Алгебра, геометрия, возможно анализ.

[Darts501]

Дана окружность радиуса $R$, центром $O$ и $n$ точек на ней $A_1, \dots, A_n$. Известно, что $\vec{OA_1} + \dots + \vec{OA_n} = 0$. Нужно доказать, что для любой точки плоскости $X$ верно $XA_1 + \dots + XA_n \geq nR$, где $XA_i$ - длина вектора $\vec{XA_i}$.

Доказать неравенство $XA_1^2 + \dots + XA_n^2 \geq nR^2$, довольно легко.
обозначим через $(x_i, y_i)$ - координаты вектора $OA_i$, тогда верно что сумма $\sum_{i = 1}^{n}{x_i} = 0$ и $\sum_{i = 1}^{n}{y_i} = 0$. Это следует из того что сумма векторов $OA_i$ равна нулю. Обозначим через $(x_i^{'}, y_i^{'})$ координаты вектора $XA_i$. можно выбрать систему координат, так что $y_i^{'} = y_i, x_i^{'}= x_i + d$, где $d$ - расстояние от точки $X$ до точки $O$. Используя $x_i^2 + y_i^2 = R^2$, получаем $\sum_{i = 1}^{n}{(x_i+d)^2 + y_i^2} = nR^2 + nd^2$. Ну как бы все.
А вот как доказать неравенство из задачи вообще не понятно.

Если делать также, то получается, что нужно доказать какие то невероятные неравенства. Если рассматривать эту сумму как функцию от $d$ и попробовать показать что ее производная не отрицательна, то опять нужно доказывать дикие неравенства. Переход в комплексную плоскость мне ничего не дал.

Так что, если у кого-нибудь есть идеи, плиз хелп)).

[wrest]

Не на 100% уверен, но я бы рассуждал так. Точки не могут располагаться совсем уж произвольно, из за условия нулевой суммы векторов из центра до точек на окружности.
Если точек две, то они явно на диаметре.
Если точек три, то они в вершинах вписанного равностороннего треугольника.
Если точек четыре, то они на двух (возможно совпадающих) диаметрах.
Если точек пять, то они...

Еще одно соображение -- если скажем точки это одинаковые массы, то мне кажется, что окружность с такими массами расположенными на ней, будет иметь центр масс (центр инерции) в центре окружности.

[12d3]

Поверните каждый из векторов $XA_i$ по часовой стрелке на полярный угол вектора $OA_i$, и рассмотрите сумму таких повернутых векторов. Докажите, что длина суммы не зависит от X.

[ewert]

Известно, что расстояние от переменной точки $X$ до любой фиксированной есть выпуклая функция $X$ (это легко следует из аксиом нормы). Соответственно, и сумма расстояний от $X$ до фиксированных $A_i$ тоже выпукла. Остаётся проверить, что градиент этой суммы равен нулю при $X=O$. Но это уже совсем просто: как только этот вопрос поставлен, так практически сразу и решён.

wrest в сообщении #1270753 писал(а):

Точки не могут располагаться совсем уж произвольно, из за условия нулевой суммы векторов из центра до точек на окружности.
Если точек две, то они явно на диаметре.
Если точек три, то они в вершинах вписанного равностороннего треугольника.
Если точек четыре, то они на двух (возможно совпадающих) диаметрах.
Если точек пять, то они...

... чувствуют себя достаточно вольготно. Не совсем вольготно, но достаточно. Поставьте четыре точки симметрично относительно диаметра, проходящего через пятую -- и одна степень свободы у них останется.

[mihiv]

Запишем равенство: $\overrightarrow {OA_i}=\overrightarrow {OX}+\overrightarrow {XA_i}$. Эти три вектора образуют треугольник. Используйте известное неравенство между длинами сторон треугольника, а затем полученное уже значение суммы $\sum \limits _{i}(XA_i)^2$.

[fred1996]

Задачку можно решить чисто энергетически, расположив окружность на столе, просверлив дырки во всех данных точках на окружности и спустив в дырочки на ниточках одинаковые грузики. А ниточки соответственно связав другими концами в один узелок. Тогда этот узелок расположится аккурат по центру окружности, в каковом положении вся система и будет находиться в равновесии. В случае, если все точки расположены на одном диаметре, равновесие безразличное, в остальных случаях устойчивое. Чтобы понять, что равновесие устойчивое, достаточно узелок сдвинуть чуток в любом направлении и провести прямую, перпендикулярную этому направлению. Прямая разделит наши ниточки с грузиками на два набора, имеющие либо положительные, либо отрицательные проекции на выбранное направления. Соответственно величины проекций сил в положительном направлении уменьшатся, а в отрицательном увеличатся. То есть появится возвращающая сила. А это и есть доказательство устойчивости равновесия. Кроме того это у нас не локальный, а абсолютный минимум, поскольку мы можем сделать сдвиг на любую величину в любом направлении, и по тем же соображениям у нас появится возвращающая сила.

[Darts501]

fred1996 в сообщении #1271074 писал(а):

Задачку можно решить чисто энергетически, расположив окружность на столе, просверлив дырки во всех данных точках на окружности и спустив в дырочки на ниточках одинаковые грузики. А ниточки соответственно связав другими концами в один узелок. Тогда этот узелок расположится аккурат по центру окружности, в каковом положении вся система и будет находиться в равновесии. В случае, если все точки расположены на одном диаметре, равновесие безразличное, в остальных случаях устойчивое. Чтобы понять, что равновесие устойчивое, достаточно узелок сдвинуть чуток в любом направлении и провести прямую, перпендикулярную этому направлению. Прямая разделит наши ниточки с грузиками на два набора, имеющие либо положительные, либо отрицательные проекции на выбранное направления. Соответственно величины проекций сил в положительном направлении уменьшатся, а в отрицательном увеличатся. То есть появится возвращающая сила. А это и есть доказательство устойчивости равновесия. Кроме того это у нас не локальный, а абсолютный минимум, поскольку мы можем сделать сдвиг на любую величину в любом направлении, и по тем же соображениям у нас появится возвращающая сила.

Возвращающая сила вроде должна появиться в направлении противоположном, направлению сдвига, а не перпендикулярно ему. Ну да это верно. Но как это все таки это доказывает неравенство?

-- 02.12.2017, 21:44 --

mihiv в сообщении #1271000 писал(а):

Запишем равенство: $\overrightarrow {OA_i}=\overrightarrow {OX}+\overrightarrow {XA_i}$. Эти три вектора образуют треугольник. Используйте известное неравенство между длинами сторон треугольника, а затем полученное уже значение суммы $\sum \limits _{i}(XA_i)^2$.

Не очень понятны дальнейшие выкладки. Вроде возникают подобные неравенства, которые возникали у меня. Если не трудно, можете привести дальнейшие рассуждения.

[Someone]

Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):

в направлении противоположном, направлению сдвига а не перпендикулярно ему

А кто говорил о проекциях на перпендикулярное направление? Советую сделать рисунок и рассмотреть, как было сказано, проекции на направление сдвига.

[Darts501]

ewert в сообщении #1270821 писал(а):

Известно, что расстояние от переменной точки $X$ до любой фиксированной есть выпуклая функция $X$ (это легко следует из аксиом нормы). Соответственно, и сумма расстояний от $X$ до фиксированных $A_i$ тоже выпукла. Остаётся проверить, что градиент этой суммы равен нулю при $X=O$. Но это уже совсем просто: как только этот вопрос поставлен, так практически сразу и решён.

Спасибо за идею!) Действительно все получается!

Но все таки.. эта задача давалась на контрольной по линалу на первом курсе среди абсолютно стандартных задач. То есть, студенту нужно знать неравенство Йесена, показать что для расстояние оно верно, для суммы очевидно и потом найти противоречие если сумма оказалось меньше чем в условии?! Как слишком хардкорно! еще учитывая уровень остальных задач.

-- 02.12.2017, 21:59 --

Someone в сообщении #1271185 писал(а):

Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):

в направлении противоположном, направлению сдвига а не перпендикулярно ему

А кто говорил о проекциях на перпендикулярное направление? Советую сделать рисунок и рассмотреть, как было сказано, проекции на направление сдвига.

Да Вы правы.

[mihiv]

Darts501 в сообщении #1271183 писал(а):

Не очень понятны дальнейшие выкладки.

Я имею в виду неравенство $a>|b-c|$, где $a,b,c$ - длины сторон треугольника.