школьная геометрия *

[Kornelij]

В $\triangle ABC$ проведены высота $BD$, биссектриса $BK$ и медиана $BM$ так, что $\angle DBK=\angle MBK$. Как доказать, что $\angle ABC=90^{\circ}$? Уже второй день не могу ничего придумать Выржать стороны через углы - не вариант, т.к. это тригонометрия, которой еще не было по программе. Я понимаю, что равные углы опираются на равные дуги/хордны, но не понятно, как этим пользоваться в этой задаче. Знаю, например, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника, биссектриса противоположного угла и описанная окружность проходят через одну точку, но что это дает?..

[Karan]

Выразить углы $\angle DBK$ и $\angle MBK$ через элементы треугольника муторно, но не смертельно. Приведите свои попытки решения. И поправьте формулы - отдельные стороны и углы тоже нужно оформлять с помощью LaTeX.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

Kornelij
Это - красивая и известная задача....
Соедините середину $E$ отрезка $AB$ с точками $K$ и $M$, и посмотрите, а что это такое получилося?

(Оффтоп)

Полезные факты: свойство средней линии; середина гипотенузы, и как она делит тр-к; вписанный чет-к; вписанные, и накрест лежачие углы...

[grizzly]

Kornelij
А в условии не сказано, что $AB\ne BC?$

[Kornelij]

DeBill в сообщении #1269394 писал(а):

Kornelij
Это - красивая и известная задача....
Соедините середину $E$ отрезка $AB$ с точками $K$ и $M$, и посмотрите, а что это такое получилося?

(Оффтоп)

Полезные факты: свойство средней линии; середина гипотенузы, и как она делит тр-к; вписанный чет-к; вписанные, и накрест лежачие углы...

Интрига за интригой. $EM$ будет средней линией в $\triangle ABC$ и, следовательно, будет параллельна к $BC$ и равна ее половине. А вот что даст $EK$ - не понятно.

-- Пн ноя 27, 2017 00:55:10 --

grizzly в сообщении #1269404 писал(а):

Kornelij
А в условии не сказано, что $AB\ne BC?$

нет, не сказано

[grizzly]

Kornelij в сообщении #1269409 писал(а):

нет, не сказано

Тогда не обязательно прямоугольный треугольник. Или я что-то недопонял?

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1269409 писал(а):

А вот что даст $EK$ - не понятно.

Делит на два равнобедренных....
А еще -Вы пока не использовали "биссектриса"...

-- 27.11.2017, 02:22 --

grizzly
По-школьному: "угол" - эт настоящий угол, ненулевой....

[Kornelij]

DeBill в сообщении #1269415 писал(а):

Kornelij в сообщении #1269409 писал(а):

А вот что даст $EK$ - не понятно.

Делит на два равнобедренных....

В упор не вижу, на каких два ранобедренных она делит :( Может надо было соединять с основанием высоты, а не биссектрисы? Тогда бы, возможно, там и были равнобедренные, а так...

[grizzly]

DeBill в сообщении #1269415 писал(а):

grizzly
По-школьному: "угол" - эт настоящий угол, ненулевой....

Забыл, сорри.

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1269418 писал(а):

Может надо было соединять с основанием высоты, а не биссектрисы? Тогда бы, возможно, там и были равнобедренные, а так...

Ай, простите, именно так, да.

[Kornelij]

DeBill в сообщении #1269423 писал(а):

Kornelij в сообщении #1269418 писал(а):

Может надо было соединять с основанием высоты, а не биссектрисы? Тогда бы, возможно, там и были равнобедренные, а так...

Ай, простите, именно так, да.

Тогда понятно, какие два равнобедренных, но не понятно, что это дает и как это все связать с биссектриссой... Хотя... если еще продлить $BM$ и рассмотреть описанную окружность.... то где-то там... Или как-то проще?

[DeBill]

Kornelij
Ну, я, типа, хотел сказать, что углы $EDB,EBD,CBM,BME$ равны. И тогда точки $E,D,M,B$ - на окружности ($BE$ из $D,M$ виден под одним углом).
Так что угол $MEB$ равен $MDB$...

-- 27.11.2017, 04:23 --

Kornelij в сообщении #1269457 писал(а):

Первые три угла понятно, а почему им равен угол $BME$?

Так средняя линия же - параллельна она....
Где есть решение - не скажу, но пару-тройку раз с ней встречался. Решал сам - и - да, тоже помучился.

[Kornelij]

Кажется, что-то получается... Скажите, если это какая-то известная задача, то где-то есть подробное решение? Я к тому, что, может, есть что-то проще?
И да, спасибо, за помощь, а то я уже начал тихонько сходить с ума.