2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 21:54 
Аватара пользователя


09/10/15
3012
Columbia, Missouri, USA
4.

(Решение)

Очевидно да.
Извлекаем из данного числа квадратный корень. Считаем число цифр до запятой и отстчитываем такое же количество после запятой плюс еще парочку цифр. Отбрасываем запятую и прибавляем единицу. Возводим в квадрат. Получаем число, у которого первые цифры с начала совпадают с первоначальным числом

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 21:54 


11/07/16
448
Спасибо. У меня вызывает сомнение первая фраза в приведенном на олимпиадной странице решении задачи 6:
Цитата:
Каждой искомой последовательности длины $ n, n > 1$, взаимно однозначно соответствует последовательность длины $n - 1$ из единиц и двоек, сумма чисел в которой не делится на 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
Markiyan Hirnyk
А что не так? Например, $n=4$, после отбрасывания последней цифры получаем $(1,2,1)$. Можете вы восстановить четвертую цифру последовательности? При условии делимости суммы на 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:04 
Аватара пользователя


22/06/12
1164

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1271597 писал(а):
Да. Но, конечно, надо было доказать обратимость $A+E$

Без этого тоже можно

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:05 
Аватара пользователя


09/10/15
3012
Columbia, Missouri, USA
11

(ответ)

а. 0
б. 0.5
Доказательство слишком прозрачно

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:07 


11/07/16
448
provincialka
Мне непонятна взаимная однозначность, ибо можно отбросить и первую цифру, и любую другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3582

(Идея решения 1)

Известная штука про сумму интегралов от функции и её обратной. Нужно рисовать картинку и считать площади. Если формулами, то
\[
\int_{0}^{b}\arcsin x\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\arcsin b}y\,\mathrm{d}(\sin y)=b\arcsin b-\int_{0}^{\arcsin b}\sin y\,\mathrm{d}y;
\]
\[
\int_{0}^{a}\sin x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{b}\arcsin x\,\mathrm{d}x-ab=\begin{cases}
\int_{\arcsin b}^{a}(\sin x-b)\,\mathrm{d}x,&b\leqslant\sin a,\\
\int_{a}^{\arcsin b}(b-\sin x)\,\mathrm{d}x,&b\geqslant\sin a.
\end{cases}
\]

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
Markiyan Hirnyk
Когда говорят "можно построить взаимно однозначное соответствие", не предполагается, что оно такое одно.
Да, конечно, можно построить несколько таких соответствий. Но нам достаточно того, что мы такое строить умеем. Например, отбрасывая последнюю цифру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:13 
Аватара пользователя


22/06/12
1164
provincialka в сообщении #1271521 писал(а):
$$S =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^2} $$

Через определённый интеграл это число легко выразить, но я что-то не соображу, что дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
StaticZero
Нет, интеграл тут вряд ли поможет. Может, попробуете от противного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:21 
Аватара пользователя


22/06/12
1164
provincialka в сообщении #1271631 писал(а):
StaticZero
Нет, интеграл тут вряд ли поможет. Может, попробуете от противного?

Как с $\sqrt 2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
StaticZero
Если вы хотите увидеть готовое решение -- я вам ссылку пришлю :lol: А "выжимать" его пошагово не стоит!
Не как с корнем, тут метод спуска не поможет. Ну.. я по, крайней мере, такого решения не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:33 


11/07/16
448
provincialka
Вы пишите
Цитата:
Когда говорят "можно построить взаимно однозначное соответствие", не предполагается, что оно такое одно.

В решении написано
Цитата:
Каждой искомой последовательности длины $n$, взаимно однозначно соответствует последовательность длины $n-1$ из единиц и двоек, сумма чисел в которой не делится на 3.

Согласитесь, что это различные высказывания. Приведенную в решении фразу надо отредактировать. В остальном решение задачи 6, конечно же, правильное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
Markiyan Hirnyk А! Вы об этом! Ну, к сожалению в этом году не я готовила макет олимпиады... Я бы, конечно, написала по-другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:42 
Аватара пользователя


22/06/12
1164

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1271648 писал(а):
StaticZero
Если вы хотите увидеть готовое решение -- я вам ссылку пришлю :lol: А "выжимать" его пошагово не стоит!
Не как с корнем, тут метод спуска не поможет. Ну.. я по, крайней мере, такого решения не знаю.

Я других методов установления иррациональности числа не знаю. Если спуск не проходит - ок, значит, решение будет мне недоступно. Готовое смотреть не буду, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group