Движение по окружности

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1265726 писал(а):

$$\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(wt)} + \hat{y}\sin{(wt)} $$

$\hat{x},\,\hat{y}$ у Вас обозначают единичные векторы вдоль соответствующих осей?

tohaf в сообщении #1265726 писал(а):

Не понимаю:
Как найти отсюда функцию пути $s(t)$ ? Как-то интегрировать?

Да, интегрировать вдоль параметрически заданной кривой. В случае окружности удобно перейти к полярным координатам, тогда интегрирование существенно упрощается.

tohaf в сообщении #1265726 писал(а):

Как найти $s(t)$, если угловая скорость не равна константе, например, $w(t) = 2w $ ?

Да точно также - интегрировать по времени. Только, как уже отметили выше, $2w$ - это константа.

tohaf в сообщении #1265726 писал(а):

Можно, конечно, сказать: производная пути - это линейная скорость.
Нормальное ускорение - это квадрат линейной скорости на радиус.
Тангенциальное ускорение - производная линейной скорости.
Полное - сумма векторов тангенциального и нормального...
Но так как-то не очень непонятно.

Так оно и есть. И что плохого в том, что "не очень непонятно"? Разве цель всё запутать?

[tohaf]

Walker_XXI в сообщении #1265773 писал(а):

$\hat{x},\,\hat{y}$ у Вас обозначают единичные векторы вдоль соответствующих осей?

да

Walker_XXI в сообщении #1265773 писал(а):

Только, как уже отметили выше, $2w$ - это константа.

опечатка, правильно: $ w(t) = t $.

-- 16.11.2017, 14:43 --

Это правильно?

Например $w(t) = \pi t $.

$$ w(t) = \frac{d\varphi}{dt} $$

Чтобы найти угол, на который повернулась точка - нужно интегрировать.

$$ \varphi(t) = \int\limits_{}^{}w(t)dt = \int\limits_{}^{} \pi tdt = \pi \frac{t^2}{2}$$

$$ s(t) = \varphi r = \pi \frac{t^2}{2} r$$

То есть, при $w(t)=\pi t$, за 1 секунду точка повернётся на угол в $\frac{\pi}{2}$ радиан, а длина пути будет равна $ \frac{\pi}{2} r$

[ludwig51]

tohaf в сообщении #1265775 писал(а):

Например $\omega (t) = \pi t $.

$$ s(t) = \pi \frac{t^2}{2} r$$

правильно.
А если угловая скорость изменяется по закону:

$$\omega (t)=\frac{0,8t+0,1}{r}$$

где $r$ - радиус окружности.
Найдите $s(t)$

[tohaf]

ludwig51 в сообщении #1265786 писал(а):

А если угловая скорость изменяется по закону:

$$\omega (t)=\frac{0,8t+0,1}{r}$$

где $r$ - радиус окружности.

$r$ - модуль вектора и является константой? Тогда так?

$$s(t) =r \int\limits_{}^{}\frac{0,8t+0,1}{r}dt = \int\limits_{}^{}(0,8t+0,1)dt = \int\limits_{}^{}0,8tdt+ \int\limits_{}^{} 0,1dt = 0,8\frac{t^2}{2} + 0,1t$$

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1265797 писал(а):

$$s(t) =r \int\limits_{}^{}\frac{0,8t+0,1}{r}dt = \int\limits_{}^{}(0,8t+0,1)dt = \int\limits_{}^{}0,8tdt+ \int\limits_{}^{} 0,1dt = 0,8\frac{t^2}{2} + 0,1t$$

И это правильно. Получили Вашу исходную задачу :)

[tohaf]

Хм
А зачем тогда вот это всё?

$$\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(wt)} + \hat{y}\sin{(wt)} $$

Так выглядит значение единичного вектора направления, в зависимости от времени и с постоянной угловой скоростью.


Как будет выглядеть этот вектор, если $w(t)=t$, например?

$$\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(w(t) t)} + \hat{y}\sin{(w(t) t)} $$

То есть, понятно, что угловая частота будет зависеть от времени...
Но я просто не понимаю, к чему тогда все эти трудности с радиус вектором. Только для того, чтобы получить формулу линейной скорости?

[arseniiv]

tohaf в сообщении #1265908 писал(а):

Но я просто не понимаю, к чему тогда все эти трудности с радиус вектором.

Ну, кстати (и да простят мне вторжение без какого-то другого существенного вклада), это ещё далеко не трудности.

[Walker_XXI]

tohaf в сообщении #1265908 писал(а):

А зачем тогда вот это всё?

Не знаю. Это ж Вы написали (или переписали откуда-то). Для решения Вашей конкретной задачи, как я уже писал, полярные координаты удобнее.

tohaf в сообщении #1265908 писал(а):

Как будет выглядеть этот вектор, если $w(t)=t$, например?

$$\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(w(t) t)} + \hat{y}\sin{(w(t) t)} $$

То есть, понятно, что угловая частота будет зависеть от времени...

Если $w(t)=\xi t$ (когда решаем физическую задачу, нужно следить за размерностями; размерность частоты -- обратное время, поэтому перед $t$ должна быть размерная константа (угловое ускорение), пусть даже и равная численно 1), то $\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(\xi t^2)} + \hat{y}\sin{(\xi t^2)} $. Что Вас удержало от подстановки?

tohaf в сообщении #1265908 писал(а):

Но я просто не понимаю, к чему тогда все эти трудности с радиус вектором. Только для того, чтобы получить формулу линейной скорости?

Линейной -- не знаю, а вот полные скорость и ускорение получим запросто:

$$\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t)$$

$$\vec{a}(t) = \ddot{\vec{r}}(t)$$

.

[ludwig51]

tohaf в сообщении #1265797 писал(а):

$r$ - модуль вектора и является константой? Тогда так?

$$s(t) =r \int\limits_{}^{}\frac{0,8t+0,1}{r}dt = \int\limits_{}^{}(0,8t+0,1)dt = \int\limits_{}^{}0,8tdt+ \int\limits_{}^{} 0,1dt = 0,8\frac{t^2}{2} + 0,1t$$

Да, $r=\operatorname{const}$
А интегралы в данном случае надо записывать как определённые от 0 до t.

[tohaf]

Walker_XXI в сообщении #1265977 писал(а):

Если $w(t)=\xi t$ (когда решаем физическую задачу, нужно следить за размерностями; размерность частоты -- обратное время, поэтому перед $t$ должна быть размерная константа (угловое ускорение), пусть даже и равная численно 1), то $\hat{r}(t) = \hat{x}\cos{(\xi t^2)} + \hat{y}\sin{(\xi t^2)} $. Что Вас удержало от подстановки?

Был лист текста, нафик.
Я не понимаю объяснение тангенциальной скорости в стиле "если точка движется с ускорением, то можно увидеть, что производная радиус-вектора, то есть вектор скорости, будет неперпендикулярным к касательной в этой точке, тогда вектор скорости можно представить в виде двух составляющих - нормальная и тангенциальная, тоже самое будет касаться и вектора ускорения". Я не понимаю, как составить $s(t)$.

Всё далее правильно?

Радиус $r = \operatorname{const}$
$\hat{x},\hat{y}$ -единичные перпендикулярные векторы базиса.
Угловое ускорение, то есть скорость с которой меняется угол $E(t) = \frac{dw}{dt}$.
$\vec{r}(t)=r\hat{r}(t)$

$$E(t) = \frac{dw}{dt}$$

$$w(t)= \int\limits_{}^{}E(t)dt$$

$$ w(t)= \frac{d\varphi}{dt}$$

$$ \varphi(t) = \int\limits_{}^{}w(t)dt$$

Если, например, $E(t)=1$:

$$w(t)=\int\limits_{}^{}E(t)dt = t$$

$$ \varphi(t) = \int\limits_{}^{}w(t)dt = \int\limits_{}^{}tdt = \frac{t^2}{2} $$

Длина дуги равна пути и равна произведению угла на радиус.

$$ {S_\hat{r}} = \varphi $$

$$ {S_\vec{r}} = r\varphi $$

Так $=r \varphi(t)$ в физике можно так писать?

$$ S(t) = r \varphi(t) = r \frac{t^2}{2}$$

Ну, или можно найти путь за произвольный момент времени:

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}r\frac{t^2}{2}$$

Ну и зная $\varphi(t)$ я могу построить радиус вектор в любой момент времени. Так же, я могу построить векторы скорости и ускорения.
Так $ \cos{(\varphi(t))}$ вообще можно писать или нет? Но, понятно, что я имею ввиду?

$$\vec{r}(t) = r(\cos{\varphi} \hat{x}+ \sin{\varphi}\hat{y})=r (\cos{(\varphi(t))} \hat{x}+\sin{(\varphi(t))} \hat{y} )$$

$$\vec{v} = \frac{ d \hat{r} }{dt} = r(-w\sin(wt)\hat{x}+w\cos(wt)\hat{y} ) $$

$$\vec{a} = \frac{ d \vec{v} }{dt}= r( -w^2\cos(wt)\hat{x}-w^2\sin(wt)\hat{y} ) $$

Если всё правильно, то дальше переходить к тангенциальному и нормальному ускорению...

[Metford]

tohaf в сообщении #1266229 писал(а):

производная радиус-вектора, то есть вектор скорости, будет неперпендикулярным к касательной в этой точке, тогда вектор скорости можно представить в виде двух составляющих - нормальная и тангенциальная

Что-с?
Фраза какая-то страшная, но скажите мне кто-нибудь: мне пытаются продать, что вектор скорости в точке не принадлежит касательной к траектории в этой точке? Или я чего-то не понял в этой жизни?

[arseniiv]

tohaf в сообщении #1266229 писал(а):

Я не понимаю, как составить $s(t)$.

А общее определение пути-то вы знаете? Тогда его надо просто применить в конкретном случае и всё. Если же нет, не очень понятно, что можно посоветовать — ну, может, попытаться его переоткрыть, но стоит ли, когда можно прочитать. Если его к данному моменту не сообщали, то должно было быть какое-то менее общее для случая движения именно по окружности, и тогда опять проблем не должно было бы быть.

[ludwig51]

tohaf в сообщении #1266229 писал(а):

вектор скорости, будет неперпендикулярным к касательной в этой точке

При движении по окружности вектор скорости всегда перпендикулярен радиус вектору и направлен по касательной к траектории. Радиальная скорость при таком движении равна нулю, так как модуль радиус вектора не изменяется.

[arseniiv]

ludwig51 в сообщении #1266427 писал(а):

При движении по окружности вектор скорости всегда <…> направлен по касательной к траектории.

Так скорость ведь вообще всегда касательна траектории (или не определена вместе с касательной), и по этому поводу Metford выше уже возмущался. А то ведь можно подумать, что в каком-то случае она не касательна.

А радиальную ТС точно рассматривал?

[ludwig51]

arseniiv в сообщении #1266431 писал(а):

Так скорость ведь вообще всегда касательна траектории

Да, вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, но не всегда перпендикулярен радиусу вектору.

arseniiv в сообщении #1266431 писал(а):

А радиальную ТС точно рассматривал?

А радиальную скорость ТС назвал нормальной.