Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
Понимаете, пока не ДОКАЗАНЫ свойства этих Ваших диких производных, преобразования их использующие, нелегальны.
скажу еще крепче.
У обычной производной есть тьма свойств, используемых при преобразованиях,
Все это доказано, и, соответственно, есть уверенность, что преобразования, использующие эти свойства вранья не привнесут.
Приходит Александр Козачок и говорит: а даавайте еще вот такую финтифлюху, которую я просто так запишу, а определять не буду, тоже назовем производной и будем использовать при преобразованиях. Ее один умный дядя 50 лет назад один раз записал, и у него хорошо получилось. А поскольку мы ее производной назвали, то пусть и свойствами обычной производной обладает, так , мол , сильно хочется. И , таким образом, эта новая производная тоже может использоваться в преобразованиях, наравне со старой и мы ей верить должны..
С КАКОГО ПЕРЕПУГА???
Конечно же, верить должны, но сначала должны осознать, что на практике сами же ее успешно применяете, даже не подозревая об этом и не ощущая НИКАКОГО ПЕРЕПУГА! . А теперь о всем по порядку:
1. Эту
финтифлюху один умный дядя, т.е. Л.И. Седов, не просто записал, а корректно получил из знаменитой формулы дифференцирования интеграла по подвижному объему (стр. 123). А знаменитой сия формула для интеграла может считаться по полному праву, поскольку Вы ее найдете не только в учебниках МСС или в древнем учебнике В.И. Смирнова «Курс высшей математики», т. 2, 1958, стр. 347, но даже в университетском учебнике для физ-мат. факультетов «Кратные интегралы и ряды», 1967, стр. 261 (авторы Б.М. Будак и С.В. Фомин).
2. Что касается самой
финтифлюхи, то с ней еще интереснее. Вот посмотрите эти элементарные преобразования. Забудем пока, что
![\[
\delta V
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64aa8e03328c8accd3e2a4a23477888c82.png "\[
\delta V
\]")
бесконечно малая величина, выполним дифференцирование дроби и сразу же получим уже известный Вам результат, раскрывающий физический смысл дивергенции скорости:
![\[
\operatorname{div} \dot \vec u + \delta V\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{1}
{{\delta V}}} \right) = 0\]\[
\Rightarrow \operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/3/143cbaedb4fce1b0baac9024fce6ed2982.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u + \delta V\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{1}
{{\delta V}}} \right) = 0\]\[
\Rightarrow \operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}
\]")
. (1)
3. Выполним в этой
финтифлюхе замену
![\[
\delta V = \frac{{\delta m}}
{\rho }
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/0/6c00c66346cab0ca45da5ab5a95e2f8482.png "\[
\delta V = \frac{{\delta m}}
{\rho }
\]")
, принимая во внимание, что элементарная масса
![\[
\delta m = \operatorname{Const}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/9/3699e13df3f265a472d90ee1e8c6393182.png "\[
\delta m = \operatorname{Const}
\]")
. И сразу получаем уже необычайно знаменитое уравнение неразрывности
![\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/8/f386ccb02932d64a86c00510bc13a6a582.png "\[
\frac{1}
{\rho }\frac{{d\rho }}
{{dt}} + \operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]")
. (2)
4. Именно из последней формулы (1) мы ведь вывели и соотношение (12,а) в статье
![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u,
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/5/3053effd4c2b6c018145b373f65743ff82.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u,
\]")
(12,а)
и показали, что переход от (11) к (12,а) возможен, но только при использовании пока не приемлемых Вами формул (6,б).
5. А теперь давайте поразмыслим. Бесконечно малая величина, в нашем случае
, - это ведь не ноль (ничто в прямом смысле), а все-таки величина, хотя и как угодно малая по сравнению с другой величиной. Но по сравнению с какой-то иной величиной элементарный объем
может оказаться и конечной, и даже бесконечно большой величиной. Вспомните аналогию с бесконечно малыми различных порядков. Таким образом,
![\[
1/\delta V
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/5/f858e739e2a4af7b078c1d18dd2911e082.png "\[
1/\delta V
\]")
- это не бесконечность в прямом смысле, а как угодно большая по сравнению с чем-то величина, которая тоже при сравнении может оказаться и конечной, и бесконечно малой. Поэтому напрашивается вывод, что выражение
можно дифференцировать так же, как и обычную дробь.
6. Такой вывод следует из применяемой на практике общепризнанной процедуры. Дифференцируем мы ведь дробь
![\[
{1 \mathord{\left/
{\vphantom {1 x}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} x}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/f/1df713cae8420a48409c7ff3793959f082.png "\[
{1 \mathord{\left/
{\vphantom {1 x}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} x}
\]")
при условии, что
![\[
x
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/3/533d3ab8c1260d85a6ed3caa276a19a582.png "\[
x
\]")
принимает, например, значения от +1 до -1 , т.е. в окрестности нуля может быть бесконечно малой величиной, а производная дроби в этой же окрестности будет по модулю бесконечно большой (хотя мы об этом важном свойстве в учебниках обычно умалчиваем и акцентируем внимание только на разрыве производной при
=0). В нашем же случае действительно имеется полная аналогия, не требующая дополнительного доказательства, поскольку значения положительной величины
не равны бесконечности в прямом смысле, а находятся лишь в ее окрестности.
Как видите, производные,
кажущиеся дикими, на самом деле Вами и Вашими студентами, вероятно, без всяких сомнений вычислялись при дифференцировании подобных разрывных функций, а вот такая, теперь уже очевидная, аналогия почему-то упрямо ускользала из поля зрения, не поддаваясь осмыслению. Так что теперь Вам и Вашим коллегам - математикам, видимо, стоит
акцентировать внимание на этой важной для научных приложений особенности дифференцирования таких разрывных функций и инициировать соответствующие дополнения в учебниках по математике. Но мне кажется, для исключения
ПЕРЕПУГА???, вероятно, следует говорить не б.м. или б.б., а как угодно малая или большая величины, акцентируя особое внимание на их отличиях от нуля и бесконечности и что их можно дифференцировать, интегрировать так же, как и конечные. И тогда с учетом таких разъяснений, которые не так подробно, но все-таки тоже, полагаясь на интуицию и здравый смысл, сделал и Л.И. Седов (стр. 123), появится
Цитата:
уверенность, что преобразования, использующие эти свойства вранья не привнесут,
а о
диких производных тоже можно будет говорить, как о совершено обычных.
Если с этими доводами Вы согласны, то я попытаюсь, если получится, подготовить
новую ПОЛНУЮ версию текста без
снижения уровня требований строгости.
С уважением, Александр Козачок
P.S. Как Вы думаете, почему все-таки молчат преемники Л.И. Седова: выпускники мехмата МГУ, а также преподаватели математики и другие участники обсуждения??? Ведь Ваша фраза о наличии
диких производных в учебнике, признанном классическим
http://www.msu.ru/jubilee/books.html , казалось бы, не должна оставить их равнодушными. Хотелось бы знать, что они думают по этому поводу. Будем надеяться, что среди 13-ти тысяч просмотревших эту тему преемники Л.И. Седова есть, а боязнь ошибиться не станет для них поводом отказаться публично изложить свою позицию. Тем более, если на самом деле эти
дикие производные уже давно по инициативе Л.И. Седова получили право гражданства в МГУ, а мы, неосведомленные, упрямо ломимся в открытую дверь и пытаемся непрофессионально доказать давно и более изящно доказанное профессионалами?
![\[
\frac{d}
{{dt}}(\frac{1}
{{\delta V}}) + \frac{1}
{{\delta V}}\operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/9/9f95d36e727bc90c160297ba563a6f6282.png "\[
\frac{d}
{{dt}}(\frac{1}
{{\delta V}}) + \frac{1}
{{\delta V}}\operatorname{div} \dot \vec u = 0
\]")
.
ни малейшим образом от бм/бб не зависит.
![\[
\frac{{d(v \cdot \delta r)}}
{{dt}} = \frac{{dv}}
{{dt}} \cdot \delta r + v \cdot \frac{{d\delta r}}
{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/7/97775e5c5caf927ece975f44d934719682.png "\[
\frac{{d(v \cdot \delta r)}}
{{dt}} = \frac{{dv}}
{{dt}} \cdot \delta r + v \cdot \frac{{d\delta r}}
{{dt}}
\]")
,![\[
\frac{{d\delta r}}
{{dt}} = \delta v
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/1/b51105783f9e879931e896ce8bb35cce82.png "\[
\frac{{d\delta r}}
{{dt}} = \delta v
\]")
.![\[
\ddot r = \frac{{d^2 r}}
{{dt^2 }} \Rightarrow \ddot rdt = \frac{{d^2 r}}
{{dt}} = \frac{{d(dr)}}
{{dt}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/d/c2d345b903a834137c8bf55a14175f1482.png "\[
\ddot r = \frac{{d^2 r}}
{{dt^2 }} \Rightarrow \ddot rdt = \frac{{d^2 r}}
{{dt}} = \frac{{d(dr)}}
{{dt}}
\]")
.![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/6/596eb093800ef1fc201bc715f38b2f6482.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}
\]")
![\[
z
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/3/4a39c246cc5b484e62fdf8a8f9bfe80582.png "\[
z
\]")
принимает близкие к нулю, т.е. именно б.м значения?
в математике это НЕ бесконечно малая. Производная, верьте мне или нет, это НЕ отношение бесконечно малых. 
в объемном интеграле это НЕ бесконечно малый объем. Векторы нельзя делить друг на друга. Формула
ошибочна. На столько же, на сколько ошибочна формула 
. В классической математике НЕТ (фиксированных) чисел 
и ЧТО они называют бесконечно малыми. Вы же по-прежнену не в состоянии внятно объяснить, что такое бесконечно малый объем.
![\[
\Delta x \to 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f27717a198048d9074aa592d16304bc282.png "\[
\Delta x \to 0
\]")
, то дифференциал ![\[
dy
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/3/cc3af7f36aa5fe27677cf2b787647ade82.png "\[
dy
\]")
также будет бесконечно малой (стр.213)…остановимся на самой независимой переменной : ее дифференциалом называют именно приращение ![\[
\Delta x
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/a/35a3fbe1ff6dc621a133118b3f48443782.png "\[
\Delta x
\]")
(стр.214)» (Фихтенгольц Г.М. Курс ДИИ, 1969, т.1)??? ![\[
t
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f54127cc9bd1ba6923e74f16a25bdbce82.png "\[
t
\]")
здесь -независимая переменная, то поясните, в чем Вы видите ошибку? Эмоции следует подкреплять аргументами! Тем более, что преобразование- проще не может быть!