2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 17:50 


21/05/16
1043
Аделаида
Ну решать подробно я пока не пробовал, но навскидку несложно решается.

-- 07 дек 2017, 01:22 --

Кстати, карты в вашей задаче - прямоугольные или квадратные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 18:29 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
kotenok gav в сообщении #1272635 писал(а):
Ну решать подробно я пока не пробовал, но навскидку несложно решается.

-- 07 дек 2017, 01:22 --

Кстати, карты в вашей задаче - прямоугольные или квадратные?


Это роли не играет. Кстати, задачка весьма школьного уровня.
И я бы сказал более для физического ума. Скажем так. Математик может доказать, что такая точка существует и она одна. А физик предложит процедуру построения. Хотя, не буду обижать математиков. Это ведь вполне геометрическая задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 18:57 


05/09/16
2432
fred1996 в сообщении #1272627 писал(а):
Типа пришел сержант и приказал посторить.

А ну если так, то пожалста.
Строим прямые проходящие через "одноименные" вершины. 4 прямых образуют четырехугольник. Строим диагонали этому четырехугольнику и на их пересечении как раз и будет искомая точка.

(Как-то так:)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 19:16 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA

(Оффтоп)

Не, ну я все-таки имею ввиду не совсем тупого сержанта.
Сержант приказал, а пользоваться будут рядовые. Представьте, что у вас есть выгребная яма и нужно построить сортир. Ведь желательно построить сортир над выгребной ямой, а не абы где. Ваша формулировка красивая, но не рабочая

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
fred1996 в сообщении #1272627 писал(а):
Без всякой афинности. :)
Так с ней же всё проще — это же геометрия, в отличие от каких-то там координат. Даже если точное построение, начинающееся отсюда, никто не укажет, у нас с самого начала есть сколь угодно точное итеративное: будем повторять преобразование большой карты в маленькую столько раз, сколько хочется, уменьшая область, вне которой неподвижной точки гарантированно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 23:27 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
arseniiv
Забавено, что я, пока думал, чем это чертеж wrest
является доказательством, тоже додумался до предела последовательности.
Видимо у этой задачки есть несколько типов доказательств.
Хотя, чем этот чертеж доказательство, я так и не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение06.12.2017, 23:49 


05/09/16
2432
fred1996 в сообщении #1272746 писал(а):
Хотя, чем этот чертеж доказательство, я так и не понял.

Да неправильный он, с поворотом не справляется :(
Пока что правильный чертеж не выходит, и так и сяк пробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
Как уже говорил, правильный должен и для подобных треугольников сработать, так что можно ничего не делать с одной вершиной каждого квадрата — и если в кандидате на решение это приходится, время сомнениям. Тоже ничего в голову не приходит, надо засесть с ручкой…

Можно попробовать такой план, если кто-то захочет: вот у нас аффинное преобразование $X\mapsto O + A(X-O) - \mathbf b$, и пусть мы можем по трём точкам и их образам получить какой-нибудь из эквивалентных наборов $(O, A,\mathbf b)$, его задающих, в каком-то виде, который можно построить. Уравнение неподвижной точки $(A - 1)(X-O) = \mathbf b$ после этого можно бы решить: $X = O + (A-1)^{-1}\mathbf b$. Можем ли мы обратить линейный оператор? Резонно ли его представить набором из некоторого базиса и его образа (а сами эти векторы — точками, получающимися при действии их на $O$)?

Наверняка этот план трудноподъёмный, но если подъёмный, это должно дать решение гарантированно (ничего не упустил?).

-- Чт дек 07, 2017 03:02:39 --

Часть ответов, разворачивающихся натурально по мере записи вопросов, вдогонку. Во-первых, $O$ мы свободны выбрать как угодно. Далее, у нас есть набор $(K,L,M,\mathcal AK,\mathcal AL,\mathcal AM)$, примем же $O=K$. Имеем $K - \mathcal AK = \mathbf b$ и имеем способ нарисовать $A(L-K)$ и $A(M-K)$ — образы базисных векторов $L-K, M-K$. Всё, мы можем применить преобразование $\mathcal A$ к чему угодно и имеем представление об отдельных $O, A,\mathbf b$. Представляющие $A-1$ образы базисных векторов получаются элементарно. Как его обратить? Просто: поменяем роли векторов в представлении местами. Задача решена, можно идти спать.

UPD. Некоторое время proof of concept (для лентяев :-)) будет вот тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 02:40 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
Ладно, тогда и я опишу ход своих мыслей. По мере того, как они поступали в мою голову.
1. Выбираем на большой карте точку, которая находится под малой картой. Отмечаем ее и находим на малой карте ей соответствующую. Проводим прямую между ними, и устремляемся из первой точки во вторую с постоянной скоростью $v_1$. Очевидно на малой карте соответствующая скорость $v_2$ будет меньше. То есть получается обычная задача преследования, когда скорость хищника больше скорости жертвы, а хищник все время нацелен на жертву. Понятно, что скорость сближения этих двух точек в любой момент будет $v_1-v_2\cos\alpha$, где $\alpha$ - угол поворота одной карты относительно другой. То есть хищник настигнет жертву в искомой точке за конечное время. И можно даже посчитать форму траектории в полярных координатах.
2. Решив задачку таким образом, я вспомнил, что хищник ведь может подобрать и оптимальную стратегию. А оптимальная стратегия - это движение по прямой.
То есть на самом деле задача просто сводится к построению треугольника при заданном основании, заданном угле напротив основания и известном соотношении длин примыкающих сторон.
3. Ну а третий тип мы уже тут arseniiv
Обсудили. Делаем предельный переход в виде конструирования последующей карты в пропорциональном соотношении масштабов, развороте ее на тот же куол относительно предыдущей карты и киданием ее в соответствующее место. Предел карт и даст нам искомую точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 03:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Преобразование комплексной плоскости, соответствующее задаче, имеет вид $w=z_0z+z_1.$ Уравнение $z=z_0z+z_1$ всегда имеет единственное решение при $z_0\ne0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 04:05 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
amon в сообщении #1272781 писал(а):
Преобразование комплексной плоскости, соответствующее задаче, имеет вид $w=z_0z+z_1.$ Уравнение $z=z_0z+z_1$ всегда имеет единственное решение при $z_0\ne0.$


Хорошо, что напомнили про комплексные числа. У меня где-то завалялись задачки по геометрии, которые красиво решаются как раз с их использованием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 18:30 


05/09/16
2432
fred1996 в сообщении #1272774 писал(а):
То есть на самом деле задача просто сводится к построению треугольника при заданном основании, заданном угле напротив основания и известном соотношении длин примыкающих сторон.

Можете указать конкретный способ построения? Вот есть два квадрата $ABCD$ и $A'B'C'D'$, один внутри другого - куда прикладывать линейку и циркуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Действительно, вы сетовали на математиков за неконструктивность решения... А сами предлагаете осуществить предельный переход! В то время как изначально задача звучала как
fred1996 в сообщении #1272500 писал(а):
Доказать, что найдется единственная точка местности, которая пространственно совпадет на обеих картах в данном положении.
Доказать! А отнюдь не "найти"!

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 18:38 


05/09/16
2432

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1272774 писал(а):
То есть хищник настигнет жертву в искомой точке за конечное время.

М-да, догонит ли Ахиллес Черепаху? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Две карты
Сообщение07.12.2017, 19:31 
Аватара пользователя


09/10/15
2428
San Jose, USA
provincialka
Извините, я ведь и отметил, что математики смогут доказать единственность, что и было проделано.
Ну а потом уже расширил задачу на конструктивность.
Во всех приведенных мной вариантах я изложил конструктивный алгоритм. Мне кажется этого достаточно. Я не гарантировал пользования только циркулем и линейкой.
Тем более в задачах с произвольными углами и масштабированиями это невозможно.
Кстати, в постановке задачи в виде преследования хищник-жертва можно вычислить формы кривых аналитически и выдать окончательный ответ в формульном виде. Неплохая задачка на построение и решение простеньких дифуров.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group