2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение01.12.2017, 18:22 


18/04/15
29
Дана окружность радиуса $R$, центром $O$ и $n$ точек на ней $A_1, \dots, A_n$. Известно, что $\vec{OA_1} + \dots + \vec{OA_n} = 0$. Нужно доказать, что для любой точки плоскости $X$ верно $XA_1 + \dots + XA_n \geq  nR$, где $XA_i$ - длина вектора $\vec{XA_i}$.

Доказать неравенство $XA_1^2 + \dots + XA_n^2 \geq nR^2$, довольно легко.
обозначим через $(x_i, y_i)$ - координаты вектора $OA_i$, тогда верно что сумма $\sum_{i = 1}^{n}{x_i} = 0$ и $\sum_{i = 1}^{n}{y_i} = 0$. Это следует из того что сумма векторов $OA_i$ равна нулю. Обозначим через $(x_i^{'}, y_i^{'})$ координаты вектора $XA_i$. можно выбрать систему координат, так что $y_i^{'} = y_i, x_i^{'}= x_i + d$, где $d$ - расстояние от точки $X$ до точки $O$. Используя $x_i^2 + y_i^2 = R^2$, получаем $\sum_{i = 1}^{n}{(x_i+d)^2 + y_i^2} = nR^2 + nd^2$. Ну как бы все.
А вот как доказать неравенство из задачи вообще не понятно.

Если делать также, то получается, что нужно доказать какие то невероятные неравенства. Если рассматривать эту сумму как функцию от $d$ и попробовать показать что ее производная не отрицательна, то опять нужно доказывать дикие неравенства. Переход в комплексную плоскость мне ничего не дал.

Так что, если у кого-нибудь есть идеи, плиз хелп)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение01.12.2017, 18:50 


05/09/16
11469
Не на 100% уверен, но я бы рассуждал так. Точки не могут располагаться совсем уж произвольно, из за условия нулевой суммы векторов из центра до точек на окружности.
Если точек две, то они явно на диаметре.
Если точек три, то они в вершинах вписанного равностороннего треугольника.
Если точек четыре, то они на двух (возможно совпадающих) диаметрах.
Если точек пять, то они...

Еще одно соображение -- если скажем точки это одинаковые массы, то мне кажется, что окружность с такими массами расположенными на ней, будет иметь центр масс (центр инерции) в центре окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение01.12.2017, 19:38 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Поверните каждый из векторов $XA_i$ по часовой стрелке на полярный угол вектора $OA_i$, и рассмотрите сумму таких повернутых векторов. Докажите, что длина суммы не зависит от X.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение01.12.2017, 22:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Известно, что расстояние от переменной точки $X$ до любой фиксированной есть выпуклая функция $X$ (это легко следует из аксиом нормы). Соответственно, и сумма расстояний от $X$ до фиксированных $A_i$ тоже выпукла. Остаётся проверить, что градиент этой суммы равен нулю при $X=O$. Но это уже совсем просто: как только этот вопрос поставлен, так практически сразу и решён.

wrest в сообщении #1270753 писал(а):
Точки не могут располагаться совсем уж произвольно, из за условия нулевой суммы векторов из центра до точек на окружности.
Если точек две, то они явно на диаметре.
Если точек три, то они в вершинах вписанного равностороннего треугольника.
Если точек четыре, то они на двух (возможно совпадающих) диаметрах.
Если точек пять, то они...

... чувствуют себя достаточно вольготно. Не совсем вольготно, но достаточно. Поставьте четыре точки симметрично относительно диаметра, проходящего через пятую -- и одна степень свободы у них останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 13:49 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Запишем равенство: $\overrightarrow {OA_i}=\overrightarrow {OX}+\overrightarrow {XA_i}$. Эти три вектора образуют треугольник. Используйте известное неравенство между длинами сторон треугольника, а затем полученное уже значение суммы $\sum \limits _{i}(XA_i)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 16:25 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Задачку можно решить чисто энергетически, расположив окружность на столе, просверлив дырки во всех данных точках на окружности и спустив в дырочки на ниточках одинаковые грузики. А ниточки соответственно связав другими концами в один узелок. Тогда этот узелок расположится аккурат по центру окружности, в каковом положении вся система и будет находиться в равновесии. В случае, если все точки расположены на одном диаметре, равновесие безразличное, в остальных случаях устойчивое. Чтобы понять, что равновесие устойчивое, достаточно узелок сдвинуть чуток в любом направлении и провести прямую, перпендикулярную этому направлению. Прямая разделит наши ниточки с грузиками на два набора, имеющие либо положительные, либо отрицательные проекции на выбранное направления. Соответственно величины проекций сил в положительном направлении уменьшатся, а в отрицательном увеличатся. То есть появится возвращающая сила. А это и есть доказательство устойчивости равновесия. Кроме того это у нас не локальный, а абсолютный минимум, поскольку мы можем сделать сдвиг на любую величину в любом направлении, и по тем же соображениям у нас появится возвращающая сила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 21:42 


18/04/15
29
fred1996 в сообщении #1271074 писал(а):
Задачку можно решить чисто энергетически, расположив окружность на столе, просверлив дырки во всех данных точках на окружности и спустив в дырочки на ниточках одинаковые грузики. А ниточки соответственно связав другими концами в один узелок. Тогда этот узелок расположится аккурат по центру окружности, в каковом положении вся система и будет находиться в равновесии. В случае, если все точки расположены на одном диаметре, равновесие безразличное, в остальных случаях устойчивое. Чтобы понять, что равновесие устойчивое, достаточно узелок сдвинуть чуток в любом направлении и провести прямую, перпендикулярную этому направлению. Прямая разделит наши ниточки с грузиками на два набора, имеющие либо положительные, либо отрицательные проекции на выбранное направления. Соответственно величины проекций сил в положительном направлении уменьшатся, а в отрицательном увеличатся. То есть появится возвращающая сила. А это и есть доказательство устойчивости равновесия. Кроме того это у нас не локальный, а абсолютный минимум, поскольку мы можем сделать сдвиг на любую величину в любом направлении, и по тем же соображениям у нас появится возвращающая сила.


Возвращающая сила вроде должна появиться в направлении противоположном, направлению сдвига, а не перпендикулярно ему. Ну да это верно. Но как это все таки это доказывает неравенство?

-- 02.12.2017, 21:44 --

mihiv в сообщении #1271000 писал(а):
Запишем равенство: $\overrightarrow {OA_i}=\overrightarrow {OX}+\overrightarrow {XA_i}$. Эти три вектора образуют треугольник. Используйте известное неравенство между длинами сторон треугольника, а затем полученное уже значение суммы $\sum \limits _{i}(XA_i)^2$.


Не очень понятны дальнейшие выкладки. Вроде возникают подобные неравенства, которые возникали у меня. Если не трудно, можете привести дальнейшие рассуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):
в направлении противоположном, направлению сдвига а не перпендикулярно ему
А кто говорил о проекциях на перпендикулярное направление? Советую сделать рисунок и рассмотреть, как было сказано, проекции на направление сдвига.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 21:56 


18/04/15
29
ewert в сообщении #1270821 писал(а):
Известно, что расстояние от переменной точки $X$ до любой фиксированной есть выпуклая функция $X$ (это легко следует из аксиом нормы). Соответственно, и сумма расстояний от $X$ до фиксированных $A_i$ тоже выпукла. Остаётся проверить, что градиент этой суммы равен нулю при $X=O$. Но это уже совсем просто: как только этот вопрос поставлен, так практически сразу и решён.


Спасибо за идею!) Действительно все получается!

Но все таки.. эта задача давалась на контрольной по линалу на первом курсе среди абсолютно стандартных задач. То есть, студенту нужно знать неравенство Йесена, показать что для расстояние оно верно, для суммы очевидно и потом найти противоречие если сумма оказалось меньше чем в условии?! Как слишком хардкорно! еще учитывая уровень остальных задач.

-- 02.12.2017, 21:59 --

Someone в сообщении #1271185 писал(а):
Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):
в направлении противоположном, направлению сдвига а не перпендикулярно ему
А кто говорил о проекциях на перпендикулярное направление? Советую сделать рисунок и рассмотреть, как было сказано, проекции на направление сдвига.


Да Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебра, геометрия, возможно анализ.
Сообщение02.12.2017, 22:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):
Не очень понятны дальнейшие выкладки.

Я имею в виду неравенство $a>|b-c|$, где $a,b,c$ - длины сторон треугольника.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group