Произвольные координаты в ОТО

[misha.physics]

Erleker в сообщении #1261950 писал(а):

misha.physics
Да. Только еще раз: символы Кристоффеля обнуляются и метрика делается галилеевой в точке не в одних каких-то конкретных координатах, таких координат бесконечно много.

А "общеизвестное" выражение для $\Gamma^i_{kl}$ через $g_{mn}$ получается только если выбрать одну "специальную" ЛИСО из бесконечного множества, в каждой точке, да?

Как я понял, пояснения Вейнебрга в параграфе 3 относятся к тому, что функции $\xi^i(x^{\mu})$ разные для каждой точки. А мы получили, например, выражение: $\frac{\partial g_{\mu \nu}}{dx^{\lambda}}=\Gamma^{\rho}_{\lambda \mu}g_{\rho \nu}+...$, в предположении, что функция $\xi^i(x^{\mu})$ одна и та же для любой точки ПВ. Значит, эти функции (а соответственно ЛИСО) можно выбрать так, что получим результат, который был бы эсли бы функция $\xi^i(x^{\mu})$ была только одна...

[svv]

Geen в сообщении #1262007 писал(а):

Однако, есть естественное желание, что бы геодезические были экстремальны с точки зрения метрики. И вот тут оказывается, что аффинная связность равна символам Кристоффеля (с точностью до тензора кручения).

Есть ещё одно естественное желание — чтобы параллельный перенос сохранял скалярное произведение векторов. Отсюда получается то же.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1261967 писал(а):

Я не очень понимаю что такое связность, но так назвали символы Кристоффеля в книге, пока думаю что это они и есть. Я думал, что если задана метрика то автоматически заданы и символы Кристоффеля

В принципе, тут уже много правильных слов сказали. Я просто сформулирую немного по-другому (так всегда приходится делать, когда опаздываешь куда-то, а добавить пять копеек хочется )

Метрика и связность изначально не обязаны как-то согласовываться. Метрика Вам разрешает что-то делать, "сидя" в одной точке многообразия (поверхности, если угодно). Связность позволяет понемногу перемещаться в другие точки многообразия, причём вполне определённым образом. Вот тут уже конкретизируется это самое перемещение. Параллельное перенесение векторов появляется в связи с этим: Вам же приходится при перенесении вектора уходить из исходной точки на многообразии.

Символы Кристоффеля изначально были введены не из этих соображений, насколько я понимаю (по-моему, как-то раз я уже Вам выписывал, откуда они берутся). Потом под них более серьёзную идеологию подвели. Связность и метрику разделили (скажем, есть римановы пространства, а есть пространства аффинной связности). Ввели коэффициенты связности как набор величин, фигурирующих в ковариантной производной и преобразующихся по определённому (не тензорному!) закону при переходе в другую систему координат. И оказалось, что при выполнении условий, названных Erleker - там главное - это обращение в нуль ковариантной производной метрического тензора - метрика и связность согласуются, т.е. выражения для коэффициентов связности получаются как раз такие же, как для "обычных" символов Кристоффеля.
Подробно это можно посмотреть у Новикова и Тайманова.

[Slav-27]

Я должен просить прощения за то, что в моём первом посте насажал сначала кучу ошибок. Опечатки и мелкие ошибки я, кажется, наконец исправил. Была и крупная ошибка -- про локально инерциальные координаты на сфере; про это я напишу позже. А пока я здесь напишу дополнительно про принцип эквивалентности (в том виде, в каком мы его используем), следуя Erleker -- так, видимо, лучше. Кое-что я просто повторю вслед за ним.

---------

Про физический смысл варианта принципа эквивалентности, который мы используем, я, кажется, написал нормально. Что же касается его математической формулировки, то лучше, действительно, не говорить об окрестностях, стягивающихся к точке. То, что там написано, означает просто, что для каждой точки $p$ пространства-времени существует система координат $\xi^\alpha$ в её окрестности, такая что если в $p$ находится какая-то свободно падающая частица, то для её траектории $\xi^\alpha(\tau)$ будет верно $\dfrac{d^2 \xi^\alpha}{d\tau^2}\Big|_p=0$, то есть в этих координатах у неё будет нулевое ускорение в этой самой точке $p$. То, что в окрестности этой точки $p$ ускорение будет приближённо нулевым, следует теперь просто из непрерывности ускорения, и незачем повторять это отдельно, как я делал раньше. Дальше (так же как и раньше) выводятся уравнения движения для произвольной системы координат $x^\mu$ -- сначала в одной точке, потом замечаем, что у нас всё локально, а точка была выбрана произвольно. Можно показать, что получающиеся при этом коэффициенты $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ не зависят от того, какие координаты $\xi^\alpha$ были выбраны, а зависят только от координат $x^\mu$ -- более того, не от них самих, а только от компонент метрического тензора в этих координатах.

Если говорить ещё более математически, то условие из предыдущего абзаца переписывается так: можно выбрать систему координат $\xi^\alpha$ в окрестности точки $p$ такую, что в этих координатах коэффициенты связности, ассоциированной с метрикой $g$ (то есть $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$), будут все равны нулю в точке $p$. Такая система координат называется (локально) инерциальной в точке $p$, или (локально) геодезической в точке $p$. Так как в общем случае ускорение свободной частицы в данной точке отличается от нуля только на некую линейную комбинацию коэффициентов связности, то возможность выбора такой системы координат означает возможность "исключения" гравитационного поля в точке $p$ -- то есть справедливость принципа эквивалентности. Таким образом, физический принцип эквивалентности (в том виде, в котором мы его используем) оказывается теоремой римановой геометрии. Это подтверждает адекватность применения псевдориманова многообразия в качестве модели физического пространства-времени.

Можно ещё в окрестности любой точки $p$ выбрать систему координат так, чтобы в этой точке метрический тензор принял лоренцев вид: $g_{\mu\nu}\big|_p=\eta_{\mu\nu}$. Такая система координат называется лоренцевой (или, у Ландау-Лифшица, галилеевой) в точке $p$. Но это ещё не означает, что коэффициенты связности обратятся в этой точке в нуль. (И наоборот, если в точке обращаются в нуль коэффициенты связности, это ещё не значит, что метрический тензор в этой точке имеет лоренцев вид.) Всегда можно, однако, добиться, чтобы и метрический тензор в точке принял лоренцев вид, и коэффициенты связности в этой точке обратились в нуль.

---------

misha.physics в сообщении #1262211 писал(а):

А "общеизвестное" выражение для $\Gamma^i_{kl}$ через $g_{mn}$ получается только если выбрать одну "специальную" ЛИСО из бесконечного множества, в каждой точке, да?

См. выше -- если фиксированы координаты $x^\mu$, то от выбора локально инерциальных координат $\xi^\alpha$ коэффициенты связности не зависят.

misha.physics в сообщении #1262211 писал(а):

функции $\xi^i(x^{\mu})$ разные для каждой точки.

Да.

misha.physics в сообщении #1262211 писал(а):

А мы получили, например, выражение: $\frac{\partial g_{\mu \nu}}{dx^{\lambda}}=\Gamma^{\rho}_{\lambda \mu}g_{\rho \nu}+...$, в предположении, что функция $\xi^i(x^{\mu})$ одна и та же для любой точки ПВ.

Нет, не надо такого предположения.

Что касается вопросов про однородность и статичность: а что вы, собственно, называете однородным гравитационным полем и что статичным? Это нетривиально, так как в ОТО есть определённые сложности с одновременностью и т. д. У термина "статичное гравитационное поле" есть некоторое общепринятое значение. А про "однородное" -- лично я не знаю.

misha.physics в сообщении #1261967 писал(а):

Я не очень понимаю что такое связность, но так назвали символы Кристоффеля в книге, пока думаю что это они и есть. Я думал, что если задана метрика то автоматически заданы и символы Кристоффеля, т.е. связность.

Надо либо читать математическое определение -- например у Хокинга-Эллиса, а можно и у Новикова-Тайманова -- либо думать, что связность -- это коэффициенты $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$, выражающиеся через компоненты метрики таким-то образом.

Вообще в математике связность и метрика могут быть независимы друг от друга. Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом (псевдо)римановом многообразии существует единственная связность без кручения, согласованная с метрикой (в том смысле что метрический тензор ковариантно постоянен). Математики называют её связность Леви-Чивиты. Это единственная связность, с которой приходится иметь дело в ОТО.

[svv]

misha.physics в сообщении #1261955 писал(а):

Мне постоянно не хватает какой-то полной картины (или её наброска)

Это очень грустно. Надеюсь, то, что написано ниже, будет ещё одним звеном, которое поможет Вам связать разрозненные вещи.

misha.physics в сообщении #1262211 писал(а):

А "общеизвестное" выражение для $\Gamma^i_{kl}$ через $g_{mn}$ получается только если выбрать одну "специальную" ЛИСО из бесконечного множества, в каждой точке, да?

Получение связи между $\Gamma^i_{kl}$ и $g_{mn}$ с помощью введения свободно падающей системы координат (одной из многих возможных) — это особенность вывода Вайнберга. Вот, для разнообразия, другой подход.

У нас в каждой точке есть метрический тензор $\textsf{G}$ — это просто функция, дающая для любых двух векторов $\mathbf a, \mathbf b$ число — их скалярное произведение:
$\textsf{G}(\mathbf a, \mathbf b)=\mathbf a\cdot\mathbf b$

Когда вводили ковариантную производную, требовали, чтобы она (как любая привычная производная) удовлетворяла правилу Лейбница. В частности,
$\nabla_\mathbf v(\textsf{G}(\mathbf a, \mathbf b))=(\nabla_\mathbf v\textsf{G})(\mathbf a, \mathbf b)+\textsf{G}(\nabla_\mathbf v\mathbf a, \mathbf b)+\textsf{G}(\mathbf a, \nabla_\mathbf v\mathbf b)$
Мы хотим, чтобы параллельный перенос сохранял скалярное произведение. Это значит, что если $\nabla_\mathbf v\mathbf a=0$ и $\nabla_\mathbf v\mathbf b=0$, то должно быть и $\nabla_\mathbf v(\textsf{G}(\mathbf a, \mathbf b))=0$. Тогда и оставшееся слагаемое тоже нулевое: $(\nabla_\mathbf v\textsf{G})(\mathbf a, \mathbf b)=0$. Так как значения $\mathbf a$ и $\mathbf b$ в точке могут быть произвольными, $\nabla_\mathbf v\textsf{G}=0$ (требование 2 от Erleker), и
$\nabla_\mathbf v(\textsf{G}(\mathbf a, \mathbf b))=\textsf{G}(\nabla_\mathbf v\mathbf a, \mathbf b)+\textsf{G}(\mathbf a, \nabla_\mathbf v\mathbf b)$

Подставим в качестве $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf v$ базисные координатные векторы:
$\nabla_k(\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_n))=\textsf{G}(\nabla_k\mathbf e_m, \mathbf e_n)+\textsf{G}(\mathbf e_m, \nabla_k\mathbf e_n)$,
где $\nabla_k$ — сокращённое обозначение для $\nabla_{\mathbf e_k}$.

Слева $\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_n)$ — скалярное поле, его ковариантная производная равна обычной производной по направлению.
Справа $\nabla_k\mathbf e_m$ (и $\nabla_k\mathbf e_n$) — это векторное поле, которое в каждой точке как-то раскладывается по векторам координатного базиса. По определению $\Gamma^i_{mk}$ — коэффициенты этого разложения: $\nabla_k\mathbf e_m=\Gamma^i_{mk}\mathbf e_i$. Зная их, мы с помощью формулы Лейбница можем находить ковариантную производную от любого векторного и даже тензорного поля.
С учётом этого имеем:
$\partial_k(\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_n))=\textsf{G}(\Gamma^i_{mk}\mathbf e_i, \mathbf e_n)+\textsf{G}(\mathbf e_m, \Gamma^i_{nk}\mathbf e_i)$.
Используем линейность тензора как функции:
$\partial_k(\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_n))=\Gamma^i_{mk}\textsf{G}(\mathbf e_i, \mathbf e_n)+\Gamma^i_{nk}\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_i)$

Компоненты $\textsf{G}$ — ковариантного тензора — равны его значению на базисных векторах:
$g_{mn}=\textsf{G}(\mathbf e_m, \mathbf e_n)$
Поэтому
$\partial_k g_{mn}=\Gamma^i_{mk}g_{in}+\Gamma^i_{nk}g_{mi}$
Получили формулу (3.3.1) из книги Вайнберга.

Это ещё не та связь, о которой Вы говорили (для её получения надо постулировать отсутствие кручения — требование 1 от Erleker), но уже близко.

[misha.physics]

Metford, спасибо. Наверное лучше всего мне будет понять независимое задание метрики и связности, рассматривая "одинаковые" 2-мерные поверхности (может мою любимую сферу, эсли она "подойдет" для этого) с одинаковой метрикой, но с разными заданными связностями. А потом понять чем из всех этих связностей выделяется та, которая "согласуется" с метрикой. Да, в книгах по физике я не ожидаю подобных объяснений, посколько там это не особо и нужно. Но я согласен с Slav-27, пока мне достаточно считать что связность это $\Gamma^i_{kl}$. Для дальнейшего пониманию ОТО, думаю это не станет проблемой. А потом можно будет вернуться к связности в математике.

Slav-27,

Цитата:

То, что в окрестности этой точки $p$ ускорение будет приближённо нулевым, следует теперь просто из непрерывности ускорения.

А ускорение будет непрерывним, потому что пространство-время непрерывно, да? Мне так более понятно.

Цитата:

Можно показать, что получающиеся при этом коэффициенты $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ не зависят от того, какие координаты $\xi^\alpha$ были выбраны, а зависят только от координат $x^\mu$

Вот это сильное утверждение. Это решает мой вопрос "как одним махом посчитать $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$".

Цитата:

Так как в общем случае ускорение свободной частицы в данной точке отличается от нуля только на некую линейную комбинацию коэффициентов связности, то возможность выбора такой системы координат означает возможность "исключения" гравитационного поля в точке $p$.

Это пока не понятно, но приму как факт. Думаю смысла сейчас углубляется нет.
"Такой системы" это такой, в которой эта линейная комбинация зануляется?

Цитата:

Можно ещё в окрестности любой точки $p$ выбрать систему координат так, чтобы в этой точке метрический тензор принял лоренцев вид: $g_{\mu\nu}\big|_p=\eta_{\mu\nu}$. Такая система координат называется лоренцевой.

Я считал, что мы как раз только такую систему координат и выбираем Мы ведь записывали интервал $d\tau^2=-\eta_{ab}d\xi^ad\xi^b$.

Цитата:

Но это ещё не означает, что коэффициенты связности обратятся в этой точке в нуль.

В смысле, в координатах $\xi ^i$?

Цитата:

Всегда можно, однако, добиться, чтобы и метрический тензор в точке принял лоренцев вид, и коэффициенты связности в этой точке обратились в нуль.

Можна выбрать единственную систему координат $\xi ^i$, такую, что в ней это будет выполнятся, да? Это и будет выражением принципа эквивалентности?

Цитата:

а что вы, собственно, называете однородным гравитационным полем и что статичным?

Статичное, в моем понимание, это то грав. поле, которое вообще не меняется со временем
Однородное, это которое в каждой точке пространства-времени характеризуется постоянным "вектором напряженности грав. поля". В любой точке однородного грав. поля частица испытывает постоянное ускорение свободного падения. Но такое грав. поле с точки зрения геометрии ОТО это эквивалент глобально плоского пространства-времени, да? Поэтому смысла его рассматривать в ОТО нет?

[misha.physics]

svv, да, спасибо. Таким способом я уже получал уравнение геодезической. Это по-моему, более геометрический способ. И кристоффели как коефициенты разложения мне понятны. Это из деривационной формулы Гаусса. И этот способ начинается с уравнения паралельного переноса, потом как частный случай вводится "уравнение" для ковариантной производной... А вот у Вайнберга о ней пока ни слова :) Со временем у меня должно произойти "великое объединение" разных подходов к одному и тому же.

-- 05 ноя 2017, 01:28 --

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

Но такое грав. поле с точки зрения геометрии ОТО это эквивалент глобально плоского пространства-времени, да?

Кстати, прошу прощения, я не так выразился. Я имел ввиду, что такое однородное грав. поле можно исключить введением одной локальной ИСО для всего пространства-времени.

[Geen]

svv в сообщении #1262281 писал(а):

чтобы параллельный перенос сохранял скалярное произведение векторов.

Вообще говоря, поднятие-опускание индексов (скалярное произведение) это третий тип "связности" - совершенно необязательно использовать для этого метрический тензор. Более того, при построении всяких приближений так часто и делают - например, используют нулевое приближение метрического тензора.

[misha.physics]

Значит, сначала мы получили уравнения:
$\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}$
$d\tau^2=-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ (это определение для $g_{\mu\nu}$)
$\Gamma^{\sigma}_{\lambda\mu}=\frac{1}{2}g^{\nu\sigma}\left\lbrace{\frac{dg_{\mu\nu}}{dx^{\lambda}}+\frac{dg_{\lambda\nu}}{dx^{\mu}}-\frac{dg_{\mu\lambda}}{dx^{\nu}}}\right\rbrace$
Но эти уравнения мы рассматривали отдельно для каждой точки $x^{\mu}$ ПВ с координатами $x^{\mu}$ в СК $x^{\mu}. Но оказалось, что, например, $g_{\mu\nu}$ в разных точках пространства-времени $x^{\mu}$ связанны между собой. Т.е. сущестует "одна" функция $g_{\mu\nu}(x^{\lambda})$. И теперь эти все уравнения мы рассматриваем как одни целые уравнение для любой точки ПВ. Теперь главное найти $g_{\mu\nu}(x^{\lambda})$.
Примерно так?

[svv]

По-моему, на данном этапе лучше рассуждать наоборот. Пусть тензорная функция $g_{ik}(x^\ell)$ известна.

Нужно понимать, что эта функция частично зависит от выбора системы координат, в то же время она содержит в себе информацию о свойствах самого пространства-времени, которые от выбора СК не зависят. Допустим, Вы работаете с псевдоримановым многообразием нулевой кривизны. Функция $g_{ik}(x^\ell)$ не может быть какой угодно — она должна соответствовать этому случаю (легко проверить, соответствует или нет).
Совершая различные преобразования координат, Вы будете получать всё новые и новые функции $g'_{ik}(x'^\ell)$, $\tilde g_{ik}(\tilde x^\ell)$ и т.д., но Вы не сможете получить какие угодно функции: все они будут соответствовать псевдориманову пространству нулевой кривизны.

Так вот, пусть эта функция известна. Тогда мы можем:
$\bullet$ Находить инвариантную длину любого вектора. Находить угол между векторами. Находить площади, объёмы, гиперобъёмы.
$\bullet$ Находить инвариантную длину (собственное время) времениподобной кривой $\int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_2}\sqrt{g_{ik}\frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda}} d\lambda$
и инвариантную длину пространственноподобной кривой $\int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_2}\sqrt{-g_{ik}\frac{dx^i}{d\lambda}\frac{dx^k}{d\lambda}} d\lambda$

$\bullet$ Найти величины $\Gamma^{i}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{ij}\left({\frac{dg_{k j}}{dx^{k}}+\frac{dg_{\ell j}}{dx^{\ell}}-\frac{dg_{k\ell}}{dx^{j}}}\right)$ и параллельно переносить векторы вдоль заданной кривой. Дифференцировать векторное поле вдоль кривой, сравнивая его с результатом параллельного переноса. Параллельно перенося вектор $u^i=\frac{dx^i}{ds}$ вдоль самого себя, получать прямейшую, т.е. геодезическую линию из уравнения
$\frac{d^2 x^{i}}{ds^2}+\Gamma^{i}_{k\ell}\frac{dx^{k}}{ds}\frac{dx^{\ell}}{ds}=0$

$\bullet$ и многое другое.

[misha.physics]

svv, все понятно и логично, спасибо.

Цитата:

получать прямейшую, т.е. геодезическую линию из уравнения
$\frac{d^2 x^{i}}{ds^2}+\Gamma^{i}_{k\ell}\frac{dx^{k}}{ds}\frac{dx^{\ell}}{ds}=0$

Значит, в таком подходе вообще даже не нужно рассматривать локальные ИСО, в которых свободная частица движется по прямой. И нам не нужно вообще думать о функциях перехода $\xi^i(x^{\mu})$. Достаточно просто взять полученное уравнение геодезической $\frac{d^2 x^{i}}{ds^2}+\Gamma^{i}_{k\ell}\frac{dx^{k}}{ds}\frac{dx^{\ell}}{ds}=0$, и сказать, что очевидно, что это траектория свободной частицы в даном пространстве-времени. Такой подход вызывает намного меньше вопросов. Понятно, что если есть какое-то псевдориманово пространство, то есть и определенная его метрика, заданная в каждой точке этого пространства.
Я, наверное, слишком долго разбираю этот момент, но потому что понимаю, что он очень важен для моего понимания ОТО. Дальше уже буду просто формально, технично работать с этими $\Gamma^i_{kl}$ и $g_{mn}$, "одновременно и сразу" для любой точки $x^{\mu}$.

[svv]

misha.physics в сообщении #1262525 писал(а):

Значит, в таком подходе вообще даже не нужно рассматривать локальные ИСО, в которых свободная частица движется по прямой.

Конечно, могут быть поставлены (преподавателем или автором книги) задачи, в которых такое рассмотрение является целью. Тут, понятно, придётся их рассмотреть. Другой пример — автор любимой книги опирается на такие системы при выводе какого-либо соотношения. Вы хотите проследить за его логикой и поэтому рассматриваете локальные ИСО.

И, понятно, когда-нибудь (скажем, через полгода) Вам уже придётся находить метрический тензор для какой-нибудь физической ситуации — опираясь на уравнения Эйнштейна. Но пока об этом не думайте. Считайте, что метрика задана, и что это «наше всё».

[Slav-27]

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

А ускорение будет непрерывним, потому что пространство-время непрерывно, да?

В физике часто приходится считать, что всё, что нужно, достаточно гладкое. Ну вы же, например, верите, что в ОТО можно считать производные, например что мировая линия частицы дифференцируема и т. д. Почему? Почему вообще при построении модели пространства-времени (предназначенной для описания мира на достаточно больших масштабах, при достаточно маленьких энергиях и т. д. и т. п.) берут за основу гладкое многообразие? Как всегда -- потому что именно такие модели (в пределах своей применимости) хорошо предсказывают результаты экспериментов.

Ну а с математической точки зрения: потому что геодезическая задаётся определённой системой обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, и можно доказать строго, что если метрика достаточно гладкая, то и геодезическая тоже...

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

"Такой системы" это такой, в которой эта линейная комбинация зануляется?

"Такой системы" -- это системы, инерциальной в данной точке. В этой системе координат все коэффициенты связности в этой точке равны нулю, следовательно и ускорение частицы, которая движется по геодезической, проходящей через эту точку -- тоже.

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

В смысле, в координатах $\xi ^i$?

Из $g_{\mu\nu}\big|_p=\eta_{\mu \nu}$ в некоей системе координат не следует $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}\big|_p=0$ в этой системе координат. И наоборот тоже не следует.

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

Цитата:

Всегда можно, однако, добиться, чтобы и метрический тензор в точке принял лоренцев вид, и коэффициенты связности в этой точке обратились в нуль.

Можна выбрать единственную систему координат $\xi ^i$, такую, что в ней это будет выполнятся, да?

Всё равно такой выбор можно сделать разными способами.

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

Статичное, в моем понимание, это то грав. поле, которое вообще не меняется со временем

Ну вот встанем в какую-нибудь точку $p$. Из неё можно выпустить много времениподобных кривых, направленных в будущее. Вдоль какой из них что-то не должно меняться? И что именно не должно меняться вдоль неё?

misha.physics в сообщении #1262323 писал(а):

Однородное, это которое в каждой точке пространства-времени характеризуется постоянным "вектором напряженности грав. поля".

А это что-то совсем дурацкое. "Вектора напряжённости грав. поля" в ОТО нету.

[misha.physics]

Slav-27, о статичности и однородности грав. поля я говорил как о понятиях для геометрии пространства-времени.
Статичность грав. поля я понимал как то, что распределение мас в ПВ не меняется во времени вообще (во времени они "движутся", конечно, но в пространстве они неподвижны, и масса тел, например, не изменяется со временем). И пробные движущиеся частицы не изменят грав. поле.
А для однородности я использовал понятие вектора напряженности "в скобках" просто чтобы подчеркнуть, что оно одинаковым образом действует на движение частицы в любой точке ПВ. Но полезности в таком поле я не вижу. Да и в полезности в таких моих определениях однородности и статичности ПВ я уже тоже сомневаюсь :)

-- 05 ноя 2017, 19:34 --

svv,

misha.physics в сообщении #1262525 писал(а):

Значит, в таком подходе вообще даже не нужно рассматривать локальные ИСО, в которых свободная частица движется по прямой.Такой подход вызывает намного меньше вопросов.

Но в таком подходе, я уже не вижу где здесь используется принцип эквивалентности.

[svv]

В соответствии с принципом эквивалентности, для выбранной точки $P$ существует локально инерциальная система координат — в которой уравнения движения частиц в малой окрестности $P$ имеют такой же вид, как в лоренцевых координатах СТО (их также называют «галилеевы» и даже «декартовы»). В этой системе в точке $P$ метрический тензор имеет вид $\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$, а все $\Gamma^i_{k\ell}$ обращаются в нуль.

Это означает, что в этой точке обращается в нуль и комбинация $T^i_{k\ell}=\Gamma^i_{k\ell}-\Gamma^i_{\ell k}$. Как Вы знаете, набор компонент $T^i_{k\ell}$ образует тензор — тензор кручения $\textsf{T}$. А если все компоненты тензора в точке равны нулю в некоторой системе координат, они равны нулю и в других системах координат, и про тензор можно сказать: он в данной точке нулевой, безотносительно к системе координат.

А теперь представьте, что тензор $\textsf{T}$ в некоторой точке $P$ ненулевой. А мы перешли в локально-инерциальную систему, где он нулевой. Значит, он в любой СК нулевой... но как же это, он же ненулевой. Как разрешится это противоречие? Может, Вселенная взорвётся?