2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 19:19 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Цилиндрическая задача имеет азимутальную симметрию. Значит, $\varphi = \varphi(r, z)$. Разложением $\varphi = \sum \limits_{k=1}^\infty \varphi_k(r) \sin \dfrac{\pi k z}{c}$ она свелась к решению уравнения типа Бесселя
$$
\varphi''_k(r) + \dfrac{1}{r} \varphi'_k(r) - \dfrac{\pi^2 k^2}{c^2} \varphi_k(r) + f(r) = 0.
$$
Решением является сумма общего решения ОДУ и частного решения, которое ищем методом вариации. Общее решение есть комбинация
$$
\varphi_k^\text{общ} (r) = A I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + B K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right).
$$
Частное решение есть комбинация
$$
\varphi_k^\text{частн} (r) = P(r) I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + Q(r) K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right),
$$
где $I_0$, $K_0$ — функции Инфельда и Макдональда нулевого порядка соответственно. В методе вариации можно определить функции $P(r)$, $Q(r)$ с точностью до константы. В эти константы включим константы $A$ и $B$:
$$
\varphi_k = P(r) I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + Q(r) K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right).
$$
Касательно радиального направления есть одно граничное условие на стенке цилиндра при $r = R$, что потенциал там нуль. Остаётся ещё одна константа, которую надо определить. Можно потребовать, чтобы при $r = 0$ потенциал был конечен, тогда вопрос решён (наверное?).

Нужно ли при этом ещё требовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3272
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):
Цилиндрическая задача имеет азимутальную симметрию.
Какая задача? Может, если задачу сформулировать, то и вопросы отпадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 20:42 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
amon в сообщении #1267650 писал(а):
Какая задача? Может, если задачу сформулировать, то и вопросы отпадут.

Не счёл нужным сводить всё к рассмотрению конкретной задачи. Вопрос общего вида: если цилиндр ограниченный и дано условие только на стенках, каково второе?

(Оффтоп)

Задача про точечный диполь в заземлённом проводящем цилиндре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 21:31 
Заслуженный участник


25/02/11
1586
StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):
Можно потребовать, чтобы при $r = 0$ потенциал был конечен

Если зарядов в нуле нет, тогда конечен. А если в нуле заряд, то, возможно, асимптотика одной из спецфункций (или ее производной, раз диполь) в нуле и даст вторую констранту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3272
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1267684 писал(а):
и дано условие только на стенках, каково второе?
Уже ответили, но повторюсь: вблизи диполя - поле диполя. Граничные условия ведь зависят от задачи, которую Вы решаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 22:44 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Хорошо.

В заземлённый круговой цилиндр радиуса $r_0$ и высотой $L$ такой, что его основания лежат в плоскостях $z = 0$ и $z = L$, поместили точечный диполь с дипольным моментом $\mathbf d = d\mathbf e_z$ в точку $z_0$ внутри цилиндра. Определить потенциал внутри цилиндра.

Насколько я помню, если характерное удаление $\ell$ от диполя много больше его плеча, то потенциал на оси диполя будет $\sim d/\ell^2$. То есть сингулярность получится разве что в точке, где находится сам диполь, а во всех других точках оси он конечен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение21.11.2017, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3272
ФТИ им. Иоффе СПб
Если взять задачу попроще (точечный заряд в конечном цилиндре), то получится функция Грина цилиндрической полости. (Я ее где-то видел, и она мне не понравилась.) Ваш ответ, видимо, можно сконструировать из двух таких функций.
StaticZero в сообщении #1267713 писал(а):
То есть сингулярность получится разве что в точке, где находится сам диполь, а во всех других точках оси он конечен.
Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 00:03 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
amon в сообщении #1267736 писал(а):
Угу.

Тогда коэффициент при функции Макдональда должен как-то хитро обнуляться при $r = 0$ за исключением точки, где $z = z_0$. Ладно, пойду перерешаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3272
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1267739 писал(а):
Тогда коэффициент при функции Макдональда должен как-то хитро обнуляться при $r = 0$ за исключением точки, где $z = z_0$.
Мне смутно вспоминается, что для точечного заряда на оси цилиндра будет некая сумма по корням нулевой функции Бесселя $J_0,$ но могу и соврать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 12:35 
Заслуженный участник


21/08/10
1566
StaticZero в сообщении #1267684 писал(а):
Задача про точечный диполь в заземлённом проводящем цилиндре.



Представляем искомое поле как сумму известного поля диполя в свободном пространстве (пусть это будет $\phi_0$) и искомого дополнительного поля (пусть это $\phi_1$). Для $\phi_1$ получаем однородную граничную задачу (на границе $\phi_1=-\phi_0$, чтобы ноль в сумме получался). Поле $\phi_1$ должно быть регулярно, так что ф-цию Макдональда откинуть (занулить коэффициент при ней). И, конечно, все поля зависят не только от угла и радиуса, но еще и от $z$. По $z$ надо сделать обычное преобразование Фурье.

-- Ср ноя 22, 2017 16:41:00 --

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):
частного решения, которое ищем методом вариации.


А не надо его искать, проще как я рассказал (чтобы было все очевидно со второй константой). Так, как Вы начали делать, в принципе можно. Исправив, конечно, ошибку по поводу $z$. Но очень уж занудно (искать асимтотическое выражение вблизи диполя и добиваться того, чтобы это было правильное поле вблизи диполя... нудно).

-- Ср ноя 22, 2017 16:59:03 --

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):
Нужно ли при этом ещё требовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю?



Нет, конечно. С какой радости? За пределами цилиндра поле вообще не ищется (и так ясно, что там ноль). Точнее, надо потребовать, чтобы был ноль в бесконечности по $z$ (но это автоматически подразумевается при преобразовании Фурье). А по $r$ никакого нуля на бесконечности не будет, бесконечность просто вне области задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 19:10 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu в сообщении #1267891 писал(а):
Исправив, конечно, ошибку по поводу $z$.

А где она?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 19:15 
Заслуженный участник


21/08/10
1566
StaticZero в сообщении #1268072 писал(а):
А где она?



Пардон, невнимательно посмотрел: увидев ряд Фурье, машинально решил, что он по полярному углу (и это было бы правильно для случая отсутствия аксиальной симметрии). Но все равно ошибка: по $z$ интеграл, а не ряд Фурье. Для бесконечного цилиндра, естественно. Если цилиндр конечный, то будет все сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение22.11.2017, 23:22 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu в сообщении #1268074 писал(а):
Если цилиндр конечный, то будет все сложнее.

Так конечный же:
StaticZero в сообщении #1267713 писал(а):
его основания лежат в плоскостях $z = 0$ и $z = L$,


-- 22.11.2017, 23:24 --

Я пока не понимаю, где вы видите ошибку. Разложение в ряд Фурье по $z$ чётко удовлетворяет граничным условиям для $z$. Если этого не хватает, то я тогда совсем не понимаю каких-то вещей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:08 
Заслуженный участник


21/08/10
1566
StaticZero в сообщении #1268176 писал(а):
Так конченый же:



Если конечный, то правильно. Но тогда так, как я писал, не получится. Впрочем, в таком случае в качестве $\phi_0$ можно взять поле диполя между двумя бесконечными проводящими плоскостями с нулевым потенциалом (делается методом отражений, но бесконечная сумма при этом). Или можно попробовать устроить разложение и решения, и неоднородности по собственным функциям лапласиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:15 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
Alex-Yu в сообщении #1268191 писал(а):
Но тогда так, как я писал, не получится.

А как-нибудь вообще получится с таким разложением?..

(Опечатку поправил, прошу прощения)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 123 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group