2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 13:46 
Аватара пользователя


22/06/12
984
Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 14:06 
Заслуженный участник


21/08/10
1482
StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):
Alex-Yu, шо, неужели $J^2_1(x_m)$ и в решение на оси войдёт? Хотя я не возражаю, на самом деле - на сходимость никак не влияет.



Давайте разбираться с логикой. Было уравнение

$$
\Delta \phi = f
$$

И была систем собственных функций (а пусть не нормированных!):

$$
\Delta \psi_{nm} =\lambda_{nm} \psi_{nm}
$$

Ищем решение в виде

$$
\phi = \sum_{nm}a_{mn}\psi_{nm}
$$

где $a_{nm}$ --- константы. Одни те же константы ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ, хоть $r=0$ хоть $r \ne 0$. А иначе следующий шаг просто не получится!! Вот этот следующий шаг: подставляем в уравнение и пользуемся тем фактом, что функции собственные:

$$
\sum_{nm} a_{nm}\Delta \psi_{nm} = f   \qquad  \to \qquad \sum_{nm} a_{nm}\lambda_{nm} \psi_{nm} = f 
$$

Обратите внимание: я вынес за лапласиан коэффициент $a_{nm}$, этого нельзя было бы сделать, если бы это не была константа. Дальше умножаем на $\psi_{kl}$ и интегрируем по области (обозначу это $dV$):

$$
\sum_{nm}a_{nm}\lambda_{nm} \int\psi_{kl}\psi_{nm}dV = \int f\psi_{kl} dV
$$

Слева интеграл не равен нулю только тогда, когда индексы совпадают: $k=n \,\, , \, \,  l=m$. Так что из суммы остается только одно слагаемое, откуда запросто определяется $a_{kl}$:

$$
a_{kl} = \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV}
$$

Подставляем это в ряд и получаем решение.

$$
\phi = \sum_{kl} \dfrac{\int f\psi_{kl} dV }{\lambda_{kl} \int\psi_{kl}^2dV} \psi_{kl}
$$


И ТОЛЬКО ТЕПЕРЬ, когда уже все интегралы взяты, $r$ или равно или не равно нулю. Но на формулу это уже никак не влияет, никаких интегралов уже нет, взяты они уже. В стоящей в конце $\psi_{kl}$ уже совсем другая $r$, не та, что была под интегралом. Кстати, в двух интегралах (внизу и вверху) тоже разные $r$, тут три РАЗНЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ радиальных координаты: по одной один интеграл, по второй --- другой , а третья остается.


-- Пн дек 04, 2017 18:12:03 --

StaticZero в сообщении #1271898 писал(а):
на сходимость никак не влияет.



А сходимость тут вообще ни при чем!


P.S. Я понимаю, почему мой учитель математики в средней школе ставил двойки, если все формулы были правильны, но при этом была не описана словами логика построений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение04.12.2017, 14:35 
Аватара пользователя


22/06/12
984
Alex-Yu, угу, спасибо, вправили мозги.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 123 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: physicsworks


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group