Произвольные координаты в ОТО

[Erleker]

svv
Но, вообще, тут есть существенный момент:
Принцип эквивалентности, в применимости к просто частицам без спина, говорит нам о том, что можно сделать в каких-то координатах:
$\Gamma^{i}_{kl}u^ku^l=0$, что, в виду произвольности $u^i$ на самом деле соответствует:
не $\Gamma^{i}_{kl}=0$, а $\Gamma^{i}_{kl}+\Gamma^{i}_{lk}=0$, поскольку $u^ku^l$- симметрично.
То есть факт выбора ЛИСО не требует $T^{i}_{kl}=0$.
Однако, если мы рассматриваем частицу со спином (требуем для них принцип эквивалентности), который ведет себя: $DS^{i}/ds=0$, то тут уже, в силу несимметричности $u^kS^l$, у нас уже будет однозначно $\Gamma^{i}_{kl}=0$ и, поэтому, $T^{i}_{kl}=0$.
И тогда (вместе с $Dg_{ik}=0$) имеем связность Леви-Чивиты.

[misha.physics]

svv,

Цитата:

обращается в нуль и комбинация $T^i_{k\ell}=\Gamma^i_{k\ell}-\Gamma^i_{\ell k}$

Как я понял, это эсли рассматривать символы Кристоффеля в общем случае, а не в том, в котором они даются формулой $\Gamma^{\sigma}_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\nu\sigma}\left\lbrace{\frac{dg_{\mu\nu}}{dx^{\lambda}}+\frac{dg_{\lambda\nu}}{dx^{\mu}}-\frac{dg_{\mu\lambda}}{dx^{\nu}}}\right\rbrace$. Ведь в этом случае кристоффели симетричны по нижним индексам и тензор кручения не имеет для них смысла (признаюсь, о тензоре кручения, я ещё ничего не читал, впервые услышал о нем в этой теме). Т.е. принцип эквивалентности, математически означает, что физическое пространство-время, это многообразие с нулевым тензором кручения в каждой точке. Надеюсь я правильно понял.

Erleker, я пока вообще не представляю, как связанны принцип эквивалентности (похоже это уже не тот принцип эквивалентности который я знаю, а что-то более общее) и спин. Сколько же интересного мне предстоит узнать...
А эта тема про спин, это случайно уже не из области квантовой гравитации и чего-то такого?

-- 05 ноя 2017, 22:49 --

svv,

Цитата:

Как разрешится это противоречие?

Разрешим его так: получили противоречие, следовательно предположение о том, что тензор $\textsf{T}$ в некоторой точке $P$ ненулевой -- ложное. А так, как мы можем выбрать любую точку $P$, то это будет справедливо для любой точки. Значит тензор кручения в каждой точке нулевой. Потому что это удовлетворяет принципу эквивалентности.

-- 05 ноя 2017, 23:17 --

Эсли предположить, что из принципа эквивалентности следует равенству нулю тензора кручения, а из этого следует общеизвестный вид для символов Кристоффеля $\Gamma^{\sigma}_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\nu\sigma}\left\lbrace{\frac{dg_{\mu\nu}}{dx^{\lambda}}+\frac{dg_{\lambda\nu}}{dx^{\mu}}-\frac{dg_{\mu\lambda}}{dx^{\nu}}}\right\rbrace$, то присутствие принципа эквивалентности прослеживается.

[svv]

Erleker в сообщении #1262585 писал(а):

Принцип эквивалентности, в применимости к просто частицам без спина, говорит нам о том, что можно сделать в каких-то координатах:
$\Gamma^{i}_{kl}u^ku^l=0$, что, в виду произвольности $u^i$ на самом деле соответствует:
не $\Gamma^{i}_{kl}=0$, а $\Gamma^{i}_{kl}+\Gamma^{i}_{lk}=0$, поскольку $u^ku^l$- симметрично.

Верно. Но «гаммы» могут входить не только в уравнение геодезических.

Можно поставить вопрос: допустим, имеется ненулевой тензор кручения. Возможно, кручение обусловлено спином (Эйнштейн-Картан), а возможно, внутренне присуще пространству-времени. Можно ли его обнаружить экспериментально (хотя бы в принципе), и если да, то как?
Понятно, что ответ зависит от принимаемой модели взаимодействия кручения с остальными полями. В частности, можно постулировать, что оно вообще никак ни с чем не взаимодействует. Но тогда, фактически, есть два кручения: ненаблюдаемое ненулевое и наблюдаемое нулевое.

Может сложиться впечатление, что для наблюдения эффектов кручения (уже по какой-то причине существующего) необходимы частицы со спином. Но у нас есть и «классическое поле со спином» — электромагнитное. Естественно предположить, что если кручение вращает спин, оно будет вращать плоскость поляризации (поляризованной) электромагнитной волны. При этом кручение будет входить в модифицированные уравнения Максвелла, которые при нулевом кручении переходят в обычные. Возможны и другие «классические» (неквантовые) эффекты.

-- Вс ноя 05, 2017 23:48:45 --

misha.physics в сообщении #1262605 писал(а):

Разрешим его так: получили противоречие, следовательно предположение о том, что тензор $\textsf{T}$ в некоторой точке $P$ ненулевой -- ложное. А так, как мы можем выбрать любую точку $P$, то это будет справедливо для любой точки. Значит тензор кручения в каждой точке нулевой. Потому что это удовлетворяет принципу эквивалентности.

Да.

-- Вс ноя 05, 2017 23:58:35 --

misha.physics в сообщении #1262605 писал(а):

Как я понял, это эсли рассматривать символы Кристоффеля в общем случае, а не в том, в котором они даются формулой $\Gamma^{\sigma}_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\nu\sigma}\left\lbrace{\frac{dg_{\mu\nu}}{dx^{\lambda}}+\frac{dg_{\lambda\nu}}{dx^{\mu}}-\frac{dg_{\mu\lambda}}{dx^{\nu}}}\right\rbrace$. Ведь в этом случае кристоффели симетричны по нижним индексам и тензор кручения не имеет для них смысла (признаюсь, о тензоре кручения, я ещё ничего не читал, впервые услышал о нем в этой теме). Т.е. принцип эквивалентности, математически означает, что физическое пространство-время, это многообразие с нулевым тензором кручения в каждой точке.

Вы можете спросить, почему вдруг мы стали уделять внимание этому кручению. Просто в теории всегда хочется продвинуться как можно дальше, используя минимум основных принципов. И, обратите внимание, мы здесь дошли до формулы (3.3.1) Вайнберга, не используя предположение о симметричности $\Gamma$. Стало быть, все эти рассуждения и формула (3.3.1) справедливы и в несимметричном случае. Лишь позже симметричность понадобится.

[misha.physics]

Т. е. мы описываем грав. поле в каждой точке, посредством исключения этого грав. поля в каждой точке путем преобразований координат. Из-за этих преобразований координат мы получаем кривую геометрию пространства-времени, но зато она уже включает в себя информацию о грав. поле. Собственно только о грав. поле кривое пространство-время информацию и включает. То, как мы исключаем грав. поле (по сути функции $\xi^\alpha(x^\mu)$), дает нам информацию о том, какое у нас грав поле. (Значит информацию о грав. поле в каждой точке содержали функции $\xi^\alpha(x^\mu)$, заданные в каждой точке $x^\nu$. От этих функций зависит метрика и связность нашего кривого пространства-времени. Но мы не будем использовать эти функции. Мы будем искать $g_{\mu\nu}$ как-то через распределение вещества в пространстве-времени).

-- 06 ноя 2017, 15:28 --

Т. к. понятно, что грав. поле как-то зависит от распределения вещества.

Я забегаю вперед, но стараюсь делать идейные наброски.

[misha.physics]

Снова здравствуйте.
Возник новый вопрос, относящийся к этой теме.

В конце параграфа о ковариантной производной, в Вайнберге, есть слова: "Следует написать соответствующее уравнение специальной теории относительности, справедливое в отсутствие гравитации, затем заменить $\eta_{\mu\nu}$ на $g_{\mu\nu}$, а все производные - на ковариантные производные. Полученное уравнение будет общековариантным, справедливым в отсутствие гравитации и, следовательно, согласно принципу общей ковариантности, оно будет справедливо и при наличии гравитационных полей при условии, что рассматриваемый пространственно-временной масштаб всегда достаточно мал по сравнению с масштабом гравитационого поля".

Что значит последнее замечание? Достаточно мал - это речь идет о бесконечно малой области пространства-времени где мы вводим локальные ИСО или о чем-то другом? Я думал, что когда мы запишем какое-то уравнение физики в общих координатах, и оно будет переходить в уравнение СТО при отсутствии гравитации и будет записано в общековариантном виде (как я понял, это значит что оно будет записано в "тензорном виде"), то оно будет справедливо в любой области пространства-времени с этими общими координатами. Ну по крайней мере, в той области, где эти координаты покрывают эту область. У нас просто связность и метрика будут функциями этих общих координат.

[misha.physics]

В конце параграфа о тензоре кривизны, также говорится о условии пренебрежимо малых размерах частицы сравнительно с масштабом гравитационного поля. Но здесь речь идет о вопросе "единственности" уравнения движения в гравитационном поле, получаемого с помощью принципа общей ковариантности. Значит то "пренебрежимо мало", о котором идет речь здесь и то, о чем я спрашивал выше (жирным шрифтом), это одно и то же условие?

[Erleker]

Ну, скорее всего, условие малости имелось ввиду для описания каких-то уравнений системы (которая должна быть, вообще, да, бесконечно малой, и "пренебрежимо малой" на "практике"). Если мы говорим о уравнениях какого-то поля, то соответствующим образом ,да, на всем пространстве модернизируем его уравнения действие. (тут могут быть нюансы: см. topic121066.html ).

-- 24 ноя 2017 12:46 --

misha.physics в сообщении #1268189 писал(а):

Значит то "пренебрежимо мало", о котором идет речь здесь и то, о чем я спрашивал выше (жирным шрифтом), это одно и то же условие?

Ну да, по-видимому.

[Geen]

misha.physics в сообщении #1268189 писал(а):

Значит то "пренебрежимо мало", о котором идет речь здесь и то, о чем я спрашивал выше (жирным шрифтом), это одно и то же условие?

Я думаю это о разном - в первом случае речь о том, что уравнения должны быть "дифференциальные", а во втором - сравнивается поведение двух уравнений при изменении "масштаба".

[misha.physics]

Erleker, Geen, спасибо.
Ладно, потом думаю станет понятнее.
Я сейчас это "пренебрежимо мало" понял как то, что если мы записываем уравнение для какой-то системы в грав. поле, то масштабы этой системы должны быть ''малы'' сравнительно с масштабами грав. поля в том смысле, чтобы эта система поместилась в ту малую область пространства-времени, где мы можем считать грав. поле постоянным. Чтобы система как-бы в целом (то есть все её части) была в одинакових "условиях" грав. поля. Бесконечно малая область нужна в теории, а на практике понятно, что нужно сравнивать масштабы системы и грав. поля. Т. к. для одних и тех же масштабов системы, но в грав. полях разных масштабов у нас в одном случае может выполнятся это "пренебрежимо мало", а в другом - уже нет.