2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 00:30 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Изображение
В центре Внутри треугольника $ABC$ все три угла по $120$ градусов.
Доказать, что $u+v+w=x$
И давайте без тригонометрии попробуем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:27 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Добавлю, что на мой любительский взгляд задачка не совсем тривиальная.
Требует истинно геометрического воображения. Надо покопаться в памяти и вспомнить, какие геометрические трюки кроме доп построений существуют в природе.
Так что если местным зубрам будет сразу не по зубам, через несколько дней дам первую подсказку. Она будет только на уровне названия трюка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:48 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
g______d в сообщении #1272292 писал(а):
Я не писал, потому что мне она показалась слишком простой.

(Оффтоп)

Приложить треугольники, пересекающиеся по отрезкам $u$, $v$, $w$ по тем же отрезкам наоборот.

И что будет? Чисто геометрически пока у этих треугольников ничего общего в смысле подобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение05.12.2017, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Прошу прощения, я перепутал. Беру слова назад.

-- Вт, 05 дек 2017 09:37:35 --

(Оффтоп)

На самом деле хочется из точки $M$ нарисовать три равносторонних треугольника, опускающихся на соответствующие стороны. Но я лучше сначала проверю...

Собственно, теперь правильно вроде. Получаются 6 треугольников (3 пары одинаковых), из них можно сложить исходную картинку.


-- Вт, 05 дек 2017 09:48:00 --

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:01 


30/03/08
187
St.Peterburg
Изображение

$T$ - точка Торричелли $\triangle ABC$

$AT+BT+CN= AA_1=BB_1=CC_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:14 


05/09/16
3591
Достроим на каждой стороне треугольника $ABC$ равносторонний треугольник...
Ну а потом будем резать и кромсать, кромсать и резать...

-- 06.12.2017, 00:14 --

А.. уже покромсали :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:33 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Мда, оказывается точка $D$ называется точкой Торричелли. Пока не понял, почему $BB'$ обязана быть прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 00:42 


05/09/16
3591
fred1996
Точкой Ферма еще.

Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие :mrgreen: помойму последние известия с этого фронта были от Морлея о пересечении трисектрис в начале прошлого века.


Точка Ферма такова, что сумма расстояний от нее до вершин минимальна.

-- 06.12.2017, 00:47 --

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 01:24 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
wrest в сообщении #1272455 писал(а):
fred1996

Кстати, вот если связать три веревки, в вершинах просверлить дырки, пропустить веревки через дырки и подвесить на веревки одинаковые грузы, то узел окажется в точке Ферма, как мне кажется. Если треугольник положить горизонтально, конечно. Но может я и не прав, не уверен.


Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике. Просто не зна, что у нее есть специальное имя.
А сам этот принцип я использовал прямо тут при решении задачи про точки на окружности:

topic122982.html

Сейчас, пообщавшись тут поплотнее с математиками, с удивлением обнаружил, как некоторые физические принципы помогают при решении казалось бы совсем уж не физических задач. Думаю, многие задачи на оптимизацию можно было бы скрестить с физикой.

А по данной задаче у меня тут под рукой есть еще три решения. Но они более громоздкие, чем представленный чертеж. Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 01:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5475

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1272455 писал(а):
Вам вряд ли удастся найти в треугольнике какую-то особую точку, которую не нашли до вас великие
Но если вдруг покажется, что удалось, лучше перепроверить в этой энциклопедии нет ли такой уже (там всего-то этих точек меньше 16 тысяч).

PS. А нет, не знаю, может там только всякие центры собраны, а вовсе не все особые точки треугольника.

fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):
Надо будет про треугольники и их особые точки побольше почитать.
Приятного чтения :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Вложение:
triangle.jpg
triangle.jpg [ 52.23 Кб | Просмотров: 0 ]


Ну мне кажется, что моя изначальная идея (не считая бредового первого коммента) тоже не очень громоздкая. Если нарисовать (красным) из точки $M$ на правой картинке три равносторонних треугольника, то останется три параллелограмма, каждый из которых распадётся на два одинаковых треугольника с углом 120 градусов. Из трёх таких треугольников составляется исходная картинка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 02:45 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
g______d
Очень красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два "связанных" треугольника"
Сообщение06.12.2017, 11:18 


05/09/16
3591
fred1996 в сообщении #1272462 писал(а):
Все верно. Эта задачка входит обязательным элементов в подготовку моих олимпиадников по физике.

А... как я угадал. А оно оказывается всем известно, поскольку написано прямо в википедии в статье про точку Ферма и как её найти: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BC%D0%B0
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group