2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 13:46 
Аватара пользователя


22/06/12
984
Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 14:06 
Заслуженный участник


21/08/10
1482
StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):
Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.



Давайте разбираться с логикой. Было уравнение

$$
\Delta \phi = f
$$

И была систем собственных функций (а пусть не нормированных!):

$$
\Delta \psi_{nm} =\lambda_{nm} \psi_{nm}
$$

Ищем решение в виде

$$
\phi = \sum_{nm}a_{mn}\psi_{nm}
$$

где $a_{nm}$ --- константы. Одни те же константы ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ, хоть $r=0$ хоть $r \ne 0$. А иначе следующий шаг просто не получится!! Вот этот следующий шаг: подставляем в уравнение и пользуемся тем фактом, что функции собственные:

$$
\sum_{nm} a_{nm}\Delta \psi_{nm} = f   \qquad  \to \qquad \sum_{nm} a_{nm}\lambda_{nm} \psi_{nm} = f 
$$

Обратите внимание: я вынес за лапласиан коэффициент $a_{nm}$, этого нельзя было бы сделать, если бы это не была константа. Дальше умножаем на $\psi_{kl}$ и интегрируем по области (обозначу это $dV$):

$$
\sum_{nm}a_{nm}\lambda_{nm} \int\psi_{kl}\psi_{nm}dV = \int f\psi_{kl} dV
$$

Слева интеграл не равен нулю только тогда, когда индексы совпадают: $k=n \,\, , \, \,  l=m$. Так что из суммы остается только одно слагаемое, откуда запросто определяется $a_{kl}$:

$$
a_{kl} = \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV}
$$

Подставляем это в ряд и получаем решение.

$$
\phi = \sum_{kl} \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV} \psi_{kl}
$$


И ТОЛЬКО ТЕПЕРЬ, когда уже все интегралы взяты, $r$ или равно или не равно нулю. Но на формулу это уже никак не влияет, никаких интегралов уже нет, взяты они уже. В стоящей в конце $\psi_{kl}$ уже совсем другая $r$, не та, что была под интегралом. Кстати, в двух интегралах (внизу и вверху) тоже разные $r$, тут три РАЗНЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ радиальных координаты: по одной один интеграл, по второй --- другой , а третья остается.


-- Пн дек 04, 2017 18:12:03 --

StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):
на сходимость никак не влияет.



А сходимость тут вообще ни при чем!


P.S. Я понимаю, почему мой учитель математики в средней школе ставил двойки, если все формулы были правильны, но при этом была не описана словами логика построений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 14:35 
Аватара пользователя


22/06/12
984
Alex-Yu, угу, спасибо, вправили мозги.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 123 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group