2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5027

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1271639 писал(а):
Как с


Ну на самом деле можно догадаться, на какое число это больше похоже, чем на $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 23:03 


11/07/16
25/06/18
401
g______d Согласно Мэйплу, сумма ряда из задачи 7 равна $-1+{{\sl I}_{0}\left(2\right)}$, т.е на единицу меньше значения функции Бесселя рода нуль в точке 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение03.12.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5027
7. Ну ладно, а на что-нибудь ещё похожа? Только в оффтоп не заглядывать :)

(Оффтоп)

$$
\{(n!)^2 S\}=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2}+\frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2(n+3)^2}+\ldots\in (0,1).
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 00:18 
Заслуженный участник


10/01/16
1680
fred1996
5. Неравновероятны же они: в угловые попадают очень редко...

(Оффтоп)

А вот коэффициент при $x^0$ в выражении $\frac{1}{4^n}(1+x)^n\cdot (1+\frac{1}{x})^n$ равен $\frac{C^n_{2n}}{4^n}$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 01:04 
Аватара пользователя


09/10/15
2651
Columbia, Missouri, USA
DeBill в сообщении #1271720 писал(а):
fred1996
5. Неравновероятны же они: в угловые попадают очень редко...

(Оффтоп)

А вот коэффициент при $x^0$ в выражении $\frac{1}{4^n}(1+x)^n\cdot (1+\frac{1}{x})^n$ равен $\frac{C^n_{2n}}{4^n}$...

И то верно. И на старуху бывает непруха. :D

(Оффтоп)

Ну тогда $\frac{63}{256}\approx\frac14$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 07:18 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Неужели в Поволжье все гении?:) Правда, задача 4 довольно простая (ответ утвердительный). Впрочем, задача 6 тоже несложная. Ответ такой: если $r=n \bmod 3$ (остаток от деления n на 3), то искомое количество $S_n=\sum\limits_{k=\min(r,1)}^{\frac{n-r}{3}+1}{C_n^{3k-r}}$, где $C_n^{3k-r}$ — количество сочетаний. Примеры: $S_2=C_2^1=2$ (12 и 21), $S_3=C_3^0+C_3^3=2$ (111 и 222), $S_4=C_4^2=6$ (1122, 1212, 1221, 2112, 2121, 2211), $S_5=C_5^1+C_5^4=2$ (по 5 престановок из 11112 и 22221). Возможно, формула упрощается, но я не корифей в комбинаторике. Думаю, решение понятно из ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 07:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5027
6

(Оффтоп)

Мне считать лень, но можно считать, что это задача по линейной алгебре. Пусть $x_k$ -- число последовательностей длины $k$, делящихся на 3, и $y_k$ -- число последовательностей, дающих остаток 1 при делении на 3. Заметим, что, заменяя единицы на двойки и наоборот, можно превратить остаток 1 в остаток 2, поэтому рассматривать отдельно остаток 2 не нужно.

Рассматривая последнюю цифру, видно, что $x_k=2 y_{k-1}$, $y_k=x_{k-1}+y_{k-1}$, поэтому задача сводится к вычислению степеней матрицы $\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}$. Формулу можно угадать по индукции или диагонализовать (собственные числа -1 и 2 видны невооруженным глазом из следа и определителя).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 07:58 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
RIP в сообщении #1271564 писал(а):
Короче — это $X=-(I+A)^{-1}A$ или что-то другое?

А причем здесь нильпотентность? Только для того чтобы гарантировать существование $(I+A)^{-1}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 08:00 
Аватара пользователя


07/01/15
911
Якутск
10

(Оффтоп)

Нет.

Будем называть множество $A \in \mathcal L$ минимальным, если оно не содержится ни в каком множестве из $\mathcal L.$ Можно показать, что $\mathcal L$ состоит из конечных объединений минимальных множеств и только их, так что в нем обязательно будут $2^n$ элементов, где $n -$ кол-во минимальных элементов.


-- 04.12.2017, 09:04 --

pcyanide в сообщении #1271789 писал(а):
А причем здесь нильпотентность?

Ну если разложить выражение в ряд $$(I+A)^{-1} = I - A + A^2 - A^3\ldots$$
то он как раз из-за нильпотентности оборвется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 08:46 


26/08/11
1709
fred1996 в сообщении #1271607 писал(а):
4.
Очевидно да.
Извлекаем из данного числа квадратный корень. Считаем число цифр до запятой и отстчитываем такое же количество после запятой плюс еще парочку цифр. Отбрасываем запятую и прибавляем единицу. Возводим в квадрат. Получаем число, у которого первые цифры с начала совпадают с первоначальным числом

Построже:
Приписав $k$ цифр к натуральному числу $a$, можно получить любое нат. число в интервале $\left[a 10^k;(a+1) 10^k\right)$. В данном интервале будет точный квадрат, когда в интервале $\left[\sqrt a 10^{k/2};\sqrt{a+1} 10^{k/2}\right)$ есть целое число.

Гарантированно будет, когда $10^{k/2}(\sqrt{a+1}-\sqrt a)>1$

$k>2\lgюлефт(\sqrt{a+1}+\sqrt aюригхт)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 09:07 


21/05/16
1658
Аделаида
Shadow в сообщении #1271794 писал(а):
любое нат. число

Не любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 09:20 


26/08/11
1709
kotenok gav в сообщении #1271799 писал(а):
Не любое.
Какое нельзя получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 09:28 


21/05/16
1658
Аделаида
Если у нас есть число 6378 и мы приписываем к нему одну цифру, то мы не можем получить 56985.
А, нет, я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 09:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1811
Ironi dalet school, tel-aviv
provincialka в сообщении #1271521 писал(а):

[list]1. Доказать, что при $a \in [0, \pi/2], b \in [0, 1]$ выполняется неравенство $$\int\limits_0^a\sin x dx + \int\limits_0^b\arcsin x dx \geq ab$$

Это частный случай известной задачи про взаимно-обратные возрастающие функции с олимпиады Керосинки (80-е годы прошлого века). По-моему, это было и сильно раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г
Сообщение04.12.2017, 10:19 
Аватара пользователя


09/10/15
2651
Columbia, Missouri, USA
arqady
А разве в 1. Не строгое равенство?
Если нарисовать график синуса, то первый интеграл - это площадь под графиком, а второй над графиком. В результате просто получаем площадь прямоугольника.
И действительно это равенство справедливо для любой возрастающей функции. Я что-то похожее встречал на заре моей юности в 70-е. И похоже именно с синусом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group