Два "связанных" треугольника"

[fred1996]

В центре Внутри треугольника $ABC$ все три угла по $120$ градусов.
Доказать, что $u+v+w=x$
И давайте без тригонометрии попробуем.

[fred1996]

Добавлю, что на мой любительский взгляд задачка не совсем тривиальная.
Требует истинно геометрического воображения. Надо покопаться в памяти и вспомнить, какие геометрические трюки кроме доп построений существуют в природе.
Так что если местным зубрам будет сразу не по зубам, через несколько дней дам первую подсказку. Она будет только на уровне названия трюка.

[g______d]

Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

[fred1996]

g______d в сообщении #1272292 писал(а):

Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

И что будет? Чисто геометрически пока у этих треугольников ничего общего в смысле подобия.

[g______d]

Прошу прощения, я перепутал. Беру слова назад.

-- Вт, 05 дек 2017 09:37:35 --

(Оффтоп)

На самом деле хочется из точки $M$ нарисовать три равносторонних треугольника, опускающихся на соответствующие стороны. Но я лучше сначала проверю...

Собственно, теперь правильно вроде. Получаются 6 треугольников (3 пары одинаковых), из них можно сложить исходную картинку.

-- Вт, 05 дек 2017 09:48:00 --

[Sergic Primazon]

$T$ - точка Торричелли $\triangle ABC$

$AT+BT+CN= AA_1=BB_1=CC_1$

[wrest]

Достроим на каждой стороне треугольника $ABC$ равносторонний треугольник...
Ну а потом будем резать и кромсать, кромсать и резать...

-- 06.12.2017, 00:14 --

А.. уже покромсали

[fred1996]

Мда, оказывается точка $D$ называется точкой Торричелли. Пока не понял, почему $BB'$ обязана быть прямой.

[wrest]

fred1996
Точкой Ферма еще.

Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие помойму последние известия с этого фронта были от Морлея о пересечении трисектрис в начале прошлого века.


Точка Ферма такова, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

-- 06.12.2017, 00:47 --

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.

[fred1996]

wrest в сообщении #1272455 писал(а):

fred1996

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.

Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике. Просто не зна, что у нее есть специальное имя.
А сам этот принцип я использовал прямо тут при решении задачи про точки на окружности:

topic122982.html

Сейчас, пообщавшись тут поплотнее с математиками, с удивлением обнаружил, как некоторые физические принципы помогают при решении казалось бы совсем уж не физических задач. Думаю, многие задачи на оптимизацию можно было бы скрестить с физикой.

А по данной задаче у меня тут под рукой есть еще три решения. Но они более громоздкие, чем представленный чертеж. Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.

[grizzly]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1272455 писал(а):

Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие

Но если вдруг покажется, что удалось, лучше перепроверить в этой энциклопедии нет ли такой уже (там всего-то этих точек меньше 16 тысяч).

PS. А нет, не знаю, может там только всякие центры собраны, а вовсе не все особые точки треугольника.

fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):

Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.

Приятного чтения

[g______d]

Вложение:

triangle.jpg [ 52.23 Кб | Просмотров: 0 ]

Ну мне кажется, что моя изначальная идея (не считая бредового первого коммента) тоже не очень громоздкая. Если нарисовать (красным) из точки $M$ на правой картинке три равносторонних треугольника, то останется три параллелограмма, каждый из которых распадётся на два одинаковых треугольника с углом 120 градусов. Из трёх таких треугольников составляется исходная картинка.

[fred1996]

g______d
Очень красивое решение.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):

Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике.

А... как я угадал. А оно оказывается всем известно, поскольку написано прямо в википедии в статье про точку Ферма и как её найти: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BC%D0%B0