2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 17:19 


29/11/17
20
Здравствуйте! Есть сфера, хочу ее пересечь плоскостью, проходящей через диаметр. Ясно дело, что кривая пересечения - окружность.
Собственно вопрос: как получить уравнение этой пространственной кривой?
Вот сфера и плоскость, которой секу:
$\left\{\begin{matrix}
 x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \\ 
 z = l\cdot y
\end{matrix}\right.$
Если подставлю одно в другое, то получу:
$x^2+y^2(1+l^2)=a^2$
Несложно догадаться, что это эллипс, а так как мы в пространстве, то цилиндр с сечением в виде этого эллипса. Или все-таки это и есть уравнение этой пространственной кривой? Могу параметризовать:
$\left\{\begin{matrix}
y=t \\ 
z=l\cdot t \\
x = \pm\sqrt{a^2-t^2(1+l^2)}  
\end{matrix}\right.$
Это оно? Вопрос, возможно, глупый, но что-то в голове не укладывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12997
Вы получили уравнение проекции вашей кривой на плоскость $xy$. В сечении — окружность, а в проекции — эллипс. А первоначальная система двух уравнений и описывает вашу окружность. Вторая система тоже описывает, только надо задать отрезок значений для параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение29.11.2017, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
stupid-student в сообщении #1270159 писал(а):
как получить уравнение этой пространственной кривой?

А как вообще можно задать пространственную кривую? Какими уравнениями, какими способами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 02:53 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
stupid-student
Если у вас есть одно уравнение, связывающее координаты в 3D, то в общем невырожденном случае это будет уравнением какой-нибудь поверхности. Пространственная кривая, опять же в невырожденном случае может быть задана как пересечение двух поверхностей. То есть двумя уравнениями. Так что ничего страшного в вашем изначальном представлении нет. Вопрос стоит только в том, чтобы выбрать наиболее простые уравнения поверхностей. В вашем варианте сложно придумать что-то более простое чем сфера и плоскость.
Ну и второй вариант вы тоже продемонстрировали - параметрическое задание координат. Для пространственной кривой это будет один параметр. В вашем варианте пожалуй покрасивее будет использование тринонометрических функций с некоторым обобщенным угловым параметром. Подумайте как.
Ну а для поверхности придется использовать два параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 06:35 
Заслуженный участник


12/08/10
957
Я бы сделал так: ввел на секущей плоскости ортонормированную систему координат и написал уравнение сечения в ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 08:09 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Null
При этом вам все-равно придется в дополнение к уравнению $x'^2+y'^2=a^2$ в явном виде написать уравнение секущей плоскости типа $z'=0$ и кроме того задать матрицу поворота
$$\begin{pmatrix}
1 &  0& 0\\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\
0 &  \sin\alpha& \cos\alpha
\end{pmatrix}$$
Здесь $\tg\alpha=l$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13010
Москва
Сфера задается двумя угловыми параметрами в сферической с.к., а уравнение плоскости связывает эти параметры, оставляя свободным только один из них. Так нетрудно получить параметрические уравнения сечения. Или параметризовать полученную проекцию, а затем поднять результат на сферу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 13:05 


29/11/17
20
Brukvalub, fred1996

Вот, тогда у меня выйдет параметрическое уравнение кривой с одним угловым параметром. А нельзя никак оставить оба угловых параметра, но зато чтобы кривая задавалась одним уравнением их связывающим?

Вот например такая сфера:
$\left\{\begin{matrix}
x = a\cdot\cos(\theta)\cos(\lambda) \\
y = a\cdot\cos(\theta)\sin(\lambda) \\
z = a\cdot\sin(\theta)
\end{matrix}\right.$
Тогда вот будет кривая:
$\left\{\begin{matrix}
x = \pm\sqrt{l^2-\tg^2(\theta)}\cdot\frac{a}{l}\cdot\cos(\theta) \\
y = \frac{a}{l}\cdot\sin(\theta) \\
z = a\cdot\sin(\theta)

\end{matrix}\right.$
А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:12 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
stupid-student в сообщении #1270348 писал(а):
А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.
Если я Вас правильно понял, для этого достаточно в уравнении плоскости $z=\ell y$ выразить декартовы координаты через сферические. Но не забывайте, что окружность (то есть именно кривая, а не поверхность) получится, лишь если добавить ещё одно уравнение: $r=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
stupid-student
А чем параметрическое векторное уравнение, например, плохо? И вообще зачем может понадобиться единственное представление? У разных разные плюсы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:36 


29/11/17
20
arseniiv
Мне нужно найти геодезическую кривизну этой кривой. Для этого нужно брать производные $\lambda$ по $\theta$ (ну или наоборот)
Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром, там ужасные вычисления, которые не упрощаются :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 14:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Параметрическое уравнение окружности (с натуральным параметром $s$):
$\mathbf r(s)=\mathbf r_0+a\mathbf p_1\cos\frac{s}{a}+a\mathbf p_2\sin\frac{s}{a}$
Здесь $\mathbf r_0$ — радиус-вектор центра окружности, $a$ — радиус окружности, $\mathbf p_1, \mathbf p_2$ — единичные векторы, лежащие в плоскости окружности, ортогональные друг другу.
stupid-student в сообщении #1270383 писал(а):
Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром
Не обязательно. Есть формула $k_g=\dfrac{(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r})}{|\dot{\mathbf r}|^3}$, где $\mathbf r$ зависит от произвольного параметра $t$.
Если всё-таки используете натуральную параметризацию, формула упрощается до $k_g=(\mathbf n, \mathbf r', \mathbf r'')$. Здесь
$\mathbf n$ — единичный вектор нормали к поверхности,
точки — производные по произвольному параметру $t$,
штрихи — производные по натуральному параметру $s$,
$(\cdot,\cdot,\cdot)$ — смешанное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:09 


29/11/17
20
svv
Так. В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$ (в смысле все плоскости, в которых лежат все эти окружности), поэтому $\mathbf p_{1}$ можно взять $(1, 0, 0)$, $\mathbf p_{2}$ можно взять $(0, \frac{1}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l}{\sqrt{1+l^2}})$. И что тогда, $\mathbf r(s) = (a\cdot\cos(\frac{s}{a}), \frac{a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l\cdot a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:27 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
stupid-student в сообщении #1270434 писал(а):
В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$
В таком случае Вы можете мгновенно сказать, чему равна геодезическая кривизна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сечение сферы
Сообщение30.11.2017, 17:39 


29/11/17
20
svv
Да я знаю, что большие круги - геодезические. По заданию нужно это доказать.
Я верно составил выражение радиус вектора?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: TR63


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group