Две карты

[fred1996]

Пусть у нас даны две карты одной и той же местности разного масштаба.
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

#782

[worm2]

А бывают карты с дырками посередине?

[fred1996]

Давайте пока без топологических извращений.

[kotenok gav]

fred1996 в сообщении #1272500 писал(а):

Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.

Несложная координатно-геометрическая задача.

[ИСН]

Сжимающие отображения же.

[wrest]

Тут нужен arseniiv, который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка.

[wrest]

Я бы еще спросил: а как построить эту точку?

В случае если поворота нет, а есть только гомотетия, то неподвижная точка (центр гомотетии) находится легко, просто как пересечение прямых соединяющих одноименные вершины.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1272515 писал(а):

который скажет что в таком аффинном преобразовании обязательно найдется неподвижная точка

Ну тут действительно можно глянуть, сколько неподвижных точек вообще бывает у преобразования аффинной евклидовой плоскости. Или это вся плоскость, и преобразование необходимо тождественно — не наш случай, сказано «разного масштаба». Или это ничего — тогда это трансляция, опять не то. Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка!

[wrest]

arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):

Прямой это множество быть не может, карты обычно ориентированы одинаково. Остаётся точка!

Это-то понятно, т.к. мы явно видим, что там преобразование подобия в виде комбинации гомотетии и поворота. Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого. Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга? Для случая только гомотетии ответ очевиден (центр гомотетии это пересечение прямых, например проведенных через "одноименные" вершины квадратов).

[arseniiv]

wrest в сообщении #1272561 писал(а):

Вопрос -- обязана ли быть эта точка внутри маленького квадрата в случае если маленький квадрат оказался целиком внутри большого.

Да, это хороший вопрос, но ИСН уже написал ответ. Принцип сжимающих отображений отвечает, что точка внутри и одна.

wrest в сообщении #1272561 писал(а):

Ну и второй вопрос, можно ли циркулем и линейкой найти эту точку если мы точно знаем что обе фигуры - квадраты и у нас уже построены по крайней мере четыре пары точек (вершины) которые переходят друг в друга?

Тут сразу можно сказать, что для построения должно быть достаточно всего двух пар точек — упорядоченная пара точек, если зафиксировать ориентацию плоскости, задаёт ортогональный базис.

Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:

arseniiv в сообщении #1272555 писал(а):

преобразования аффинной евклидовой плоскости

Забыл про гомотетии.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1272563 писал(а):

Кстати, я тут ерунду написал, а вы не заметили:

Я в этих вопросах (аффинных преобразований) полностью вам доверяю.

(arseniiv)

И у меня к вам есть один вопросик про них.
Допустим, мы пуляем из рогатки по оптимальной траектории камень чтобы он пролетел 10 метров. Ну, под 45 градусов ессно. Теперь поворачиваем горизонталь на какой-то угол (но силу тяжести при этом оставляем вертикальной) и опять пуляем по оптимальной траектории. Вопрос -- будет ли вторая траектория результатом аффинного преобразования первой? Я вас призывал вот тут post1265253.html#p1265253 но вы не отозвались...

[arseniiv]

(wrest)

Ой, не слежу за уведомлениями. Когда читаешь другой список тем, там одни дубли в результате. Вообще, любая парабола будет аффинным преобразованием какой-то одной параболы. А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно.

-- Ср дек 06, 2017 16:32:46 --

Ну чего тут доверять, аффинные преобразования почти как линейные, просто к ним «добавили» параллельные переносы, а действуют они на том, что принято звать точками, вот и всё. Разница выходит небольшая.

[wrest]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1272579 писал(а):

А вот то, что надо кидать в направлении биссектрисы, если вам это интересно, мне сейчас не очевидно.

Это доказанный факт, см. «Туда и обратно - 2»
Так что если будет желание, заходите в мою тему и расскажите как аффинными преобразованиями задачка об оптимальной траектории решается в одну строчку. Я чувствую что это именно так, но знаний не хватает :)

[arseniiv]

(wrest)

Так я как раз и имел в виду, что как туда прикрутить аффинные, не имею (или почти не имею? кто знает!) понятия. Можно взять сдвиг, сохраняющий вертикали и точку $A$ и переводящий наклонную прямую $AB$ в горизонтальную $AB'$, но биссектриса $\angle yAB$ при этом не перейдёт в биссектрису $\angle yAB'$ — для этого надо будет ещё немного дожать в направлении вертикалей (сохраняя теперь горизонталь $AB'$). Посмотрите, преобразуется ли траектория при этом правильно. Если да — то и обоснование вы наверняка найдёте сами.

[fred1996]

А вот kotenok gav пишет, что это несложная координатно-геометрическая задача. Без всякой афинности. :)
Попробуйте мыслить конструктивно. Типа пришел сержант и приказал посторить.