2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:22 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271120 писал(а):
Всё сошлось.



Что именно сошлось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:22 
Аватара пользователя


22/06/12
1056

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1271116 писал(а):
потом замучаешься ошибки отлавливать

Я постоянно ошибаюсь в выкладках, это мой бич. От скорости это слабо зависит :facepalm:


Коэффициент перед синусом ноль, перед косинусом, как мы выяснили, ровно то, что в ряде стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:26 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271122 писал(а):
Я постоянно ошибаюсь в выкладках



Все ошибаются. Я тоже ошибаюсь. Вот потому и делаю медленно, долго пялюсь на каждую новую закорючку и думаю: ничего не наврал?

-- Сб дек 02, 2017 22:28:21 --

StaticZero в сообщении #1271122 писал(а):
Коэффициент перед синусом ноль, перед косинусом, как мы выяснили, ровно то, что в ряде стоит.



Это если в середку диполь поставить? ОК. Теперь сравнивайте формулы двух вариантов мысленно двигая диполь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:28 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu, покажите, пожалуйста, как методом вариации решать уравнение, не используя анзац. Я систему написать могу, а проинтегрировать не могу...

Цитата:
Это если в середку диполь поставить? ОК. Теперь сравнивайте формулы двух вариантов мысленно двигая диполь.

Нет, это для произвольного расположения. Я ошибку отловил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:33 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271120 писал(а):
StaticZero в сообщении #1271108

писал(а):
Система уравнений получается такая:
$$
\begin{align}
(A + C) p - (B + D) \dfrac{1}{p} = 0, \\
(A - C) p + (B - D) \dfrac{1}{p} = q, \\
C + D = 0, \\
A r + \dfrac{B}{r} = 0
\end{align}
$$



Это как? Не будет там двух разных экспонент! Поставьте начало координат на диполь. При этом в общем разложении будут и синусы, и косинусы. Но в методе разложения по собственным функциям косинусы уйдут при определении коэффициентов (интеграл $\delta'$ с косинусом даст ноль.).

Сделайте все по максимуму не похоже (но чтобы была логическая эквивалентность). А потом сравнивайте каждый шаг, преобразуя формулы одного варианта в другой. Где не сойдется, там и ошибка. Иначе ошибку не найти.

-- Сб дек 02, 2017 22:35:09 --

StaticZero в сообщении #1271126 писал(а):
Я ошибку отловил.



А-а-а-а... Ну тогда поздравляю. Итак два метода дают в точности одно и то же? Правда одно и то же лишь с точностью до сходимости ряда.

-- Сб дек 02, 2017 22:36:30 --

StaticZero в сообщении #1271126 писал(а):
Я систему написать могу, а проинтегрировать не могу...



Вы что, не знаете, что интеграл от $\delta$ это $\theta$? Ладно, может немного погодя, сейчас некогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:39 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu в сообщении #1271130 писал(а):
Вы что, не знаете, что интеграл от $\delta$ это $\theta$? Ладно, может немного погодя, сейчас некогда.

Строго говоря не знаю, следую тому, что вы написали $\theta' = \delta$. Я умею от дельт брать интегралы определённые, а неопределённые - не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 18:49 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271131 писал(а):
Я умею от дельт брать интегралы определённые, а неопределённые - не умею.



Неопределенный --- это определенный с переменным верхним пределом. Во всяком случае так можно рассматривать. Пока сингулярность не попала в интервал интегрирования --- ноль. Как попала --- единица. А гладкий функциональный множитель при дельте (но не производной от нее!) можно заменить на соответствующую константу. Дельта "вырезает одну точку" из множителя, что творится с множителем в других точках --- наплевать. Это Вам должно помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 19:06 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu, правильно ли
$$
\int^x_a \delta(t - x_0) f(t) \ \mathrm dt = f(x_0) \theta(x - x_0) \theta(x_0 - a)?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение02.12.2017, 19:11 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271144 писал(а):
Alex-Yu, правильно ли
$$
\int^x_a \delta(t - x_0) f(t) \ \mathrm dt = f(x_0) \theta(x - x_0) \theta(x_0 - a)?
$$



Так.... Верхний предел должен быть больше, нижний --- меньше $x_0$. Иначе ноль (обеспечивается тэтами). Правильно.

Обычно нижний предел удобно загнать в минус бесконечность. Тогда одна тэта. Нижний предел --- это же по существу произвольная константа, обычная в неопределенном интеграле. Ее можно учесть отдельно.

-- Сб дек 02, 2017 23:23:55 --

Alex-Yu в сообщении #1271147 писал(а):
Правильно.



А нет, в общем случае не правильно. Может же быть $x$ ниже $x_0$ а $a$ наоборот выше, тогда тоже не ноль. Правильно только если $x_0>a$. А тогда последний множитель тождественная единица, не нужен он. Задвиньте в минус бесконечность нижний предел. Или в точку, где ответ и так известен (на границу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 12:33 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Решаю способом вариации уравнение $f'' - \lambda^2 f = q \delta'(x - x_0)$.
Решение $f = A e^{\lambda x} + B e^{-\lambda x}$. Система уравнений
$$
\begin{cases} A' e^{\lambda x} + B' e^{-\lambda x} = 0, \\
\lambda A' e^{\lambda x} - \lambda B' e^{-\lambda x} = q \delta'(x - x_0).
\end{cases}
$$
$$
-2 \lambda B' e^{-\lambda x} = q \delta'(x - x_0).
$$
$$
B' = - \dfrac{q}{2 \lambda} e^{\lambda x} \delta'(x - x_0).
$$
Можно один раз по частям проинтегрировать.
$$
B = -\dfrac{q}{2 \lambda} \int e^{\lambda x} \delta'(x - x_0) \ \mathrm dx = - \dfrac{q}{2 \lambda} \left( \delta(x - x_0) e^{\lambda x} - \lambda \int \delta(x - x_0) e^{\lambda x} \ \mathrm dx \right)
$$
Чего дальше делать не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 17:52 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271364 писал(а):
Можно один раз по частям проинтегрировать.
$$
B = -\dfrac{q}{2 \lambda} \int e^{\lambda x} \delta'(x - x_0) \ \mathrm dx = - \dfrac{q}{2 \lambda} \left( \delta(x - x_0) e^{\lambda x} - \lambda \int \delta(x - x_0) e^{\lambda x} \ \mathrm dx \right)
$$
Чего дальше делать не пойму.


$$
 \int \delta(x - x_0) e^{\lambda x} \ \mathrm dx =  \int \delta(x - x_0) e^{\lambda x_0} \ \mathrm dx =
 e^{\lambda x_0} \int \delta(x - x_0) \ \mathrm dx =  e^{\lambda x_0}  \theta(x-x_0)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 18:46 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
"Даже морковка поняла, в чём прикол" (с)

Тогда допишу ответ.
$$
B = - \dfrac{q}{2 \lambda} e^{\lambda x_0} \delta(x - x_0) + \dfrac{q}{2} e^{\lambda x_0} \theta(x - x_0).
$$
Для коэффициента $A$ уравнение
$$
A' = \dfrac{q}{2 \lambda} e^{-\lambda x} \delta'(x - x_0).
$$
Интеграл
$$\begin{align}
A &= \dfrac{q}{2 \lambda} \int e^{-\lambda x} \delta'(x - x_0) \ \mathrm dx = \dfrac{q}{2 \lambda} \left( \delta(x - x_0) e^{-\lambda x_0} + \lambda \int e^{-\lambda x} \delta(x - x_0) \ \mathrm dx\right) = \\ &=\dfrac{q}{2 \lambda} e^{-\lambda x_0} \delta(x - x_0) + \dfrac{q}{2} e^{-\lambda x_0} \theta(x - x_0).\end{align}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 19:00 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271503 писал(а):
Тогда допишу ответ.
$$
B = - \dfrac{q}{2 \lambda} e^{\lambda x_0} \delta(x - x_0) + \dfrac{q}{2} e^{\lambda x_0} \theta(x - x_0).
$$



Дельты вроде сокращаются? Ну тогда ОК. Меня несколько смутило, что лишняя дельта (пока одно слагаемое).

В общем надо дописать до конца. Должны в итоге получится экспонента от модуля $x-x_0$. С лямбдой, естественно. И все это умножить на функцию $sign(x-x_0)$.


Стоп!!! Знак разности под тета должен быть разный в двух слагаемых!!! На одном инетервале работает одна экспонента, на другом --- другая. Тщательнее надо....

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 19:05 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu в сообщении #1271509 писал(а):
Стоп!!! знак разности под тета должен быть разный в двух слагаемых!!!

А как его туда заполучить? Если я запихну минус здесь: $- \delta'(x - x_0) = \delta'(x_0 - x)$, то всё ок, а если нет, то дальше дельта чётная, а хевисайд вообще никакой (ни чётный, ни нечётный). Интеграл же не может зависеть от способа перетасовки минусов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение03.12.2017, 19:11 
Заслуженный участник


21/08/10
1564
StaticZero в сообщении #1271512 писал(а):
Alex-Yu в сообщении #1271509 писал(а):
Стоп!!! знак разности под тета должен быть разный в двух слагаемых!!!

А как его туда заполучить? Если я запихну минус здесь: $- \delta'(x - x_0) = \delta'(x_0 - x)$, то всё ок, а если нет, то дальше дельта чётная, а хевисайд вообще никакой (ни чётный, ни нечётный). Интеграл же не может зависеть от способа перетасовки минусов...



$$
-\theta(x)=\theta(-x) - 1
$$


В неопределенном интеграле всегда есть неопределенная константа, которую надо определять, в данном случае, из условий на бесконечности.


Впрочем, это же абы какое решение неоднородного уравнения... Пожалуй, и так можно, с одним знаком под тетой. Покажите, что полное решение получается одинаковым и так, и эдак.


Я машинально наложил условие, что решение физически разумное (в данном случае на всей оси с нулем на бесконечности). А для абы какого частного решения это, в принципе, и не обязательно.

-- Вс дек 03, 2017 23:37:03 --

amon в сообщении #1271520 писал(а):
Частное $f_0$ из $\theta'(x)=\delta(x)$ угадывается мгновенно: $f_0(x)=q\theta(x-x_0).$



1. Экспонента еще должна быть.

2. Так (ну почти), с угадыванием, уже делалось раньше. Ну вот захотелось ТС методом вариации постоянных... А что, поскольку здесь учеба, даже очень и полезно, руку набить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 123 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group