Уравнение Пуассона в цилиндре

[StaticZero]

Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):

Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.

Давайте разбираться с логикой. Было уравнение

$$ \Delta \phi = f $$

И была систем собственных функций (а пусть не нормированных!):

$$ \Delta \psi_{nm} =\lambda_{nm} \psi_{nm} $$

Ищем решение в виде

$$ \phi = \sum_{nm}a_{mn}\psi_{nm} $$

где $a_{nm}$ --- константы. Одни те же константы ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ, хоть $r=0$ хоть $r \ne 0$. А иначе следующий шаг просто не получится!! Вот этот следующий шаг: подставляем в уравнение и пользуемся тем фактом, что функции собственные:

$$ \sum_{nm} a_{nm}\Delta \psi_{nm} = f \qquad \to \qquad \sum_{nm} a_{nm}\lambda_{nm} \psi_{nm} = f $$

Обратите внимание: я вынес за лапласиан коэффициент $a_{nm}$, этого нельзя было бы сделать, если бы это не была константа. Дальше умножаем на $\psi_{kl}$ и интегрируем по области (обозначу это $dV$):

$$ \sum_{nm}a_{nm}\lambda_{nm} \int\psi_{kl}\psi_{nm}dV = \int f\psi_{kl} dV $$

Слева интеграл не равен нулю только тогда, когда индексы совпадают: $k=n \,\, , \, \, l=m$. Так что из суммы остается только одно слагаемое, откуда запросто определяется $a_{kl}$:

$$ a_{kl} = \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV} $$

Подставляем это в ряд и получаем решение.

$$ \phi = \sum_{kl} \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV} \psi_{kl} $$

И ТОЛЬКО ТЕПЕРЬ, когда уже все интегралы взяты, $r$ или равно или не равно нулю. Но на формулу это уже никак не влияет, никаких интегралов уже нет, взяты они уже. В стоящей в конце $\psi_{kl}$ уже совсем другая $r$, не та, что была под интегралом. Кстати, в двух интегралах (внизу и вверху) тоже разные $r$, тут три РАЗНЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ радиальных координаты: по одной один интеграл, по второй --- другой , а третья остается.


-- Пн дек 04, 2017 18:12:03 --

StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):

на сходимость никак не влияет.

А сходимость тут вообще ни при чем!


P.S. Я понимаю, почему мой учитель математики в средней школе ставил двойки, если все формулы были правильны, но при этом была не описана словами логика построений.

[StaticZero]

Alex-Yu, угу, спасибо, вправили мозги.