2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 11:41 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):
а второй над графиком

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 12:12 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):
. Не строгое равенство?

Равенство будет, если $b=\sin a$.
А фокус встречается, например, при выводе неравенства Юнга....

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
pcyanide в сообщении #1271784 писал(а):
Неужели в Поволжье все гении?

Максимальный балл был 68 из 77 возможных, но получил его представитель Ростова (олимпиада-то открытая). Но это исключение, лучшие работы в основном баллов на 30.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 12:21 
Аватара пользователя


09/10/15
2801
Columbia, Missouri, USA
DeBill в сообщении #1271867 писал(а):
fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):
. Не строгое равенство?

Равенство будет, если $b=\sin a$.
А фокус встречается, например, при выводе неравенства Юнга....

А, то что они могут быть не равны, не заметил.

-- 04.12.2017, 01:28 --

kotenok gav в сообщении #1271849 писал(а):
fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):
а второй над графиком

Почему?

Можно заметить, что вам предлагается сосчитать интеграл как от функции, так и от обратной функции. Интегрл от функции - это площадь под графиком. А интеграл от обратной функции можно получить с помощью перестановки осей $X$ и $Y$. Графически это площадь под грфиком перевернутого графика, или над графиком исходного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 13:17 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):
arqady
А разве в 1. Не строгое равенство?


arqady забыл упомянуть, что речь идет о прямоугольнике ограниченном координатными прямыми и x=a, y=b. Они могут не встречаться в точке графика, тогда строгое неравенство. Если b=sin(a), тогда все в порядке.

Красивое решение!

-- 04.12.2017, 20:37 --

4. К десятичной записи любого ли натурального числа можно приписать конечный набор цифр так, чтоб получившееся число представляло собой полный квадрат?

Для тех, кто еще не догадался. Выберем n так чтобы $10^n > \frac{1}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})^2}
$, тогда $10^\frac{n}{2}\sqrt{a+1}-10^\frac{n}{2}\sqrt{a}>1$, следовательно интервал $(10^\frac{n}{2}\sqrt{a},10^\frac{n}{2}\sqrt{a+1})$ содержит целое число X. В таком случае $a \cdot 10^n < X^2 < (a+1) \cdot10 ^n$.

Не знаю, какое решение предложили авторы из Поволжья, но встречал эту задачу не то в Kettering Math Olympiad, не то в Wisconsin University Talent Search. Там авторское решение такое неуклюжее, что стало стыдно за них. :-)

-- 04.12.2017, 20:48 --

provincialka в сообщении #1271868 писал(а):
олимпиада-то открытая


Хорошая идея. Поднимает уровень образования в своем крае. Но, я надеюсь, была отдельная таблица результатов среди местных, иначе могут обидеться. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 14:18 


15/03/11
134
6)

(Оффтоп)

Пусть
$a_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой кратной 3.
$b_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой дающей остаток 1.
$c_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой дающей остаток 2.

Получим рекуррентную систему
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_n&=&b_{n-1}+c_{n-1} \\
 b_n&=&a_{n-1}+c_{n-1} \\
 c_n&=&a_{n-1}+b_{n-1} \\
\end{array}
\right.$
С начальными условиями.
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_1&=&0 \\
 b_1&=&1 \\
 c_1&=&1 \\
\end{array}
\right.$

По индукции доказывается, что $a_{2n+1}=b_{2n+1}-1=c_{2n+1}-1$ и $a_{2n}=b_{2n}+1=c_{2n}+1$. А также $a_n+b_n+c_n = 2^n$.

Итого получаем:
1) $a_{2n+1} = \left[\frac{2^{2n+1}}3\right]$
2) $a_{2n}=\left[\frac{2^{2n}}3\right]+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение05.12.2017, 06:24 
Аватара пользователя


09/10/15
2801
Columbia, Missouri, USA
zhekas
У вас получилось число вариантов больше, чем число всех возможных наборов $2^n$
А ведь очевидно, что если число всех перестановок $2^n$, то число перестановок, делящихся с остатком один, то же, что с остатком два и то же, что и без остатка. С точностью до единицы. Поскольку $2^n$ не делится на 3, то ответ будет $\frac{2^n-2}{3}$ для нечетных $n$ и $\frac{2^n-1}{3}$ для четных. Или просто $[\frac{2^n}{3}]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение05.12.2017, 09:22 


15/03/11
134
fred1996 в сообщении #1272142 писал(а):
zhekas
У вас получилось число вариантов больше, чем число всех возможных наборов $2^n$
А ведь очевидно, что если число всех перестановок $2^n$, то число перестановок, делящихся с остатком один, то же, что с остатком два и то же, что и без остатка. С точностью до единицы. Поскольку $2^n$ не делится на 3, то ответ будет $\frac{2^n-2}{3}$ для нечетных $n$ и $\frac{2^n-1}{3}$ для четных. Или просто $[\frac{2^n}{3}]$


Ну давай потренируемся на кошках (на простых случаях).
1) $n=1$
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_1&=&0 \\
 b_1&=&1 \\
 c_1&=&1 \\
\end{array}
\right.$

$a_1 = \left[\frac{2^1}3\right]=0$. $a_1+b_1+c_1=2=2^1$

2) $n=2$
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_2&=&2 \\
 b_2&=&1 \\
 c_2&=&1 \\
\end{array}
\right.$

$a_2 = \left[\frac{2^2}3\right]+1=2$. $a_2+b_2+c_2=4=2^2$

3) $n=3$
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_3&=&2 \\
 b_3&=&3 \\
 c_3&=&3 \\
\end{array}
\right.$

$a_3 = \left[\frac{2^3}3\right]=2$. $a_3+b_3+c_3=8=2^3$

4) $n=4$
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a_4&=&6 \\
 b_4&=&5 \\
 c_4&=&5 \\
\end{array}
\right.$

$a_4 = \left[\frac{2^4}3\right]+1=6$. $a_4+b_4+c_4=16=2^4$

Что не так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group