2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Две карты
Сообщение06.12.2017, 06:39 
Аватара пользователя


09/10/15
2803
Columbia, Missouri, USA
Изображение
Пусть у нас даны две карты одной и той же местности разного масштаба.
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

#782

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2389
Уфа
А бывают карты с дырками посередине? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:49 
Аватара пользователя


09/10/15
2803
Columbia, Missouri, USA
Давайте пока без топологических извращений. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 07:58 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
fred1996 в сообщении #1272500 писал(а):
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

Несложная координатно-геометрическая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Сжимающие отображения же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 08:52 


05/09/16
3577
Тут нужен arseniiv, который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 10:40 


05/09/16
3577
Я бы еще спросил: а как построить эту точку?

В случае если поворота нет, а есть только гомотетия, то неподвижная точка (центр гомотетии) находится легко, просто как пересечение прямых соединяющих одноименные вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
wrest в сообщении #1272515 писал(а):
который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка
Ну тут действительно можно глянуть, сколько неподвижных точек вообще бывает у преобразования аффинной евклидовой плоскости. Или это вся плоскость, и преобразование необходимо тождественно — не наш случай, сказано «разного масштаба». Или это ничего — тогда это трансляция, опять не то. Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка! :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:37 


05/09/16
3577
arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):
Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка!

Это-то понятно, т.к. мы явно видим, что там преобразование подобия в виде комбинации гомотетии и поворота. Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого. Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга? Для случая только гомотетии ответ очевиден (центр гомотетии это пересечение прямых, например проведенных через "одноименные" вершины квадратов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
wrest в сообщении #1272561 писал(а):
Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого.
Да, это хороший вопрос, но ИСН уже написал ответ. Принцип сжимающих отображений отвечает, что точка внутри и одна.

wrest в сообщении #1272561 писал(а):
Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга?
Тут сразу можно сказать, что для построения должно быть достаточно всего двух пар точек — упорядоченная пара точек, если зафиксировать ориентацию плоскости, задаёт ортогональный базис.

Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:
arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):
преобразования аффинной евклидовой плоскости
Забыл про гомотетии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:23 


05/09/16
3577
arseniiv в сообщении #1272563 писал(а):
Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:

Я в этих вопросах (аффинных преобразований) полностью вам доверяю. :mrgreen:

(arseniiv)

И у меня к вам есть один вопросик про них.
Допустим, мы пуляем из рогатки по оптимальной траектории камень чтобы он пролетел 10 метров. Ну, под 45 градусов ессно. Теперь поворачиваем горизонталь на какой-то угол (но силу тяжести при этом оставляем вертикальной) и опять пуляем по оптимальной траектории. Вопрос -- будет ли вторая траектория результатом аффинного преобразования первой? Я вас призывал вот тут post1265253.html#p1265253 но вы не отозвались...

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(wrest)

Ой, не слежу за уведомлениями. Когда читаешь другой список тем, там одни дубли в результате. Вообще, любая парабола будет аффинным преобразованием какой-то одной параболы. А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно. :-)

-- Ср дек 06, 2017 16:32:46 --

Ну чего тут доверять, аффинные преобразования почти как линейные, просто к ним «добавили» параллельные переносы, а действуют они на том, что принято звать точками, вот и всё. Разница выходит небольшая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 14:36 


05/09/16
3577

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1272579 писал(а):
А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно.

Это доказанный факт, см. «Туда и обратно - 2»
Так что если будет желание, заходите в мою тему и расскажите как аффинными преобразованиями задачка об оптимальной траектории решается в одну строчку. Я чувствую что это именно так, но знаний не хватает :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(wrest)

Так я как раз и имел в виду, что как туда прикрутить аффинные, не имею (или почти не имею? кто знает!) понятия. Можно взять сдвиг, сохраняющий вертикали и точку $A$ и переводящий наклонную прямую $AB$ в горизонтальную $AB'$, но биссектриса $\angle yAB$ при этом не перейдёт в биссектрису $\angle yAB'$ — для этого надо будет ещё немного дожать в направлении вертикалей (сохраняя теперь горизонталь $AB'$). Посмотрите, преобразуется ли траектория при этом правильно. Если да — то и обоснование вы наверняка найдёте сами. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 17:25 
Аватара пользователя


09/10/15
2803
Columbia, Missouri, USA
А вот kotenok gav пишет, что это несложная координатно-геометрическая задача. Без всякой афинности. :)
Попробуйте мыслить конструктивно. Типа пришел сержант и приказал посторить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group