Среднее в смешанном состоянии

[StaticZero]

Вот формулировка задачи (дословная):

Цитата:

Найти среднее значение оператора $\hat L_z$, если угловая часть волновой функции смешанного состояния в центральном поле имеет вид

$$ \mathscr Y_{lm} = \dfrac{\sqrt 3}{2 \sqrt \pi} \sin \theta \cos \varphi. $$

Фраза про смешанное состояние не понятна. Насколько известно мне, в смешанном состоянии нужно задать матрицу плотности, и тогда среднее будет вычисляться, как

$$ \overline{\hat L_z} = \operatorname{tr} (\rho \hat L_z). $$

Матрица плотности здесь не задана, поэтому формулировка мне кажется некорректной. Если выбросить фразу про смешанное состояние, получается $\overline{\hat L_z} = 0$. Проверьте меня, пожалуйста.

[Gickle]

У меня тоже создаётся впечатление, что "смешанное" добавили либо для красного словца, либо чтобы запутать немного. Можно представить себе, наверное, что у вашей матрицы плотности

$\hat{\rho} = \sum_s p_s |\Psi_s\rangle \langle \Psi_s |$

у всех состояний $|\Psi_s\rangle$ угловая часть имеет вид, приведённый выше. Разумеется, поскольку $\langle \Psi_s| \hat{L}_z | \Psi_s \rangle = 0$, то и итоговый ответ нуль даст.

[amon]

Словосочетание

StaticZero в сообщении #1272108 писал(а):

угловая часть волновой функции

наводит на мысль, что имеется ввиду функция, не являющаяся собственной функцией оператора углового момента, т.е. она соответствует смеси состояний с разными $L_z$ и $L^2$.

[Cos(x-pi/2)]

StaticZero
Наверное, правильно.

Может быть, "смешанным" состоянием здесь названа суперпозиция состояний с $L_z=1$ и $L_z=-1.$ Вообще-то, и индекс $m$ у этой волновой функции (p-состояния, направленного вдоль оси $x)$ плохо смотрится, если, как обычно, считать, что $m=L_z.$

[StaticZero]

amon, честно говоря, я не понял вас. Ведь не обязательно, чтобы $\hat L_z \psi = \lambda \psi$.

[amon]

StaticZero в сообщении #1272122 писал(а):

Ведь не обязательно, чтобы $\hat L_z \psi = \lambda \psi$

В смысле "такие состояния тоже отвечают одной энергии"? Да, необязательно. Но это состояние является смесью состояний с разным $L_z.$ Там, по-моему, еще с нормировкой наврано.

[Cos(x-pi/2)]

Ребят, нормально всё:

Вот суперпозиция нормированных взаимно ортогональных собственных функций $Y_{l=1,\,m=\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin \theta \, e^{\pm i\varphi}$ для операторов $\hat{\vec{L}}^2,$ $\hat L_z$ c амплитудами $\mp 1 / \sqrt{2},$ гарантирующими нормировку на единицу и самой линейной комбинации:

$-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,1}+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,\, -1}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \left ( e^{ i\varphi}+e^{- i\varphi} \right ) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \cos \varphi \, .$

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272201 писал(а):

Вот суперпозиция нормированных взаимно ортогональных собственных функций

Ох, забанят нас сейчас за решение простой учебной задачи! Действительно, все с нормировкой в порядке. Я исходил из $Y_1^{\pm 1}\sim\frac{X\pm i Y}{\sqrt{2}}$ и потерял $\sqrt{2}$ при переходе к $X,Y$ ;)

[Cos(x-pi/2)]

amon в сообщении #1272259 писал(а):

Ох, забанят нас сейчас за решение простой учебной задачи!

Вроде, не должны бы нас банить: StaticZero сам задачку решил и ответ привёл ещё в первом своём посте. Вопрос оставался только терминологический :)

[Eule_A]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272337 писал(а):

Вроде, не должны бы нас банить

Не должны Всё по делу. Во всех бы темах так.

[Gickle]

amon в сообщении #1272115 писал(а):

т.е. она соответствует смеси состояний с разными $L_z$ и $L^2$.

Только вот смешанным состоянием никто такую суперпозицию не называет же. Даже не в смысле "не принято", а в смысле -
"неправильно".

[StaticZero]

Gickle в сообщении #1272362 писал(а):

Только вот смешанным состоянием никто такую суперпозицию не называет же. Даже не в смысле "не принято", а в смысле -
"неправильно".

Это меня и сбивает с толку. Я до сих пор не понял, где тут суперпозиция.

В смешанном состоянии

$$ \hat L = \sum \limits_{k=1}^n p_k \left< \varphi_k \left| \hat L \right| \varphi_k \right>, \qquad \sum \limits_{k=1}^n p_k = 1, \qquad p_k = \left| \left<\left.\varphi_k\right|\psi\right> \right|^2 $$

где $\varphi_k$ — полный ортонормированный базис. В центральном поле в сферической системе $\mathscr Y_{lm}$ такой базис вполне себе образует. Из вида гармоники следует, что главное квантовое число $l = 1$. Для этого квантового числа вещественные гармоники имеют вид (я тут верю Википедии, нормировку лень проверять...)

$$\begin{align*} \mathscr Y_{1, -1} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \sin \theta \sin \varphi, \\ \mathscr Y_{1, 1} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \sin \theta \cos \varphi, \\ \mathscr Y_{1, 0} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \cos \theta. \end{align*} $$

У меня вид гармоники фиксирован - это гармоника $\mathscr Y_{1, 1}$. Собственно, суперпозиции я не вижу.

-- 05.12.2017, 22:40 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272201 писал(а):

$-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,1}+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,\, -1}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \left ( e^{ i\varphi}+e^{- i\varphi} \right ) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \cos \varphi \, .$

Здесь выбран базис из комплексных сферических гармоник. Я выбрал базис из вещественных. У вас получается два слагаемых, у меня - одно. Я получил частный случай суперпозиции, получается, в котором $p_{1, 1} = 1$, а все остальные $p_{1, k} = 0$, так выходит, что ли?

[Cos(x-pi/2)]

Получается, рано Вас хвалить... Посмотрите, что там такое Вы написали: какой-то оператор "эль большое" равен сумме чисел; это нехорошо.

В квантовой механике среднее значение любого оператора $\hat f$ вычисляется в состоянии с заданной нормированной на единицу волновой функцией $\psi$ по формуле: $\langle f \rangle =\langle \psi| \hat f|\psi \rangle .$ Вам задана волновая функция $\psi,$ у которой угловая часть есть $\sqrt{3/(4\pi )} \sin \theta \cos \varphi. $ Оператор $\hat f$ в вашей задаче есть $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$ Всё, полный вперёд.

О "суперпозиции" или "смеси". Очевидно, что собственными функциями оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi$ являются функции, зависящие от $\varphi$ как $e^{im\varphi}.$ Можете проверить, что на своей собственной функции оператор $\hat L_z$ имеет среднее значение, равное $m.$ (Вообще, проверьте, что среднее значение оператора любой физической величины $\hat f$ в состоянии, описываемом его собственной функцией, равно его собственному значению). Но вам дана не такая функция, а $\cos \varphi,$ то есть дана линейная комбинация (иногда говорят "смесь") двух собственных функций.

P.S. Вроде, это и всё, при условии, что в "дословном" условии слова "смешанное состояние" означают суперпозицию собственных состояний оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$ А иначе, наверное, следует попросить условие задачи в письменном виде, с более ясной формулировкой.

[StaticZero]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

Посмотрите, что там такое Вы написали: какой-то оператор "эль большое" равен сумме чисел; это нехорошо.

Там среднее. Черту забыл написать.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

в состоянии с заданной нормированной на единицу волновой функцией

Но ведь смешанные состояния волновыми функциями не описываются? Затык начался отсюда.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

проверьте, что среднее значение оператора любой физической величины $\hat f$ в состоянии, описываемом его собственной функцией, равно его собственному значению

$$ \overline{\hat L} = \left<\psi \left| \hat L \right| \psi \right> = \left< \psi \left| \lambda \psi \right. \right> = \lambda \left< \psi \left| \psi \right. \right> = \lambda. $$

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

Но вам дана не такая функция, а $\cos \varphi,$ то есть дана линейная комбинация (иногда говорят "смесь") двух собственных функций.

Но я так не очень понял, в смешанном состоянии должен быть задан базис $\varphi_k$ и заданы вероятности $p_k$, причём базис не обязательно из собственных функций, а просто какой-то ортонормированный. Или тут я неправ?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

Можете проверить, что на своей собственной функции оператор $\hat L_z$ имеет среднее значение, равное $m.$

$$ - i \hbar \dfrac{\partial e^{i m \varphi}}{\partial \varphi} = m e^{i m \varphi}. $$

Здесь понятно.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

А иначе, наверное, следует попросить условие задачи в письменном виде, с более ясной формулировкой.

Это и есть письменный вид...

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):

P.S. Вроде, это и всё, при условии, что в "дословном" условии слова "смешанное состояние" означают суперпозицию собственных состояний оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$

Если так, то понятно, причём тут смешанное состояние. Но у меня нет уверенности, я ещё не дорос, чтобы интерпретировать условия задач по КМ.

[Cos(x-pi/2)]

В физике формулы сильнее слов. На словах могут звучать жаргонные неточности, но если даны формулы, то на словесные неточности можно не обращать внимания. Вы правильно говорите, что

StaticZero в сообщении #1272476 писал(а):

Но ведь смешанные состояния волновыми функциями не описываются?

А в задаче формулировка такая:

Цитата:

Найти среднее значение оператора $\hat L_z$, если угловая часть волновой функции смешанного состояния в центральном поле имеет вид $ \mathscr Y_{lm} = \dfrac{\sqrt 3}{2 \sqrt \pi} \sin \theta \cos \varphi. $

Да, из-за слова "смешанного" словесная часть формулировки плоховастенькая. Но оператор дан (подразумевается, что Вы знаете для него формулу) и волновая функция дана — вот с ними и надо работать, больше тут не с чем иметь дело.