Движение по окружности

[tohaf]

$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}= \omega \vec{e_\varphi} $$

(Оффтоп)

Это здорово) Но я, пока, по-прежнему не осознаю смысл $\vec{e_\varphi}$ и $\vec{e_r}$, но продолжаю вам верить.

[Metford]

А теперь посмотрим, чего мы добились. Мы рассматривали материальную точку, двигающуюся по окружности с постоянной (пока что) угловой скоростью. Её радиус-вектор (который вращается между прочим) нужно продифференцировать, чтобы получить скорость:

$$\vec{v}=\frac{d}{dt}(R\vec{e_r})=R\frac{d\vec{e_r}}{dt}=\omega R\vec{e_{\varphi}}.$$

Вот получилось, что скорость направлена по касательной к окружности, модуль её нашли. А что изменилось бы, будь угловая скорость непостоянной? Просто зависимость $\varphi(t)$ не была бы $\omega t$ - и вместо множителя $\omega$ появилась бы производная $\frac{d\varphi}{dt}$. Всё равно скорость была направлена по касательной.

Попробуете провести анализ для ускорения сами? Рассмотрите движение по окружности со скоростью, которая может и не быть постоянной по модулю.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267156 писал(а):

Вот получилось, что скорость направлена по касательной к окружности, модуль её нашли. А что изменилось бы, будь угловая скорость непостоянной? Просто зависимость $\varphi(t)$ не была бы $\omega t$ - и вместо множителя $\omega$ появилась бы производная $\frac{d\varphi}{dt}$. Всё равно скорость была направлена по касательной.

И всё всего лишь из-за полярной системы координат и касательного вектора... Круто. Но, пока не до конца осознал....
А вообще, этот подход - это и есть дифференциальная геометрия? Вот эти два вектора?

Metford в сообщении #1267156 писал(а):

опробуете провести анализ для ускорения сами?

Завтра. Спасибо.

[Metford]

tohaf в сообщении #1267159 писал(а):

А вообще, этот подход - это и есть дифференциальная геометрия? Вот эти два вектора?

Я бы сказал, что это самое-самое начало дифференциальной геометрии. Строго говоря, мы сейчас говорим о движении в плоскости. В общем случае нужно рассматривать кривые в пространстве - там добавится третий вектор. Т.е. в каждой точке кривой можно будет построить тройку ортонормированных векторов - сопутствующую систему координат, базис которой образован единичными векторами касательной $\vec{\tau}$, нормали $\vec{n}$ и бинормали $\vec{\nu}$. При движении вдоль кривой этот базис поворачивается в пространстве. Изменение базисных векторов описывают формулы Френе. На данный момент большего знать Вам не требуется. Будет желание - потом прочитаете сами.

tohaf в сообщении #1267159 писал(а):

И всё всего лишь из-за полярной системы координат и касательного вектора...

Не придавайте слишком большого значения системе координат. Вот, похоже, Вы оценили удобство этой системы координат - собственно потому-то она и выбрана, что в ней всё хорошо видно.

Ждём продолжения. Осталось уже немного.

[tohaf]

Вопросы:
1.

Цитата:

А теперь так же для $\vec{e_{\varphi}}$. А ещё, чтобы два раза не вставать, вычислите производную по времени от вектора $\vec{e_r}$, предполагая, что $\varphi=\omega t$, где $\omega$ - постоянная величина (угловая скорость в перспективе).

Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты. Проекция получилась точно такая же, как и в декартовых координатах - то есть, пришлось использовать единичные ортономированные ортогональные векторы $\vec{e_x}$ и $\vec{e_y}$ базиса.

$$\vec{e_r}=(\cos\varphi)\cdot\vec{e_x}+(\sin\varphi)\cdot\vec{e_y}$$

То есть пока я не вижу какого-то смысла в полярных координатах, кроме вашего рисунка (который от меня требовали).

Кажется догадываюсь... Потому что именно в полярных координатах достаточно удобно задать новые векторы $\vec{e_r}$ и $\vec{e_\varphi}$? Всего то угол нужен...
Но всё равно не очень...

2. Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?
3.

$$\frac{d\vec{e_r}} {dt}= \omega \vec{e_\varphi} $$

Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?

А почему же я тогда не мог того же самого сделать в $\vec{v} = \frac{ d \hat{r} }{dt} = r(-w\sin(wt)\hat{x}+w\cos(wt)\hat{y} ) $ ?
Ну, мол, захотелось мне скорость найти - нашёл угол от времени (подставил время, если угловая скорость равна константе или проинтегрировал, если есть угловое ускорение) и подставил в эту формулу).
Но мы же так не можем, мы же саму эту производную находили исходя из того, что $\omega$ - это константа!

[Metford]

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты.

Как и любая система координат, для удобства работы. Скажите, Вам удобно, например, считать объём шара в прямоугольных координатах? Не лучше в сферических будет всё-таки? А если точка движется по кривой, то удобнее работать в декартовых прямоугольных или криволинейных координатах?
Смотрите: есть такое понятие, как радиус кривизны траектории - это Вы знаете. Грубо можно сказать так, что кривую можно рассматривать как набор малых дуг окружностей разных радиусов. Понятно, что тут уточнения нужны насчёт гладкости кривой и т.д. - вот за этим как раз в дифференциальную геометрию. Нас это сейчас не волнует: здесь у нас все кривые - дамы, приятные во всех отношениях. Так вот, если на каждом малом промежутке времени можно считать, что точка движется по дуге окружности, то разумно начать именно с рассмотрения движения точки просто по окружности. При движении по окружности радиус-вектор точки просто вращается - необязательно с постоянной угловой скоростью, но вращается. Окружность - это координатная линия полярной системы координат, поэтому с такими координатами и удобно работать.

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

2. Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?

Вы пытаетесь перехитрить себя. Как бы не удалось... Вам же вчера Lia ответила на этот вопрос.
Со своей стороны замечу, что с физической точки зрения писать время под знаком косинуса - это плохо. Косинус размерной величины, однако!

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?

$$\frac{d}{dt}(\cos\varphi\cdot\vec{e_x}+\sin\varphi\cdot\vec{e_y})=(-\sin\varphi\cdot\vec{e_x}+\cos\varphi\cdot\vec{e_y})\cdot \frac{d\varphi}{dt}$$

Это называется дифференцирование сложной функции. Если $\varphi(t)=\omega t$ - вращение с постоянной угловой скоростью - то $\frac{d\varphi}{dt}=\omega$ - то, что Вы получили "с каменным лицом".

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

Я пока по-прежнему не понимаю, зачем здесь нужны полярные координаты.

Чтобы стало очевидным: скорость всегда направлена по касательной (пропорциональна $\vec{e_{\varphi}}$), даже если $\omega$ зависит от времени.

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

Интересно получается, дифференциировать $\cos(\varphi)$, если, например, $\varphi(t)=t $ - мы не можем. Или можем, но это очень сложно, верно?

Можем. И это просто. И именно это нужно было честно проделать, вычисляя скорость для случая зависящей от времени $\omega$.

tohaf в сообщении #1267255 писал(а):

Получается, что для того, чтобы обойти трудность в вопросе 2, мы предполагаем, что угловая скорость постоянна, с каменным лицом дифференциируем и видим, что производная $\vec{e_r}$ равна всего лишь произведению другого вектора и $\omega$ (причём, тут-то омега была равна константе), а значит, можно с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$ ?

Ничего подобного. п.2 не представляет трудностей. Проводим прямые вычисления и видим... см. мой коммент выше: "скорость всегда направлена по касательной (пропорциональна $\vec{e_{\varphi}}$), даже если $\omega$ зависит от времени". А вот "с каменным лицом заменить эту константу на $\omega(t)$" нельзя -- нужно ещё на производную $\frac{d}{dt}\omega(t)$ домножить.

[arseniiv]

Раз тут начался дифгем, почему бы не попробовать написать всё вообще бескоординатно? Пусть у нас есть некоторая плоскость (как линейное пространство), и пусть оператор поворота в этой плоскости на угол $\varphi$ обозначается $R(\varphi)$. Пусть у нас есть какой-то единичный вектор $\mathbf u$, задающий направление полярной оси. Тогда радиус-вектор точки, движущейся по окружности радиуса $a$ с зависимостью угла от времени $\varphi(t)$ — это $a\,R(\varphi(t))\mathbf u$. Для дальнейших манипуляций нам нужно знать о $R$ из более-менее неочевидного только $\frac d{dt}(R(t)) = R(\pi/2)R(t)$. Получим скорость точки:

$$\mathbf v(t) = \frac d{dt}\mathbf r(t) = \frac d{dt}(a\,R(\varphi(t))\mathbf u) = a\frac d{dt}R(\varphi(t))\mathbf u,$$

так как $\frac d{dt}a = 0$ и $\frac d{dt}\mathbf u = \mathbf0$. Далее, $\frac d{dt}R(\varphi(t)) = \frac d{dt}\varphi(t)R(\pi/2)R(\varphi(t))$, так что

$$\mathbf v(t) = \omega(t)R(\pi/2)(a\,R(\varphi(t))\mathbf u) = \omega(t)R(\pi/2)\mathbf r(t).$$

И так далее. Например, зная, что $(R(\pi/2)\mathbf v,\mathbf v) = 0$ для любого вектора $\mathbf v$, можно сразу установить, что скорость ортогональна радиус-вектору. Зная, что $\lVert R(\ldots)\mathbf v\rVert = \lVert\mathbf v\rVert$ и что путь на промежутке $T$ по определению равен $\int_T \lVert\mathbf v(t)\rVert\,dt$, можно найти и его: $a\int_T \lvert\omega(t)\rvert\,dt$. Совершенно без привязки к каким угодно координатам.

Всё просто и прозрачно, по-моему.

[tohaf]

Metford в сообщении #1267266 писал(а):

Вы пытаетесь перехитрить себя.

Можно на минуту вернуться к тому стилю, что я видел у Киттеля стр.50? Я просто это пишу для того, чтобы было видно что я понимаю и как.

(Оффтоп)

Пусть, для простоты, мы рассматриваем единичный радиус вектор, то есть модуль его равен 1.
Просто для того, чтобы использовать только $\hat{r}$.
$\hat{x} , \hat{y}$ - единичные, базисные, ортонормированные, ортогональные векторы.

$$\vec{r}(t)=r(t)\hat{r}(t)=\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

Если $\omega = \operatorname{const}$ и взять производную, то получится:

$$\vec{v}=-\omega \sin{\omega t} \hat{x} + \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$

Уже видно, что вектор этот, если подставить время - будет направлен по касательной.
Например, если угловая скорость $\frac{\pi}{2}$.

$$\vec{v}(t)=-\omega \sin{\omega t} \hat{x}+ \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$

$$\vec{v}(0)=-\omega \sin{\omega 0} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 0} \hat{y}= +\frac{\pi}{2} \hat{y} $$

$$\vec{v}(1)=-\omega \sin{\omega 1} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 1} \hat{y}= - \frac{\pi}{2} \hat{x}$$

Далее, производная сложной функции:

$$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $$

Пусть $\omega (t) = t $.

$$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$$

$$\varphi = \int\limits_{}^{}\omega dt = \frac{t^2}{2}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi} = \hat{x}\cos{\frac{t^2}{2}}+\hat{y}\sin{\frac{t^2}{2}}$$

Это ведь правильно? Если у меня такая зависимость угла от времени, то и радиус вектор будет так же зависеть от времени...
Дальше производная.

$$\vec{v}(t) = \hat{x} \frac{d}{dt}[ \cos{\frac{t^2}{2}} ]+\hat{y} \frac{d}{dt}[ \sin{\frac{t^2}{2}} ] = - (\frac{t^2}{2})' \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x}+ (\frac{t^2}{2})' \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} = - t \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x} + t \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} $$

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Это ведь правильно?

Да как бы не очень.

[Metford]

arseniiv в сообщении #1267322 писал(а):

почему бы не попробовать написать всё вообще бескоординатно?

arseniiv, Вы хотите всё похоронить?

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Пусть $\omega (t) = t $.

А вот это зачем? И если уж так делать, то с умом: $\omega=\alpha t$. Размерности-то согласовывать нужно, нет?
Всё равно непонятно, зачем Вы так пишете...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1267408 писал(а):

Вы хотите всё похоронить?

Честно, не знаю.

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Это ведь правильно?

Прошу прощения, что не пояснил сразу, почему нет. Буду немножко занудным.

(Оффтоп)

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Пусть, для простоты, мы рассматриваем единичный радиус вектор, то есть модуль его равен 1.
Просто для того, чтобы использовать только $\hat{r}$.
$\hat{x} , \hat{y}$ - единичные, базисные, ортонормированные, ортогональные векторы.

Слово "ортонормированные" тут лишнее.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

$$\vec{r}(t)=r(t)\hat{r}(t)=\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

C размерностями и с обозначениями путаница. Какая величина, $r(t)$ или $\hat{r}(t)$ имеет размерность длины? Из последнего равенства получается, что $\hat{r}(t)$. Но согласитесь, странно обозначать безразмерную величину той же буквой $r$ (хотя подозреваю, Вы не задумывались о том, что $r$ и $\hat{r}$ не могут обе иметь размерность длины).

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Если $\omega = \operatorname{const}$ и взять производную, то получится:

$$\vec{v}=-\omega \sin{\omega t} \hat{x} + \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$

Уже видно, что вектор этот, если подставить время - будет направлен по касательной.

Куда нужно подставлять время? Оно уже явно входит в формулу. Кроме того, совсем не очевидно, что вектор этот направлен по касательной (к чему и в какой точке? - это тоже не видно из формулы для вектора скорости).В полярных же координатах это и вправду очевидно - он направлен вдоль $\vec{e}_{\varphi}$. Совсем малый штрих: вектора $ \hat{x}$ и $\hat{y}$ не входят в аргументы тригонометрических функций. Чтобы это показать, при записи следует использовать скобки, но традиционно множители записывают перед символом функции и обходятся без скобок.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Например, если угловая скорость $\frac{\pi}{2}$.

$$\vec{v}(t)=-\omega \sin{\omega t} \hat{x}+ \omega \cos{\omega t} \hat{y}$$

$$\vec{v}(0)=-\omega \sin{\omega 0} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 0} \hat{y}= +\frac{\pi}{2} \hat{y} $$

$$\vec{v}(1)=-\omega \sin{\omega 1} \hat{x}+ \omega \cos{\omega 1} \hat{y}= - \frac{\pi}{2} \hat{x}$$

А вот это действительно очевидно (вектор $\vec{v}$ вращается и, повернувшись на $\frac{\pi}{2}$, будет направлен вдоль ортогональной оси) и как бы ни о чём.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Далее, производная сложной функции:

$$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $$

Оператор производной забыли. Кроме того производная сложной функции:

$$ \frac{d}{dt}f(g(t)) = f'(g(t))\,g'(t),$$

А далее какие-то гадания на частных случаях. Это уж не говоря о забытых размерных коэффициентах. С размерностями у Вас везде беда, начиная от постановки задачи: коэффициенты $A$ и $B$ не могут быть безразмерными числами. И про угловую скорость не раз уже отмечали - она не может равняться времени. Это физика, а не чистая математика.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Пусть $\omega (t) = t $.

$$\omega = \frac{d \varphi}{dt}$$

$$\varphi = \int\limits_{}^{}\omega dt = \frac{t^2}{2}$$

Забыли постоянную интегрирования - начальную фазу.

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi}$$

$$\hat{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi}+\hat{y}\sin{\varphi} = \hat{x}\cos{\frac{t^2}{2}}+\hat{y}\sin{\frac{t^2}{2}}$$

Это ведь правильно? Если у меня такая зависимость угла от времени, то и радиус вектор будет так же зависеть от времени...
Дальше производная.

$$\vec{v}(t) = \hat{x} \frac{d}{dt}[ \cos{\frac{t^2}{2}} ]+\hat{y} \frac{d}{dt}[ \sin{\frac{t^2}{2}} ] = - (\frac{t^2}{2})' \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x}+ (\frac{t^2}{2})' \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} = - t \sin{\frac{t^2}{2}} \hat{x} + t \cos{\frac{t^2}{2}} \hat{y} $$

Если идти в обратную сторону, то логичнее. Единичный вектор

$$\vec{r}(t)=\hat{x}\cos{\varphi (t)}+\hat{y}\sin{\varphi (t)}$$

$$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d \varphi}{dt}(-\hat{x}\sin{\varphi (t)}+\hat{y}\cos{\varphi (t)}) = \omega (-\hat{x}\sin{\varphi (t)}+\hat{y}\cos{\varphi (t)})$$

и подставляем явную зависимость $\varphi (t)$.

[ludwig51]

tohaf в сообщении #1267335 писал(а):

Далее, производная сложной функции:
$\cos{\omega t} = - \omega \sin(\omega t) $

Производная у вас взята правильно, даже если угловая скорость зависит от времени.
$\cos[\omega(t) t] = - \omega(t) \sin[\omega(t) t] $
А насчёт интегралов, вы не учли моё замечание.

Если же вы используете неопределённые интегралы, то надо вводить постоянную интегрирования.
Она определяется из начальных условий.

[Someone]

ludwig51 в сообщении #1267982 писал(а):

Производная у вас взята правильно, даже если угловая скорость зависит от времени.
$\cos[\omega(t) t] = - \omega(t) \sin[\omega(t) t] $

???
Если имеется в виду производная, то

$$\frac d{dt}\cos(\omega(t)t)=-\sin(\omega(t)t)\cdot\left(t\frac d{dt}\omega(t)+\omega(t)\right),$$

причём, $\omega(t)$ здесь вовсе не является угловой скоростью. Угловая скорость в данном случае — это $t\frac d{dt}\omega(t)+\omega(t)$.