и всё. Разница выходит небольшая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:36 


05/09/16
2449

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1272579 писал(а):
А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно.

Это доказанный факт, см. «Туда и обратно - 2»
Так что если будет желание, заходите в мою тему и расскажите как аффинными преобразованиями задачка об оптимальной траектории решается в одну строчку. Я чувствую что это именно так, но знаний не хватает :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа

(wrest)

Так я как раз и имел в виду, что как туда прикрутить аффинные, не имею (или почти не имею? кто знает!) понятия. Можно взять сдвиг, сохраняющий вертикали и точку $A$ и переводящий наклонную прямую $AB$ в горизонтальную $AB'$, но биссектриса $\angle yAB$ при этом не перейдёт в биссектрису $\angle yAB'$ — для этого надо будет ещё немного дожать в направлении вертикалей (сохраняя теперь горизонталь $AB'$). Посмотрите, преобразуется ли траектория при этом правильно. Если да — то и обоснование вы наверняка найдёте сами. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 17:25 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
А вот kotenok gav пишет, что это несложная координатно-геометрическая задача. Без всякой афинности. :)
Попробуйте мыслить конструктивно. Типа пришел сержант и приказал посторить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group