Задача по дифференциальной геометрии

[sasha_alesin]

Здравствуйте! Есть такое задание, называется "Ошибка геодезиста":
На эллипсоиде $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1\ (b<a)$ введены координаты $(\theta , \lambda ): \theta - $ астрономическая широта (угол между касательной плоскостью в данной точке и осью $Oz$); $\lambda - $ долгота (угол между поскостью, проходящей через данную точку и плоскостью $xOz$).
Некто решил уравнение геодезической ошибочно, взяв $a=b$, и начертил на эллипсоиде соответствующую кривую. Вычислить ее геодезическую кривизну. Найти максимально возможное значение ее геодезической кривизны (при разных углах ее пересечения с экватором).
Если было взято $a=b$, то получилась сфера, на сфере геодезические - окружности большого круга и только они, это я знаю и умею выводить. Только вот что дальше то? Он начертил одну из этих окружностей на эллипсоиде, а какую? Может, эта окружность будет меридианом эллипсоида, тогда она будет и геодезической эллипсоида тоже, а может она и вовсе не будет на нем полностью лежать. Что от меня хотят?
Помогите, пожалуйста, хотя бы макетом решения. Что я должен сначала сделать, что потом.

[sasha_alesin]

Никто не может помочь?

[Lia]

sasha_alesin
Замечание за подъем темы бессодержательным сообщением.

[Pphantom]

sasha_alesin в сообщении #1266555 писал(а):

Некто решил уравнение геодезической ошибочно, взяв $a=b$, и начертил на эллипсоиде соответствующую кривую.

По-видимому, проблема в этом месте. По крайней мере я из этого описания не понимаю, что произошло, соответственно, и ответа на вопрос нет.

Да, геодезические на сфере - дуги больших кругов. Но что значит "начертил на эллипсоиде соответствующую кривую"? Перешел к сферическим координатам и нарисовал получившееся, как-то проецировал дугу большого круга на эллипсоид (как?), еще что-то...

sasha_alesin в сообщении #1266555 писал(а):

Помогите, пожалуйста, хотя бы макетом решения. Что я должен сначала сделать, что потом.

Похоже, начать надо с уточнения условия у того, кто эту задачу дал.

[sasha_alesin]

Pphantom, я все понял и все посчитал. На сфере геодезические - большие окружности. Если рассматривать $\lambda$= const (меридианы), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит 0, и это верно, так как на эллипсоиде меридианы - тоже геодезические. Если рассматривать $\theta$ = const (параллели), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит $\frac{a \dot \sin(\theta)}{a^{2}\sin^{2}(\theta)+b^{2}\cos^{2}(\theta)}$, что дает 0 при $\theta=0$ (так и есть, ведь нулевая параллель (экватор) для эллипсоида - геодезическая), и при увеличении (уменьшении) $\theta$ до $\frac{\pi}{2}$ ($-\frac{\pi}{2}$) растет до $\frac{1}{a}$. Все вроде хорошо, но мы рассмотрели лишь два случая, когда большие окружности - параллели либо меридианы, а если они не те и не другие? Как рассмотреть общий случай большой окружности? Это надо либо как-то поворачивать тело, совмещая эту окружность с параллелью или меридианом, либо надо записать аналитический вид любой большой окружности на сфере. На этом я застрял. Про повороты ничего не знаю, аналитический вид что-то тоже не выходит и не гуглится. Рассчитываю на помощь.

[Pphantom]

sasha_alesin в сообщении #1267782 писал(а):

Все вроде хорошо, но мы рассмотрели лишь два случая, когда большие окружности - параллели либо меридианы, а если они не те и не другие?

Не совсем. Параллели не являются геодезическими и на сфере тоже (кроме экватора), так что этот случай можно не рассматривать.

Но, в общем, Вы пошли по этому пути:

Pphantom в сообщении #1267435 писал(а):

Перешел к сферическим координатам и нарисовал получившееся,

допустим, что условие задачи нужно толковать таким образом.

sasha_alesin в сообщении #1267782 писал(а):

Как рассмотреть общий случай большой окружности? Это надо либо как-то поворачивать тело, совмещая эту окружность с параллелью или меридианом, либо надо записать аналитический вид любой большой окружности на сфере. На этом я застрял.

Сделайте следующее. Возьмите сферу с заданной сферической СК и произвольную точку на сфере. Если эта точка - полюс некоторого большого круга, то перебрав все точки полусферы, очевидно, можно перебрать все возможные большие круги, так что координаты этой точки - параметры большого круга. Затем постройте сферический треугольник с вершинами в полюсе СК, выбранной точке и произвольной точке на нужном большом круге и запишите для него тригонометрические соотношения, которые сможете.Это - после некоторого упрощения - и будет искомым аналитическим заданием произвольного большого круга.

[sasha_alesin]

Pphantom, согласен с Вами, про параллели я затупил что-то, ну да ладно, зато нашёл, что кривизна экватора эллипсоида 0.
Спасибо за совет, но звучит очень сложно и непонятно :(
Попробую.

[Pphantom]

sasha_alesin в сообщении #1267869 писал(а):

Спасибо за совет, но звучит очень сложно и непонятно :(

Да ладно Вам. Честно говоря, самым сложным при написании этого текста было случайно не написать сразу готовый ответ.

[sasha_alesin]

Pphantom
Лучше б вы написали :)
Мне тут в соседней теме скинули ссылочку интересную: http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html
Там формула 19, ей и воспользуюсь, наверное.