Задача с МФО

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1269351 писал(а):

Не может $\overrightarrow {Votn}$ изменить направление.

Да я про модуль.

EUgeneUS в сообщении #1269351 писал(а):

Потому что нет никаких сил, из-за которых может появиться радиальное ускорение ("поперек скорости").

А силы трения? Я не знаю, как они направлены в различных СО, поэтому и спрашиваю.

-- 26.11.2017, 22:01 --

StaticZero в сообщении #1269356 писал(а):

$\mathrm d \mathbf v = - \dfrac{\alpha}{m} \mathbf v \ \mathrm dt$, если $\mathbf F(\mathbf v) = -\alpha \mathbf v$.

Maple и Wolfram Alpha выдают $v(t)=0$.

[StaticZero]

Rusit8800 в сообщении #1269370 писал(а):

А силы трения? Я не знаю, как они направлены в различных СО, поэтому и спрашиваю.

В системе отсчёта воды трение направлено против скорости тела. В системе отсчёта берегов сила будет направлена против вектора $\mathbf v - \mathbf u$.

Rusit8800 в сообщении #1269370 писал(а):

Maple и Wolfram Alpha выдают $v(t)=0$.

Это решение не удовлетворяет начальным условиям.

[EUgeneUS]

Rusit8800
Как-то затянулось обсуждение элементарной задачи. Поэтому напишу план решения:

1. Переходим в ИСО воды.
2. Понимаем, что в ИСО воды лодка движется прямолинейно (про ускорения пока почти ничего не можем сказать).
3. Решаем первую часть задачи из геометрических построений в СО воды.
4. Переходим в СО берегов, получаем ответ для первой части задачи.

Со второй частью поступаем так же. Рассматриваем движение в СО воды, быстро и просто получаем ответ, переходим обратно в СО берегов.

[Walker_XXI]

EUgeneUS в сообщении #1269507 писал(а):

А силы трения? Я не знаю, как они направлены в различных СО

EUgeneUS в сообщении #1269507 писал(а):

2. Понимаем, что в ИСО воды лодка движется прямолинейно (про ускорения пока почти ничего не можем сказать).

Поясню этот момент (он, похоже, и вызывает трудность у ТС). В СО воды вода неподвижна. А это значит, что лодка, которая имела изначально какую-то скорость, может только тормозиться, но не менять направления скорости (сила трения направлена противоположно направлению скорости при любом характере зависимости от модуля скорости).

[ludwig51]

Rusit8800 в сообщении #1269182 писал(а):

Однако в ответах

$$\[l = {V_t}t - \frac{{{V_t}}}{{{V_0}}}H\]$$

Откуда такой ответ?
Время переправы $t$ у вас дано.
Скорость течения реки постоянна $V_t$.
Чему равен снос лодки $l$ ?

[EUgeneUS]

ludwig51 в сообщении #1269599 писал(а):

Откуда такой ответ?

Всё, кроме полного решения задачи, указано выше.
Если есть более конкретный вопрос - задайте его, пожалуйста.

[Rusit8800]

Walker_XXI в сообщении #1269543 писал(а):

оясню этот момент (он, похоже, и вызывает трудность у ТС). В СО воды вода неподвижна. А это значит, что лодка, которая имела изначально какую-то скорость, может только тормозиться, но не менять направления скорости (сила трения направлена противоположно направлению скорости при любом характере зависимости от модуля скорости).

Хорошо, мы знаем, что начальная скорость лодки относительно воды равна $\[{V_{otn}} = \sqrt {{V_0}^2 + {V_t}^2} \]$. Эта скорость будет убывать так

$$\[m\frac{{dV}}{{dt}} = - kV\]$$

, при этом $\[V(0) = {V_{otn}} = \sqrt {{V_0}^2 + {V_t}^2} \]$. Пусть $L$ - длина пути лодки относительно воды(гипотенуза), тогда $\[L = \int\limits_o^t {V(t){\text{ }}dt} \]$, а $\[l = \sqrt {{L^2} - {H^2}} \]$. Ну, а конечную скорость найдем так: $\[{V_k} = V(t)\]$

-- 27.11.2017, 18:32 --

Все правильно?

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1269666 писал(а):

Все правильно?

Не всё.
Предлагаю решать вопросы по мере их поступления.
1. Первый вопрос задачи.
а) Как указывалось выше, ответ на него не требует знания "модели трения". Поэтому гипотенузу Вы, конечно можете вычислить, но из других соображений. И для ответа на первый вопрос это не нужно.
б) Вам надо найти смещение лодки относительно берегов, поэтому когда Вы нашли смещение лодки относительно воды, надо не забыть вернуться обратно в СО берегов и пересчитать смещение в ней.

-- 27.11.2017, 19:43 --

2. По второму вопросу задачи.
а) Подход в целом верный, но нам опять не надо знать гипотенузу, потому что время уже дано.
б) отдельно отметим, что в вопросе требуется указать конечную скорость лодки относительно воды, поэтому обратно в СО берегов тут переходить не нужно.

-- 27.11.2017, 19:49 --

fred1996 в сообщении #1269273 писал(а):

Хорошая качественная задачка.

Да, задачка в первой части качественная на принцип\преобразование Галилея.
Вторая часть была бы интереснее, если бы $k$ объявили неизвестным коэффициентом.

[ludwig51]

Rusit8800 в сообщении #1269666 писал(а):

Хорошо, мы знаем, что начальная скорость лодки относительно воды равна $\[{V_{otn}} = \sqrt {{V_0}^2 + {V_t}^2} \]$. Эта скорость будет убывать так

$$\[m\frac{{dV}}{{dt}} = - kV\]$$

Начальная скорость лодки относительно воды равна $V_0$ и направлена вертикально относительно воды, по условию задачи.
Горизонтальная скорость лодки относительно воды равна нулю.
Составте дифференциальное уравнение движения лодки по вертикали (по оси y) по второму закону Ньютона.
Учтите вашу формулу $F=-kV_{otn}$
В системе воды $V_{otn}=\dot{y}$
Учтите начальные условия.
$y(0)=0, \dot{y}(0)=V_0$
Для нахождения времени переправы $t_1$ и решения второй части задачи.
Учтите конечные условия:
$y(t_1)=H$

[EUgeneUS]

ludwig51 в сообщении #1269707 писал(а):

Начальная скорость лодки относительно воды равна $V_0$ и направлена вертикально относительно воды, по условию задачи.

Начальная скорость лодки направлена вертикально относительно берега.

[StaticZero]

ludwig51 в сообщении #1269707 писал(а):

Начальная скорость лодки относительно воды равна $V_0$ и направлена вертикально относительно воды

Неправда.

ludwig51 в сообщении #1269707 писал(а):

Горизонтальная скорость лодки относительно воды равна нулю.

Неправда.

[ludwig51]

EUgeneUS в сообщении #1269713 писал(а):

Начальная скорость лодки направлена вертикально относительно берега.

Да.

Начальноя скорость лодки относительно воды по горизонтали $\dot{x}(0)=-V_t$
Начальноя скорость лодки относительно воды по вертикали $\dot{y}(0)=V_0$

Тогда при решении дифференциальных уравнений по горизонтали и вертикали получается ответ, приведённый в начале темы.
И из решения этих дифференциальных уравнения можно найти время переправы и вектор скорости лодки в конце переправы относительно воды и относительно берега.

[EUgeneUS]

ludwig51 в сообщении #1269843 писал(а):

Тогда при решении дифференциальных уравнений по горизонтали и вертикали получается ответ, приведённый в начале темы.

Отдельно замечу, что для получения ответа на первую часть задачи никакие диффуры решать не надо. Там тривиальная геометрия (раз мы уже знаем, что траектория лодки в СО воды - прямая, так надо нарисовать её на чертеже, и все станет совершенно прозрачно).

[ludwig51]

EUgeneUS в сообщении #1269848 писал(а):

Отдельно замечу, что для получения ответа на первую часть задачи никакие диффуры решать не надо. Там тривиальная геометрия (раз мы уже знаем, что траектория лодки в СО воды - прямая, так надо нарисовать её на чертеже, и все станет совершенно прозрачно).

Да, согласен.
Траектория лодки в СО воды - прямая. Так как торможение в воде по x и y - одинаковое.
Дальше геометрия и принцип Галилея. И то, что дано время переправы.

Поэтому в принципе TC - прав.
В первой части не было необходимости вводить формулу $F=-kV_{otn}$

А вообще при решении диф. ур. всё прозрачнее и понятнее. И время переправы в условии задачи не требуется. Его надо найти. И из дуф. ур. хорошо видно условие при котором лодка сможет добраться до друго берега при заданной $V_0$.
$V_0>\frac{kH}{m}$

[EUgeneUS]

ludwig51 в сообщении #1269922 писал(а):

И время переправы в условии задачи не требуется. Его надо найти.

Время переправы и $k$ связаны. ИМХО, веселее, когда время известно, а $k$ - неизвестный коэффициент, то есть в ответ войти не должен.