Сечение сферы

[svv]

Да, но я Вам очень рекомендую не подставлять явные значения $\mathbf p_1$ и $\mathbf p_2$, пока это действительно не понадобится (если вообще понадобится).
Имея $\mathbf r(s)=a\mathbf p_1\cos\frac{s}{a}+a\mathbf p_2\sin\frac{s}{a}$, найдите $\mathbf r'(s)$ и $\mathbf r''(s)$.

[stupid-student]

svv
Спасибо Вам большое! С этим получилось. Теперь то же самое предстоит для эллипсоида вращения. Вроде делаю все то же, но выходят ужасные длиннющие выражения.
Мне нужно найти геодезическую кривизну центрального сечения эллипсоида (проходящего через ось $x$) в зависимости от угла наклона этого сечения к оси $y$.
Посмотрите, пожалуйста, все ли верно по смыслу? Я правильно делаю?
Ход решения (скрыл его на всякий случай):

(Оффтоп)

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \\ z = l\cdot y \end{matrix}\right.$
Параметризация:
$\left\{\begin{matrix} y = t \\ z = l\cdot t \\ x = \sqrt{a^2-t^2(1+\frac{a^2l^2}{b^2})} \end{matrix}\right.$
Нормаль к эллипсоиду: $(\frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{a^2}, \frac{2z}{b^2})$
$\dot{\mathbf r} = (\frac{-t(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}{\sqrt{a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}}, 1, l)$
$\ddot{\mathbf r} = (\frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}}, 0, 0)$
$(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r}) = \begin{vmatrix} \frac{2x}{a^2} & \frac{2y}{a^2} & \frac{2z}{b^2}\\ \frac{-t(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}{\sqrt{a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}} & 1 & l \\ \frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}} \cdot 2tl \cdot (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) $
Это еще ничего, самый ужас начинается, когда ищу $\begin{vmatrix} \dot {\mathbf r} \end{vmatrix}^3$ :(
В общем, в конце этого всего ужаса я получу выражение, которое при подстановке $l=0$
не даст значение геодезической кривизны равное 0, хотя должно дать, ведь в этом случае я в сечении получаю экватор,
а он на эллипсоиде - геодезическая.

Могу ли я сделать вот так:
\left\{\begin{matrix} y = t \\ z = l\cdot t \\ x = \sqrt{a^2-t^2(1+\frac{a^2l^2}{b^2})} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\cdot \cos(\theta)\sin(\lambda) = t \\ b\cdot \sin(\theta) = l\cdot t \\ a\cdot \cos(\theta)\cos(\lambda) = \sqrt{a^2-t^2(1+\frac{a^2l^2}{b^2})} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tg(\lambda) = \frac{t}{\sqrt{a^2-t^2(1+\frac{a^2l^2}{b^2})}} \\ \sin(\theta) = \frac{l\cdot t}{b} \end{matrix}\right. ?
Просто преподаватель сказал, чтобы в ответе был параметр $l$ и $\theta$.

[svv]

Да, выражения страшные. Нужен более простой подход.

С этого момента я буду обозначать единичную нормаль к поверхности через $\mathbf N$. А $\mathbf n$ пусть будет единичный вектор главной нормали к кривой.
Запишем формулу для геодезической кривизны в виде $k_g=\mathbf N\cdot(\mathbf r'\times\mathbf r'')$. Обратите внимание, что векторное произведение $\mathbf r'\times\mathbf r''$ определяется только кривой, но не поверхностью.

Допустим, Вам откуда-то известна кривизна эллипса $k$ в некоторой точке. Что можно сказать тогда о векторе $\mathbf r'\times\mathbf r''$ в той же точке? Куда он направлен? Чему равен по модулю? (Вспомните, как направлены векторы $\mathbf r', \mathbf r''$).

[stupid-student]

svv
По модулю равен $k\cdot \begin{vmatrix} {\mathbf r}'\end{vmatrix}^3$. По поводу направления - первая производная вектор-функции направлена по касательной к кривой в направлении увеличения параметра. Вторая - вроде по нормали, она же за кривизну отвечает... Значит их векторное произведение направлено перпендикулярно им обоим, вроде бинормаль это называется...
Я в матлабе все посчитал символьно, вышло довольно красиво, а главное - правильно! (подставляю точку на экваторе - дает 0, подставляю $l=0$ - дает 0). Вопрос теперь только в том, как уйти от параметра $t$ к координатам $(\theta, \lambda)$, чтобы преподаватель был доволен.

[stupid-student]

svv
и, разумеется, при $a=b$ тоже 0 дает. Корректно ли будет сказать, что $t = \frac{b\cdot \sin(\theta)}{l}$?

[svv]

stupid-student в сообщении #1270855 писал(а):

По модулю равен $k\cdot \begin{vmatrix} {\mathbf r}'\end{vmatrix}^3$.

Но так как в той формуле параметризация натуральная, что видно и из обозначения производной штрихом, то это просто $k$.

stupid-student в сообщении #1270855 писал(а):

По поводу направления - первая производная вектор-функции направлена по касательной к кривой в направлении увеличения параметра. Вторая - вроде по нормали, она же за кривизну отвечает... Значит их векторное произведение направлено перпендикулярно им обоим, вроде бинормаль это называется...

Вам не хватило одного шага. Эллипс — кривая плоская, следовательно, $\mathbf r'$ и все последующие производные лежат в его плоскости. Тогда $\mathbf r'\times\mathbf r''$ перпендикулярно плоскости эллипса. То есть коллинеарно нормали к плоскости $z=\ell y$. То есть вектору $(0,-\ell,1)$.
Так как $\mathbf r'$ и $\mathbf r''$ перпендикулярны друг другу, а их длины равны $1$ и $k$, то и длина векторного произведения равна просто $k$.
Итого: $\mathbf r'\times\mathbf r''=k\operatorname{norm}(0,-\ell,1)$, где $\operatorname{norm}\mathbf p=\frac{\mathbf p}{p}$ — нормирование ненулевого вектора на единичную длину.

Нормаль к поверхности Вы тоже нашли: $\mathbf N=\operatorname{norm}(\frac{x}{a^2}, \frac{y}{a^2}, \frac{z}{b^2})$.
Остаётся где-то найти готовое выражение для кривизны $k$ эллипса и выразить через используемые координаты.

-- Сб дек 02, 2017 12:30:59 --

stupid-student в сообщении #1270873 писал(а):

Корректно ли будет сказать, что $t = \frac{b\cdot \sin(\theta)}{l}$?

Чуть позже посмотрю.

[stupid-student]

svv
так, это интереснее. Кривизна эллипса: $\frac{a'b'}{\left( {{a'^2}{{\sin }^2}t' + {b'^2}{{\cos }^2}t'} \right)^{\frac{3}{2}\normalsize}}$. У нас большая ось эллипса постоянна и равна $a'=a$, а вот меньшая ось зависит от наклона сечения (угла $\alpha$). Она - гипотенуза, значит $b' = \frac{y}{\cos(\alpha)}$. Сложнее с угловым параметром $t'$... Что-то не понимаю, как от него перейти к $\theta $ и $ \lambda$.

[svv]

Вы пишете:

stupid-student в сообщении #1270837 писал(а):

$a\cdot \cos(\theta)\sin(\lambda) = t$
$b\cdot \sin(\theta) = l\cdot t$

Формулы связи декартовых координат со сферическими (в одном из стандартов) гласят:
$r\cos\theta\sin\lambda=y$
$r\sin\theta=z$
Из сравнения видно, что у Вас переменная $\theta$ не имеет смысла полярного угла сферических координат, ведь должно быть
$\dfrac{y}{\cos\theta\sin\lambda}=\dfrac{z}{\sin\theta}=r$
для любой точки (где знаменатели ненулевые), независимо от рассматриваемой поверхности. У Вас же первая дробь равна $a$, вторая $b$. Какой тогда смысл имеет Ваше $\theta$?

[stupid-student]

svv
Не понял Вас. Эллипсоид можно задать вот так:
$\left\{\begin{matrix} x = &a\cdot \cos(\theta)\cos(\lambda) \\ y = &a\cdot \cos(\theta)\sin(\lambda) \\ z = &b\cdot \sin(\theta) & \end{matrix}\right.$
У меня еще одно уравнение: $z = l\cdot y$, которое эквивалентно $b\cdot \sin(\theta) = l\cdot a\cdot \cos(\theta)\sin(\lambda) $. Что не так в этих выкладках?
Дальше я могу избавиться от одного из параметров и получить параметрический вид сечения с одним параметром $\theta$. И далее найти связт параметра $t$ и $\theta$.

[svv]

А, то есть Вы не утверждаете, что $\theta, \lambda$ имеют смысл сферических координат. Извините, я этого не понимал.
Скажите, а требует ли преподаватель, чтобы параметр $\theta$ был именно тем, что входит в эти уравнения?
$\left\{\begin{matrix}x = &a\cdot \cos(\theta)\cos(\lambda) \\ y = &a\cdot \cos(\theta)\sin(\lambda) \\ z = &b\cdot \sin(\theta) & \end{matrix}\right.$
Или это может быть, скажем, настоящая сферическая координата $\theta$ ?

[stupid-student]

svv
Если честно, я не особо понял :)
Вот то, что было сказано:

Цитата:

Теперь посчитай все на эллипсоиде вращения, простая параметризация $y = t, z = l\cdot t, \ x$ нужно выразить, чтобы было верное равенство. Посчитаешь кривизну, найди максимальное значение при разных углах пересечения с экватором (думаю, имелось ввиду с экваториальной плоскостью). Только потом вернись к астрономическим координатам, чтобы мы могли двигаться по меридиану и смотреть, какая кривизна в точках пересечения нашего сечения с этим меридианом.

Последнюю фразу я вообще не особо понял :) Но для себя я это так интерпретировал "получи ответ в виде зависимости от $\theta$".
Так-то я все сделал, взял производную даже по $l$, приравнял к нулю, корни вышли $l=0$ и $l^2 = \frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{2a^2-3b^2-\sin^2(\theta)\cdot (a^2-b^2)}{\sin^2(\theta)\cdot (a^2-b^2) + b^2}$. Но это же не верно, я так думаю, что должно было просто число выйти, или нет?

topic122674.html
Вот тут, я так понимаю, то же задание, только у меня проще, мне сразу было сказано искать геодезическую кривизну сечений, а тут как-то мутновато.

[stupid-student]

svv
А! Скажите, пожалуйста, нужно ли нормировать все векторы при подстановке в формулу для геодезической кривизны? То есть этот определитель верно составлен или нет? Или я должен каждую строку поделить на корень из суммы квадратов этой строки?

stupid-student в сообщении #1270837 писал(а):

Нормаль к эллипсоиду: $(\frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{a^2}, \frac{2z}{b^2})$
$\dot{\mathbf r} = (\frac{-t(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}{\sqrt{a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}}, 1, l)$
$\ddot{\mathbf r} = (\frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}}, 0, 0)$
$(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r}) = \begin{vmatrix} \frac{2x}{a^2} & \frac{2y}{a^2} & \frac{2z}{b^2}\\ \frac{-t(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}{\sqrt{a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2})}} & 1 & l \\ \frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-(1+\frac{l^2a^2}{b^2})a^2}{(a^2-t^2(1+\frac{l^2a^2}{b^2}))^\frac{3}{2}} \cdot 2tl \cdot (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) $

[svv]

$\mathbf N$ по определению — единичная нормаль к поверхности.
$\mathbf r'$ — единичный касательный вектор. Вектор $\frac{d\mathbf r}{ds}$ будет автоматически единичной длины, если параметр $s$ натуральный.
$\mathbf r''$ — не обязан быть единичным. Его длина $k$.

[stupid-student]

svv
что значит, что $\mathbf r''$ не обязан? :) Просто если я его нормирую, я получу $(-1, 0, 0)$, это гораздо приятнее для вычислений.
А $\mathbf n$ мне нужно нормировать, и, так как параметризация не натуральная, то $\dot{\mathbf r}$ тоже придется нормировать, так? или я его уже нормирую, так как потом я все это смешанное произведение делю на куб модуля? Запутался.

[svv]

stupid-student в сообщении #1271627 писал(а):

Просто если я его нормирую, я получу $(-1, 0, 0)$, это гораздо приятнее для вычислений.

И получите неверное значение геодезической кривизны.

-- Вс дек 03, 2017 21:14:46 --

stupid-student в сообщении #1271627 писал(а):

так как параметризация не натуральная, то $\dot{\mathbf r}$ тоже придется нормировать, так?

Да.