Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г

[provincialka]

1 декабря 2017 прошла традиционная Открытая поволжская олимпиада по математике для студентов, посвященная дню рождения Н.И.Лобачевского
Задачи можно посмотреть в интернете, есть и решения, но ссылку выкладывать не буду.

1. Доказать, что при $a \in [0, \pi/2], b \in [0, 1]$ выполняется неравенство
$$\int\limits_0^a\sin x dx + \int\limits_0^b\arcsin x dx \geq ab$$

2. Все вершины многогранника пронумерованы числами от $1$ до $N$ в некотором порядке. Пусть $A$ – матрица размера $N\times N$, состоящая из $0$ и $1$, причём её элементы $a_{km} = a_{mk} = 1$, если вершины с номерами $k$ и $m$ лежат на одном ребре, и $a_{km} = 0$ в противном случае (в частности $a_{kk} = 0$). Показать, что $\det(A)$ не зависит от порядка нумерации вершин. Вычислить $\det(A)$ для тетраэдра и октаэдра.
3. Решить матричное уравнение $AX + X + A = 0$, где квадратная матрица $A$ нильпотентна (некоторая степень $A$ является нулевой матрицей).
4. К десятичной записи любого ли натурального числа можно приписать конечный набор цифр так, чтоб получившееся число представляло собой полный квадрат?
5. План города представляет собой квадрат, разделённый на 25 одинаковых кварталов квадратной формы. Из левого верхнего угла в противоположный угол вышел Антон, одновременно с ним с той же скоростью навстречу ему вышел Борис. С какой вероятностью они встретятся? На перекрестках направление выбирается произвольным образом, но так, чтобы длина пути была минимальна, т.е. Антон движется вниз или вправо, Борис вверх или влево.
6. Сколько существует последовательностей длины $n$ из чисел $1$ и $2$ таких, что их сумма делится на $3$?
7. Доказать, что число
$$S =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^2} $$
иррациональное.
8. Доказать, что площадь проекции единичного куба на плоскость численно равна длине его проекции на ортогональную плоскости прямую.
9. Из скольких компонент связности состоит дополнение конуса $C = \{(x, y, z, w) \in \mathbb R^4 : x^2 +y^2 -z^2 -w^2 = 0\}$ в пространстве $\mathbb R^4$?
10. Конечная система множеств $\mathcal L$ замкнута относительно операции взятия симметрической разности: если $A \in \mathcal L$ и $B \in \mathcal L$, то множество $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ также принадлежит $\mathcal L$. Может ли $\mathcal L$ состоять в точности из 2017 множеств?
11. Билет называется счастливым по-питерски, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, совпадает с суммой цифр, стоящих на нечётных местах. Назовем билет счастливым по-казански, если все его цифры можно разбить на две непересекающиеся группы с одинаковыми суммами цифр. На совместном заседании руководителей транспортных управлений Петербурга и Казани было принято решение не ограничивать число цифр в номере билета.
a) Пусть $P_{\Pi}(n)$ — вероятность того, что случайно взятый $n$-значный билет является счастливым по-питерски. Найти $\lim\limits_{n\to\infty} P_{\Pi}(n)$.
б) Пусть $P_{K}(n)$ вероятность того, что случайно взятый $n$-значный билет является счастливым по-казански. Найти $\lim\limits_{n\to\infty} P_{K}(n)$.

[StaticZero]

provincialka в сообщении #1271521 писал(а):

3. Решить матричное уравнение $AX + X + A = 0$, где квадратная матрица $A$ нильпотентна (некоторая степень $A$ является нулевой матрицей).

Пусть $p > 1$ - порядок нильпотентности. Тогда $A^{p-1} \ne 0$. Умножим уравнение на неё слева. Получаем

$$ A^p X + A^{p-1}X + A^p = 0, \qquad A^{p-1}X = 0. $$

Здесь либо $X = 0$, либо $X = A$, ведь по предположению $A^{p-1} \ne 0$. В первом случае получаем из уравнения $A = 0$, откуда $p = 1$, что противоречит тому, что $p > 1$. Во втором случае получаем уравнение $A^2 + 2 A = 0$. Умножим его на $A^{p-2}$ слева. Получаем $A^p + 2 A^{p-1} = 0$, откуда $A^{p-1} = 0$, что противоречит предположению о порядке нильпотентности. Стало быть, $p = 1$ и $X = A = \mathbb O$.

[provincialka]

StaticZero в сообщении #1271534 писал(а):

Здесь либо $X = 0$, либо $X = A$, ведь по предположению $A^{p-1} \ne 0$.

Почему? Нет.
Вообще-то в уравнении $A$ фиксирована, неизвестная матрица -- $X$.

[StaticZero]

Да, со словом "либо" я явно погорячился.

[provincialka]

StaticZero Не в том дело. Там другое решение, причем и при $A\ne0$

[StaticZero]

provincialka в сообщении #1271547 писал(а):

Не в том дело

Ошибка в решении именно в этом: никто не сказал, что из произведения, равного нулю, следует, что непременно один из сомножителей - нуль.

[provincialka]

А! Да, так.
Я думала вы намекаете на "либо", как исключающее "или".

Думаю, тут не надо усложнять... постарайтесь просто записать решение, ка кдля любого линейного матричного уравнения.

[RIP]

3. $X=\sum_{k=1}^{n-1}(-A)^{k}$, где $n$ — порядок матрицы $A$.

[provincialka]

RIP
Ага. Но можно и короче записать.

[RIP]

provincialka в сообщении #1271560 писал(а):

Но можно и короче записать.

Короче — это $X=-(I+A)^{-1}A$ или что-то другое?

[StaticZero]

Мне понравилась задача. Решение нашёл. (В смысле догадался)

[fred1996]

8.

(Решение)

Очевидно, что площадь проекции куба складывается из площади проекций трех его перпендикулярнах граней.
Если ориентация куба относительно плоскости задается обычными сферическими углами $\varphi$ и $\psi$, то нетрудно видеть, что ввиду полной симметрии ортов куба относительно их перестановок получаем $S=\sin\psi+\sin\varphi\cos\psi+\cos\varphi\cos\psi$
С другой стороны проекция куба на прямую, ортогональную плоскости есть проекция главной диагонали этого куба, которая может быть составлена из суммы прекций трех ребер, соединяющих противоположные вершины куба. А это, вследствии перестановочности базисных ортов куба та же сумма из трех членов. Может я что и напутал в процессе. Извините, ручки под рукой не было. Вполне мог перепутать синусы и косинусы.

-- 03.12.2017, 10:35 --

6

(Решение)

Записываем число в виде нулей и единиц в двоичной системе. Всего таких чисел $2^n^-^1$
Так что делим это число на 3 нацело и получаем ответ.

-- 03.12.2017, 10:39 --

5.

(Решение)

Очевидно, они могут встретиться только на перекрестках главной диагонали, каковых 6.
Значит вероятность 1/6

[provincialka]

RIP
Да. Но, конечно, надо было доказать обратимость $A+E$

[RIP]

Я просто сразу обратную матрицу расписал и подставил. Здесь уже встречалась задача про обратимость такой штуки, причём не раз, кажется.

[provincialka]

Честно говоря, я эти задачи не решала... могу привести ссылку на решения... Но , думаю, пока форумчане могут попроверять друг друга.

-- 03.12.2017, 21:54 --

RIP
Да, конечно. В общем, это утешительная задачка, для 1 курса.