Уравнение Пуассона в цилиндре

[StaticZero]

Цилиндрическая задача имеет азимутальную симметрию. Значит, $\varphi = \varphi(r, z)$. Разложением $\varphi = \sum \limits_{k=1}^\infty \varphi_k(r) \sin \dfrac{\pi k z}{c}$ она свелась к решению уравнения типа Бесселя

$$ \varphi''_k(r) + \dfrac{1}{r} \varphi'_k(r) - \dfrac{\pi^2 k^2}{c^2} \varphi_k(r) + f(r) = 0. $$

Решением является сумма общего решения ОДУ и частного решения, которое ищем методом вариации. Общее решение есть комбинация

$$ \varphi_k^\text{общ} (r) = A I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + B K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right). $$

Частное решение есть комбинация

$$ \varphi_k^\text{частн} (r) = P(r) I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + Q(r) K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right), $$

где $I_0$, $K_0$ — функции Инфельда и Макдональда нулевого порядка соответственно. В методе вариации можно определить функции $P(r)$, $Q(r)$ с точностью до константы. В эти константы включим константы $A$ и $B$:

$$ \varphi_k = P(r) I_0\left( \dfrac{\pi k r}{c} \right) + Q(r) K_0 \left( \dfrac{\pi k r}{c} \right). $$

Касательно радиального направления есть одно граничное условие на стенке цилиндра при $r = R$, что потенциал там нуль. Остаётся ещё одна константа, которую надо определить. Можно потребовать, чтобы при $r = 0$ потенциал был конечен, тогда вопрос решён (наверное?).

Нужно ли при этом ещё требовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю?

[amon]

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):

Цилиндрическая задача имеет азимутальную симметрию.

Какая задача? Может, если задачу сформулировать, то и вопросы отпадут.

[StaticZero]

amon в сообщении #1267650 писал(а):

Какая задача? Может, если задачу сформулировать, то и вопросы отпадут.

Не счёл нужным сводить всё к рассмотрению конкретной задачи. Вопрос общего вида: если цилиндр ограниченный и дано условие только на стенках, каково второе?

(Оффтоп)

Задача про точечный диполь в заземлённом проводящем цилиндре.

[Vince Diesel]

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):

Можно потребовать, чтобы при $r = 0$ потенциал был конечен

Если зарядов в нуле нет, тогда конечен. А если в нуле заряд, то, возможно, асимптотика одной из спецфункций (или ее производной, раз диполь) в нуле и даст вторую констранту.

[amon]

StaticZero в сообщении #1267684 писал(а):

и дано условие только на стенках, каково второе?

Уже ответили, но повторюсь: вблизи диполя - поле диполя. Граничные условия ведь зависят от задачи, которую Вы решаете.

[StaticZero]

Хорошо.

В заземлённый круговой цилиндр радиуса $r_0$ и высотой $L$ такой, что его основания лежат в плоскостях $z = 0$ и $z = L$, поместили точечный диполь с дипольным моментом $\mathbf d = d\mathbf e_z$ в точку $z_0$ внутри цилиндра. Определить потенциал внутри цилиндра.

Насколько я помню, если характерное удаление $\ell$ от диполя много больше его плеча, то потенциал на оси диполя будет $\sim d/\ell^2$. То есть сингулярность получится разве что в точке, где находится сам диполь, а во всех других точках оси он конечен.

[amon]

Если взять задачу попроще (точечный заряд в конечном цилиндре), то получится функция Грина цилиндрической полости. (Я ее где-то видел, и она мне не понравилась.) Ваш ответ, видимо, можно сконструировать из двух таких функций.

StaticZero в сообщении #1267713 писал(а):

То есть сингулярность получится разве что в точке, где находится сам диполь, а во всех других точках оси он конечен.

Угу.

[StaticZero]

amon в сообщении #1267736 писал(а):

Угу.

Тогда коэффициент при функции Макдональда должен как-то хитро обнуляться при $r = 0$ за исключением точки, где $z = z_0$. Ладно, пойду перерешаю.

[amon]

StaticZero в сообщении #1267739 писал(а):

Тогда коэффициент при функции Макдональда должен как-то хитро обнуляться при $r = 0$ за исключением точки, где $z = z_0$.

Мне смутно вспоминается, что для точечного заряда на оси цилиндра будет некая сумма по корням нулевой функции Бесселя $J_0,$ но могу и соврать.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1267684 писал(а):

Задача про точечный диполь в заземлённом проводящем цилиндре.

Представляем искомое поле как сумму известного поля диполя в свободном пространстве (пусть это будет $\phi_0$) и искомого дополнительного поля (пусть это $\phi_1$). Для $\phi_1$ получаем однородную граничную задачу (на границе $\phi_1=-\phi_0$, чтобы ноль в сумме получался). Поле $\phi_1$ должно быть регулярно, так что ф-цию Макдональда откинуть (занулить коэффициент при ней). И, конечно, все поля зависят не только от угла и радиуса, но еще и от $z$. По $z$ надо сделать обычное преобразование Фурье.

-- Ср ноя 22, 2017 16:41:00 --

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):

частного решения, которое ищем методом вариации.

А не надо его искать, проще как я рассказал (чтобы было все очевидно со второй константой). Так, как Вы начали делать, в принципе можно. Исправив, конечно, ошибку по поводу $z$. Но очень уж занудно (искать асимтотическое выражение вблизи диполя и добиваться того, чтобы это было правильное поле вблизи диполя... нудно).

-- Ср ноя 22, 2017 16:59:03 --

StaticZero в сообщении #1267637 писал(а):

Нужно ли при этом ещё требовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю?

Нет, конечно. С какой радости? За пределами цилиндра поле вообще не ищется (и так ясно, что там ноль). Точнее, надо потребовать, чтобы был ноль в бесконечности по $z$ (но это автоматически подразумевается при преобразовании Фурье). А по $r$ никакого нуля на бесконечности не будет, бесконечность просто вне области задачи.

[StaticZero]

Alex-Yu в сообщении #1267891 писал(а):

Исправив, конечно, ошибку по поводу $z$.

А где она?

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1268072 писал(а):

А где она?

Пардон, невнимательно посмотрел: увидев ряд Фурье, машинально решил, что он по полярному углу (и это было бы правильно для случая отсутствия аксиальной симметрии). Но все равно ошибка: по $z$ интеграл, а не ряд Фурье. Для бесконечного цилиндра, естественно. Если цилиндр конечный, то будет все сложнее.

[StaticZero]

Alex-Yu в сообщении #1268074 писал(а):

Если цилиндр конечный, то будет все сложнее.

Так конечный же:

StaticZero в сообщении #1267713 писал(а):

его основания лежат в плоскостях $z = 0$ и $z = L$,

-- 22.11.2017, 23:24 --

Я пока не понимаю, где вы видите ошибку. Разложение в ряд Фурье по $z$ чётко удовлетворяет граничным условиям для $z$. Если этого не хватает, то я тогда совсем не понимаю каких-то вещей...

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1268176 писал(а):

Так конченый же:

Если конечный, то правильно. Но тогда так, как я писал, не получится. Впрочем, в таком случае в качестве $\phi_0$ можно взять поле диполя между двумя бесконечными проводящими плоскостями с нулевым потенциалом (делается методом отражений, но бесконечная сумма при этом). Или можно попробовать устроить разложение и решения, и неоднородности по собственным функциям лапласиана.

[StaticZero]

Alex-Yu в сообщении #1268191 писал(а):

Но тогда так, как я писал, не получится.

А как-нибудь вообще получится с таким разложением?..

(Опечатку поправил, прошу прощения)