2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 01:47 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Вот формулировка задачи (дословная):
Цитата:
Найти среднее значение оператора $\hat L_z$, если угловая часть волновой функции смешанного состояния в центральном поле имеет вид
$$
\mathscr Y_{lm} = \dfrac{\sqrt 3}{2 \sqrt \pi} \sin \theta \cos \varphi.
$$

Фраза про смешанное состояние не понятна. Насколько известно мне, в смешанном состоянии нужно задать матрицу плотности, и тогда среднее будет вычисляться, как
$$
\overline{\hat L_z} = \operatorname{tr} (\rho \hat L_z).
$$
Матрица плотности здесь не задана, поэтому формулировка мне кажется некорректной. Если выбросить фразу про смешанное состояние, получается $\overline{\hat L_z} = 0$. Проверьте меня, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 02:06 


29/12/14
324
У меня тоже создаётся впечатление, что "смешанное" добавили либо для красного словца, либо чтобы запутать немного. Можно представить себе, наверное, что у вашей матрицы плотности

$\hat{\rho} = \sum_s p_s |\Psi_s\rangle \langle \Psi_s |$

у всех состояний $|\Psi_s\rangle$ угловая часть имеет вид, приведённый выше. Разумеется, поскольку $\langle \Psi_s| \hat{L}_z | \Psi_s \rangle = 0$, то и итоговый ответ нуль даст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3267
ФТИ им. Иоффе СПб
Словосочетание
StaticZero в сообщении #1272108 писал(а):
угловая часть волновой функции
наводит на мысль, что имеется ввиду функция, не являющаяся собственной функцией оператора углового момента, т.е. она соответствует смеси состояний с разными $L_z$ и $L^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 02:22 
Заслуженный участник


29/09/14
869
StaticZero
Наверное, правильно.

Может быть, "смешанным" состоянием здесь названа суперпозиция состояний с $L_z=1$ и $L_z=-1.$ Вообще-то, и индекс $m$ у этой волновой функции (p-состояния, направленного вдоль оси $x)$ плохо смотрится, если, как обычно, считать, что $m=L_z.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 02:23 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
amon, честно говоря, я не понял вас. Ведь не обязательно, чтобы $\hat L_z \psi = \lambda \psi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 03:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3267
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1272122 писал(а):
Ведь не обязательно, чтобы $\hat L_z \psi = \lambda \psi$
В смысле "такие состояния тоже отвечают одной энергии"? Да, необязательно. Но это состояние является смесью состояний с разным $L_z.$ Там, по-моему, еще с нормировкой наврано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 13:06 
Заслуженный участник


29/09/14
869
Ребят, нормально всё:

Вот суперпозиция нормированных взаимно ортогональных собственных функций $Y_{l=1,\,m=\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin \theta \, e^{\pm i\varphi}$ для операторов $\hat{\vec{L}}^2,$ $\hat L_z$ c амплитудами $\mp 1 / \sqrt{2},$ гарантирующими нормировку на единицу и самой линейной комбинации:

$-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,1}+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,\, -1}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \left ( e^{ i\varphi}+e^{- i\varphi} \right ) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \cos \varphi \, .$

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3267
ФТИ им. Иоффе СПб
Cos(x-pi/2) в сообщении #1272201 писал(а):
Вот суперпозиция нормированных взаимно ортогональных собственных функций
Ох, забанят нас сейчас за решение простой учебной задачи! Действительно, все с нормировкой в порядке. Я исходил из $Y_1^{\pm 1}\sim\frac{X\pm i Y}{\sqrt{2}}$ и потерял $\sqrt{2}$ при переходе к $X,Y$ ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 20:12 
Заслуженный участник


29/09/14
869
amon в сообщении #1272259 писал(а):
Ох, забанят нас сейчас за решение простой учебной задачи!
Вроде, не должны бы нас банить: StaticZero сам задачку решил и ответ привёл ещё в первом своём посте. Вопрос оставался только терминологический :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 20:56 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
437
Cos(x-pi/2) в сообщении #1272337 писал(а):
Вроде, не должны бы нас банить

Не должны :-) Всё по делу. Во всех бы темах так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 21:03 


29/12/14
324
amon в сообщении #1272115 писал(а):
т.е. она соответствует смеси состояний с разными $L_z$ и $L^2$.

Только вот смешанным состоянием никто такую суперпозицию не называет же. Даже не в смысле "не принято", а в смысле -
"неправильно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение05.12.2017, 22:37 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Gickle в сообщении #1272362 писал(а):
Только вот смешанным состоянием никто такую суперпозицию не называет же. Даже не в смысле "не принято", а в смысле -
"неправильно".

Это меня и сбивает с толку. Я до сих пор не понял, где тут суперпозиция.

В смешанном состоянии
$$
\hat L = \sum \limits_{k=1}^n p_k \left< \varphi_k \left| \hat L \right| \varphi_k \right>, \qquad \sum \limits_{k=1}^n p_k = 1, \qquad p_k = \left| \left<\left.\varphi_k\right|\psi\right> \right|^2
$$
где $\varphi_k$ — полный ортонормированный базис. В центральном поле в сферической системе $\mathscr Y_{lm}$ такой базис вполне себе образует. Из вида гармоники следует, что главное квантовое число $l = 1$. Для этого квантового числа вещественные гармоники имеют вид (я тут верю Википедии, нормировку лень проверять...)
$$\begin{align*}
\mathscr Y_{1, -1} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \sin \theta \sin \varphi, \\
\mathscr Y_{1, 1} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \sin \theta \cos \varphi, \\
\mathscr Y_{1, 0} &= \sqrt{\dfrac{3}{4 \pi}} \cos \theta.
\end{align*}
$$
У меня вид гармоники фиксирован - это гармоника $\mathscr Y_{1, 1}$. Собственно, суперпозиции я не вижу.

-- 05.12.2017, 22:40 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272201 писал(а):
$-\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,1}+\frac{1}{\sqrt{2}}Y_{1,\, -1}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \left ( e^{ i\varphi}+e^{- i\varphi} \right ) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \sin \theta \cos \varphi \, .$

Здесь выбран базис из комплексных сферических гармоник. Я выбрал базис из вещественных. У вас получается два слагаемых, у меня - одно. Я получил частный случай суперпозиции, получается, в котором $p_{1, 1} = 1$, а все остальные $p_{1, k} = 0$, так выходит, что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение06.12.2017, 01:12 
Заслуженный участник


29/09/14
869
Получается, рано Вас хвалить... Посмотрите, что там такое Вы написали: какой-то оператор "эль большое" равен сумме чисел; это нехорошо.

В квантовой механике среднее значение любого оператора $\hat f$ вычисляется в состоянии с заданной нормированной на единицу волновой функцией $\psi$ по формуле: $\langle f \rangle =\langle \psi| \hat f|\psi \rangle .$ Вам задана волновая функция $\psi,$ у которой угловая часть есть $\sqrt{3/(4\pi )} \sin \theta \cos \varphi. $ Оператор $\hat f$ в вашей задаче есть $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$ Всё, полный вперёд.

О "суперпозиции" или "смеси". Очевидно, что собственными функциями оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi$ являются функции, зависящие от $\varphi$ как $e^{im\varphi}.$ Можете проверить, что на своей собственной функции оператор $\hat L_z$ имеет среднее значение, равное $m.$ (Вообще, проверьте, что среднее значение оператора любой физической величины $\hat f$ в состоянии, описываемом его собственной функцией, равно его собственному значению). Но вам дана не такая функция, а $\cos \varphi,$ то есть дана линейная комбинация (иногда говорят "смесь") двух собственных функций.

P.S. Вроде, это и всё, при условии, что в "дословном" условии слова "смешанное состояние" означают суперпозицию собственных состояний оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$ А иначе, наверное, следует попросить условие задачи в письменном виде, с более ясной формулировкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение06.12.2017, 02:18 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
Посмотрите, что там такое Вы написали: какой-то оператор "эль большое" равен сумме чисел; это нехорошо.

Там среднее. Черту забыл написать.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
в состоянии с заданной нормированной на единицу волновой функцией

Но ведь смешанные состояния волновыми функциями не описываются? Затык начался отсюда.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
проверьте, что среднее значение оператора любой физической величины $\hat f$ в состоянии, описываемом его собственной функцией, равно его собственному значению

$$
\overline{\hat L} = \left<\psi \left| \hat L \right| \psi \right> = \left< \psi \left| \lambda \psi \right. \right> = \lambda \left< \psi \left| \psi \right. \right> = \lambda.
$$
Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
Но вам дана не такая функция, а $\cos \varphi,$ то есть дана линейная комбинация (иногда говорят "смесь") двух собственных функций.

Но я так не очень понял, в смешанном состоянии должен быть задан базис $\varphi_k$ и заданы вероятности $p_k$, причём базис не обязательно из собственных функций, а просто какой-то ортонормированный. Или тут я неправ?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
Можете проверить, что на своей собственной функции оператор $\hat L_z$ имеет среднее значение, равное $m.$

$$
- i \hbar \dfrac{\partial e^{i m \varphi}}{\partial \varphi} = m e^{i m \varphi}.
$$
Здесь понятно.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
А иначе, наверное, следует попросить условие задачи в письменном виде, с более ясной формулировкой.

Это и есть письменный вид...

Cos(x-pi/2) в сообщении #1272458 писал(а):
P.S. Вроде, это и всё, при условии, что в "дословном" условии слова "смешанное состояние" означают суперпозицию собственных состояний оператора $\hat{L}_z =-i \partial / \partial \varphi .$

Если так, то понятно, причём тут смешанное состояние. Но у меня нет уверенности, я ещё не дорос, чтобы интерпретировать условия задач по КМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее в смешанном состоянии
Сообщение06.12.2017, 03:40 
Заслуженный участник


29/09/14
869
В физике формулы сильнее слов. На словах могут звучать жаргонные неточности, но если даны формулы, то на словесные неточности можно не обращать внимания. Вы правильно говорите, что
StaticZero в сообщении #1272476 писал(а):
Но ведь смешанные состояния волновыми функциями не описываются?

А в задаче формулировка такая:
Цитата:
Найти среднее значение оператора $\hat L_z$, если угловая часть волновой функции смешанного состояния в центральном поле имеет вид $ \mathscr Y_{lm} = \dfrac{\sqrt 3}{2 \sqrt \pi} \sin \theta \cos \varphi. $
Да, из-за слова "смешанного" словесная часть формулировки плоховастенькая. Но оператор дан (подразумевается, что Вы знаете для него формулу) и волновая функция дана — вот с ними и надо работать, больше тут не с чем иметь дело.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group