2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:23 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
StaticZero в сообщении #1268194 писал(а):
А как-нибудь вообще получится с таким разложением?..



Я отредактировал пост, перечитайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1268194 писал(а):
А как-нибудь вообще получится с таким разложением?
Дело темноватое. У Вас не выполнены граничные условия на стенках цилиндра, зато выполнены на "крышках". Обычно делают наоборот (меняют знаки констант разделения). Тогда по $z$ будет убывающая экспонента, а по $\rho$ - обычный бессель.

Если стенку цилиндра совместить с нулём бесселя, то условие на стенке выполнится, а условие на крышках можно выполнить методом изображений (решаем задачу для бесконечного цилиндра и отражаем диполь в плоскостях крышек). Получится некий жутковатый ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:34 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
amon в сообщении #1268198 писал(а):
Тогда по $z$ будет убывающая экспонента,



Две экспоненты: растущая и убывающая. А не получится ли построить полную систему собственных функций лапласиана? С полным выполнением граничных условий? Что-то не соображу... Если получится, то, может, не париться, а разложить ВСЕ (и неоднородность тоже) по этим функциям и дело с концом!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex-Yu в сообщении #1268203 писал(а):
Две экспоненты: растущая и убывающая.
Растущую надо выкинуть - при радиусе стремящемся к бесконечности должно получаться поле диполя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
amon в сообщении #1268198 писал(а):
У Вас не выполнены граничные условия на стенках цилиндра, зато выполнены на "крышках".

Судя по тому противоречию, которое я получил, выполнить условия на стенках в принципе не получится? Такое ощущение создаётся, что я выбрал такое разложение, которое заведомо не может удовлетворить им, но как это понять, я не знаю. Нам что-то вроде "готовых рецептов" показали и одно шаблонное решение, в правильности которого у меня теперь сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:41 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
amon в сообщении #1268204 писал(а):
при радиусе стремящемся к бесконечности должно получаться поле диполя.



Какой радиус? Экспоненты по z. Да и потом в конечной же области по z. Никакого диполя, очень много диполей (если по методу отражений).

А вообще задачу надо решать для точечного заряда (чтобы попроще), диполь из такого решения делается запросто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex-Yu в сообщении #1268206 писал(а):
Какой радиус? Экспоненты по z.
Решение будет иметь вид некоторого ряда по корням нулевых бесселей, коэффициенты которого зависят от радиуса цилиндра. В пределе радиус и высота цилиндра к бесконечности ряд должен давать потенциал диполя. Для точечного заряда решение я где-то видел, но не помню где.
StaticZero в сообщении #1268205 писал(а):
Судя по тому противоречию, которое я получил, выполнить условия на стенках в принципе не получится?
Может и получится, но надо собирать ряд из модифицированных бесселей и ставить условие на стенках. Можно ли через это пробиться - бог весть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:49 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
StaticZero в сообщении #1268205 писал(а):
Судя по тому противоречию, которое я получил, выполнить условия на стенках в принципе не получится?



Как-нибудь, может и получится. Только как... Попробуйте искать не сразу решение, а собственные функции ОДНОРОДНОГО уравнения. А потом устройте разложение по этим собственным функциям (и неоднородности в т.ч.). Вроде (?) для собственных функций удовлетворить граничные условия будет можно. Там же появится, своего рода, дополнительная степень свободы (не в буквальном смысле!): собственное число. Есть надежда, что "двигая" собственное число, модифицированный бессель можно превратить в обычный, "круглый". А обратить в ноль круглый бессель --- делать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Alex-Yu в сообщении #1268208 писал(а):
собственные функции ОДНОРОДНОГО уравнения

Ну, делим переменные $\varphi = R(r) Z(z)$ и получаем
$$
\dfrac{R'' + 1/r R'}{R} + \dfrac{Z''}{Z} + \lambda = 0.
$$

Два уравнения
$$
Z'' + \mu Z = 0,
$$
$$
R'' + 1/r R' + (-\mu + \lambda)R = 0.
$$

Тут получаются обычные бесселя и экспоненты. Это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero в сообщении #1268210 писал(а):
Это правильно?
Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:02 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
StaticZero в сообщении #1268210 писал(а):
обычные бесселя и экспоненты.


Надо обычные бессели и СИНУСЫ (чтобы удовлетворить все гранусловия). Что, вроде, вполне делается при подходящих лямбдах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex-Yu в сообщении #1268213 писал(а):
Надо обычные бессели и СИНУСЫ (чтобы удовлетворить все гранусловия).
Не получится. Принцип максимума не даст так сделать (вне заряда у нас лаплас).
StaticZero
Не, не угу. $\lambda$ откуда взялась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:05 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
amon в сообщении #1268214 писал(а):
$\lambda$ откуда взялась?



Это собственное число. Мы НЕ РЕШАЕМ пока уравнение, мы ищем собственные функции оператора. Потом по ним разлагать будем (все, включая неоднородность).

Уравнение на собственные функции --- это "хорошее" уравнение Гельмгольца, а не "плохое" уравнение Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Решение первого уравнения $Z(z) = A \sin (\sqrt \mu z) + B \cos(- \sqrt \mu z)$, решение второго будет, наверное, $R(r) = C J_0 (\sqrt{\lambda - \mu} r) + D N_0 (\sqrt{\lambda - \mu} r)$.

Кого по ним раскладываем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пуассона в цилиндре
Сообщение23.11.2017, 01:14 
Заслуженный участник


21/08/10
2402
StaticZero в сообщении #1268216 писал(а):
Решение первого уравнения $Z(z) = A \exp(\mu z) + B \exp(-\mu z)$, решение второго будет, наверное, $R(r) = C J_0 ((\lambda + \mu) r) + D N_0 ((\lambda + \mu) r)$.



Не, так не пойдет. Экспоненты переделать в синусы (и, кстати, вранье убрать: потерянные корни). Потребовать выполнения гранусловий при $z=0,L$, отсюда определяются допустимые $\mu$. Потом для КАЖДОГО допустимого $\mu$ найти множество (!) допустимых $\lambda$ (убрав аналогичное вранье из бесселей), из условия, что на боковой поверхности цилиндра должен быть ноль (т.е. бессель зануляется). Функцию Неймана выкинуть (сингулярная она).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 123 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group