2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 17:19 


29/11/17
20
Здравствуйте! Есть сфера, хочу ее пересечь плоскостью, проходящей через диаметр. Ясно дело, что кривая пересечения - окружность.
Собственно вопрос: как получить уравнение этой пространственной кривой?
Вот сфера и плоскость, которой секу:
$\left\{\begin{matrix}
 x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \\ 
 z = l\cdot y
\end{matrix}\right.$
Если подставлю одно в другое, то получу:
$x^2+y^2(1+l^2)=a^2$
Несложно догадаться, что это эллипс, а так как мы в пространстве, то цилиндр с сечением в виде этого эллипса. Или все-таки это и есть уравнение этой пространственной кривой? Могу параметризовать:
$\left\{\begin{matrix}
y=t \\ 
z=l\cdot t \\
x = \pm\sqrt{a^2-t^2(1+l^2)}  
\end{matrix}\right.$
Это оно? Вопрос, возможно, глупый, но что-то в голове не укладывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вы получили уравнение проекции вашей кривой на плоскость $xy$. В сечении — окружность, а в проекции — эллипс. А первоначальная система двух уравнений и описывает вашу окружность. Вторая система тоже описывает, только надо задать отрезок значений для параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
stupid-student в сообщении #1270159 писал(а):
как получить уравнение этой пространственной кривой?

А как вообще можно задать пространственную кривую? Какими уравнениями, какими способами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 02:53 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
stupid-student
Если у вас есть одно уравнение, связывающее координаты в 3D, то в общем невырожденном случае это будет уравнением какой-нибудь поверхности. Пространственная кривая, опять же в невырожденном случае может быть задана как пересечение двух поверхностей. То есть двумя уравнениями. Так что ничего страшного в вашем изначальном представлении нет. Вопрос стоит только в том, чтобы выбрать наиболее простые уравнения поверхностей. В вашем варианте сложно придумать что-то более простое чем сфера и плоскость.
Ну и второй вариант вы тоже продемонстрировали - параметрическое задание координат. Для пространственной кривой это будет один параметр. В вашем варианте пожалуй покрасивее будет использование тринонометрических функций с некоторым обобщенным угловым параметром. Подумайте как.
Ну а для поверхности придется использовать два параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 06:35 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Я бы сделал так: ввел на секущей плоскости ортонормированную систему координат и написал уравнение сечения в ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 08:09 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Null
При этом вам все-равно придется в дополнение к уравнению $x'^2+y'^2=a^2$ в явном виде написать уравнение секущей плоскости типа $z'=0$ и кроме того задать матрицу поворота
$$\begin{pmatrix}
1 &  0& 0\\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\
0 &  \sin\alpha& \cos\alpha
\end{pmatrix}$$
Здесь $\tg\alpha=l$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Сфера задается двумя угловыми параметрами в сферической с.к., а уравнение плоскости связывает эти параметры, оставляя свободным только один из них. Так нетрудно получить параметрические уравнения сечения. Или параметризовать полученную проекцию, а затем поднять результат на сферу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 13:05 


29/11/17
20
Brukvalub, fred1996

Вот, тогда у меня выйдет параметрическое уравнение кривой с одним угловым параметром. А нельзя никак оставить оба угловых параметра, но зато чтобы кривая задавалась одним уравнением их связывающим?

Вот например такая сфера:
$\left\{\begin{matrix}
x = a\cdot\cos(\theta)\cos(\lambda) \\
y = a\cdot\cos(\theta)\sin(\lambda) \\
z = a\cdot\sin(\theta)
\end{matrix}\right.$
Тогда вот будет кривая:
$\left\{\begin{matrix}
x = \pm\sqrt{l^2-\tg^2(\theta)}\cdot\frac{a}{l}\cdot\cos(\theta) \\
y = \frac{a}{l}\cdot\sin(\theta) \\
z = a\cdot\sin(\theta)

\end{matrix}\right.$
А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:12 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
stupid-student в сообщении #1270348 писал(а):
А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.
Если я Вас правильно понял, для этого достаточно в уравнении плоскости $z=\ell y$ выразить декартовы координаты через сферические. Но не забывайте, что окружность (то есть именно кривая, а не поверхность) получится, лишь если добавить ещё одно уравнение: $r=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
stupid-student
А чем параметрическое векторное уравнение, например, плохо? И вообще зачем может понадобиться единственное представление? У разных разные плюсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:36 


29/11/17
20
arseniiv
Мне нужно найти геодезическую кривизну этой кривой. Для этого нужно брать производные $\lambda$ по $\theta$ (ну или наоборот)
Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром, там ужасные вычисления, которые не упрощаются :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:46 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Параметрическое уравнение окружности (с натуральным параметром $s$):
$\mathbf r(s)=\mathbf r_0+a\mathbf p_1\cos\frac{s}{a}+a\mathbf p_2\sin\frac{s}{a}$
Здесь $\mathbf r_0$ — радиус-вектор центра окружности, $a$ — радиус окружности, $\mathbf p_1, \mathbf p_2$ — единичные векторы, лежащие в плоскости окружности, ортогональные друг другу.
stupid-student в сообщении #1270383 писал(а):
Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром
Не обязательно. Есть формула $k_g=\dfrac{(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r})}{|\dot{\mathbf r}|^3}$, где $\mathbf r$ зависит от произвольного параметра $t$.
Если всё-таки используете натуральную параметризацию, формула упрощается до $k_g=(\mathbf n, \mathbf r', \mathbf r'')$. Здесь
$\mathbf n$ — единичный вектор нормали к поверхности,
точки — производные по произвольному параметру $t$,
штрихи — производные по натуральному параметру $s$,
$(\cdot,\cdot,\cdot)$ — смешанное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:09 


29/11/17
20
svv
Так. В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$ (в смысле все плоскости, в которых лежат все эти окружности), поэтому $\mathbf p_{1}$ можно взять $(1, 0, 0)$, $\mathbf p_{2}$ можно взять $(0, \frac{1}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l}{\sqrt{1+l^2}})$. И что тогда, $\mathbf r(s) = (a\cdot\cos(\frac{s}{a}), \frac{a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l\cdot a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
stupid-student в сообщении #1270434 писал(а):
В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$
В таком случае Вы можете мгновенно сказать, чему равна геодезическая кривизна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:39 


29/11/17
20
svv
Да я знаю, что большие круги - геодезические. По заданию нужно это доказать.
Я верно составил выражение радиус вектора?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group