Уравнение Пуассона в цилиндре

[amon]

StaticZero в сообщении #1268216 писал(а):

Кого по ним раскладываем?

Рано раскладывать. Надо сначала удовлетворить граничным условиям, иначе это не собственные функции, а фигня на постном масле. Пошёл искать решение для точечного заряда.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1268216 писал(а):

Кого по ним раскладываем?

Когда будет найдена правильная система собственных функций (нумеруемых ПАРОЙ индексов), раскладываем по этим функциям и решение, и неоднородность. Т.к. функции собственные, то оператор превратится просто в числовой множитель (в каждом слагаемом) и все дальше решается довольно элементарно.

Хотя здесь, по уму, надо бы еще доказать полноту такой системы функций. Ну да ладно...

[StaticZero]

Alex-Yu в сообщении #1268217 писал(а):

Экспоненты переделать в синусы (и, кстати, вранье убрать: потерянные корни)

Поправил два сообщения.

Получаем $Z(0) = B = 0$, $Z(L) = A \sin (\sqrt \mu L) = 0$, откуда $\sqrt \mu_n L = \pi n$, $\mu_n = \dfrac{\pi^2 n^2}{L^2}$.

Пишем $R(r) = C J_0(\sqrt{\lambda - \mu} r)$. На стенке $r = r_0$ и должно быть $\sqrt{\lambda - \mu} r_0 = x_m$, $x_m$ — корень нулевого бесселя. Отсюда получаем $\lambda_{nm} = \mu_n + \dfrac{x^2_m}{r^2_0} = \dfrac{\pi^2 n^2}{L^2} + \dfrac{x^2_m}{r^2_0}$.

Так?

[amon]

Смайт. Электростатика и электродинамика. Параграф 30к, стр. 184. Боюсь, что ответ для точечного заряда отобьёт желание...

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1268221 писал(а):

Так?

На вскидку похоже на правду. Только индекс у $\mu$ потерян. А лямбда (и функция) будет с двумя индексами.

-- Чт ноя 23, 2017 05:25:58 --

amon в сообщении #1268222 писал(а):

Смайт.

Подглядывать в книжки занятие вредное Ну разве что когда ответ полностью будет готов сравнить (и, возможно, выяснить, что в книжке наврано).

[StaticZero]

Исправил.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1268222 писал(а):

Боюсь, что ответ для точечного заряда отобьёт желание...

Ну ряд, ну даже двойной, ну и что в наше компьютерное время... Запросто.

-- Чт ноя 23, 2017 05:30:01 --

StaticZero в сообщении #1268224 писал(а):

Исправил.

Теперь докажите ортогональность этой системы функций (с помощью интегрирования по частям) и найдите способ определения коэффициентов ряда по этим функциям.

Кстати, писать два коэффициента $A$ и $C$ нет никакого смысла: всегда будет только их произведение. Оставить один только $A$ (а можно и его выкинуть, но тогда нельзя устроить нормировку, что, впрочем, и не обязательно). У функций тоже индексы должны быть.

В общем подумайте, позанимайтесь, а мне пора, выключаюсь.

[StaticZero]

Alex-Yu в сообщении #1268225 писал(а):

Теперь докажите ортогональность этой системы функций

В смысле, система функций по двум индексам? Типа $J_{nm} J_{kl} = C \cdot\delta_{nmkl}$?

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1268227 писал(а):

Типа $J_{nm} J_{kl} = C \cdot\delta_{nmkl}$?

Это что еще за $J$?????? Функции это $\psi_{nm}=R_{nm}(r)Z_{n}(z)$. И скалярное произведение функций -- это интеграл (здесь двойной).

$\delta_{nmkl}$ это тоже нечто не вразумительное. Должны совпадать оба индекса так что произведение двух символов Кронекера. Тщательнее, тщательнее, не спешите...

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1268225 писал(а):

Ну ряд, ну даже двойной

Если от этого совсем просто станет, то для заряда на оси - одинарный ;)

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1268229 писал(а):

Если от этого совсем просто станет, то для заряда на оси - одинарный ;)

Не-а. Двойной. А если не на оси, то был бы тройной (еще ряд Фурье по углу).

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1268230 писал(а):

А если не на оси, то был бы тройной

Если Вы обратили внимание, то там есть буковки $\varphi_0,\;b$ и $c$. Это, соответственно, угол, радиус и $z$ - координата заряда. Для заряда на оси пропадет ряд по $s$ и буковки обратятся в нули.
StaticZero
Что бы Вы меньше мучались:

$$\int\limits_{0}^{R}\rho\;d\rho\;J_n(x_k\rho)J_n(x_m\rho)=\frac{1}{2}\delta_{mk}R^2J^2_{n+1}(k_mR)$$

Где $J_m(x_kR)=0$

[StaticZero]

amon в сообщении #1268232 писал(а):

Что бы Вы меньше мучались:

Интеграл Ломмеля? Только прочёл про них, но не понял сначала, почему интегрируем $\int \rho \ \mathrm d \rho \ldots$, а не $\int \mathrm d \rho \ldots$, сейчас дошло.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1268232 писал(а):

Если Вы обратили внимание, то там есть буковки

Там -- это где? Здесь мы обсуждали только аксиально симметричный вариант. В любом случае для конечного (!) цилиндра одинарного ряда не получится. Или двойной (аксиальная симметрия) или тройной (нет такой симметрии).

-- Чт ноя 23, 2017 15:09:31 --

StaticZero в сообщении #1268237 писал(а):

сейчас дошло.

Ответ-то в виде ряда по собственным функциям лапласиана получился?

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1268229 писал(а):

то для заряда на оси - одинарный

Кстати, мне, вроде, таки пришел в голову другой способ решения, когда получится одинарный ряд (для заряда на оси). Но пусть ТС сначала добьет решение методом разложения по собственным функциям. В этом методе ряд двойной (или тройной в более общем случае).