2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 00:30 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Изображение
В центре Внутри треугольника $ABC$ все три угла по $120$ градусов.
Доказать, что $u+v+w=x$
И давайте без тригонометрии попробуем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:27 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Добавлю, что на мой любительский взгляд задачка не совсем тривиальная.
Требует истинно геометрического воображения. Надо покопаться в памяти и вспомнить, какие геометрические трюки кроме доп построений существуют в природе.
Так что если местным зубрам будет сразу не по зубам, через несколько дней дам первую подсказку. Она будет только на уровне названия трюка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:48 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
g______d в сообщении #1272292 писал(а):
Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

И что будет? Чисто геометрически пока у этих треугольников ничего общего в смысле подобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Прошу прощения, я перепутал. Беру слова назад.

-- Вт, 05 дек 2017 09:37:35 --

(Оффтоп)

На самом деле хочется из точки $M$ нарисовать три равносторонних треугольника, опускающихся на соответствующие стороны. Но я лучше сначала проверю...

Собственно, теперь правильно вроде. Получаются 6 треугольников (3 пары одинаковых), из них можно сложить исходную картинку.


-- Вт, 05 дек 2017 09:48:00 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:01 


30/03/08
187
St.Peterburg
Изображение

$T$ - точка Торричелли $\triangle ABC$

$AT+BT+CN= AA_1=BB_1=CC_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:14 


05/09/16
3590
Достроим на каждой стороне треугольника $ABC$ равносторонний треугольник...
Ну а потом будем резать и кромсать, кромсать и резать...

-- 06.12.2017, 00:14 --

А.. уже покромсали :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:33 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Мда, оказывается точка $D$ называется точкой Торричелли. Пока не понял, почему $BB'$ обязана быть прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:42 


05/09/16
3590
fred1996
Точкой Ферма еще.

Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие :mrgreen: помойму последние известия с этого фронта были от Морлея о пересечении трисектрис в начале прошлого века.


Точка Ферма такова, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

-- 06.12.2017, 00:47 --

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 01:24 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
wrest в сообщении #1272455 писал(а):
fred1996

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.


Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике. Просто не зна, что у нее есть специальное имя.
А сам этот принцип я использовал прямо тут при решении задачи про точки на окружности:

topic122982.html

Сейчас, пообщавшись тут поплотнее с математиками, с удивлением обнаружил, как некоторые физические принципы помогают при решении казалось бы совсем уж не физических задач. Думаю, многие задачи на оптимизацию можно было бы скрестить с физикой.

А по данной задаче у меня тут под рукой есть еще три решения. Но они более громоздкие, чем представленный чертеж. Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5474

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1272455 писал(а):
Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие
Но если вдруг покажется, что удалось, лучше перепроверить в этой энциклопедии нет ли такой уже (там всего-то этих точек меньше 16 тысяч).

PS. А нет, не знаю, может там только всякие центры собраны, а вовсе не все особые точки треугольника.

fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):
Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.
Приятного чтения :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Вложение:
triangle.jpg
triangle.jpg [ 52.23 Кб | Просмотров: 0 ]


Ну мне кажется, что моя изначальная идея (не считая бредового первого коммента) тоже не очень громоздкая. Если нарисовать (красным) из точки $M$ на правой картинке три равносторонних треугольника, то останется три параллелограмма, каждый из которых распадётся на два одинаковых треугольника с углом 120 градусов. Из трёх таких треугольников составляется исходная картинка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 02:45 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
g______d
Очень красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 11:18 


05/09/16
3590
fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):
Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике.

А... как я угадал. А оно оказывается всем известно, поскольку написано прямо в википедии в статье про точку Ферма и как её найти: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BC%D0%B0
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group