Произвольные координаты в ОТО

[Slav-27]

(Erleker)

Ну лоренцева система координат в одной-единственной данной точке, например, -- это что-то бессмысленное.

Напишете лучше, чем я, -- только рад буду.

misha.physics
Ну да, как-то так.

[Erleker]

misha.physics
Да. Только еще раз: символы Кристоффеля обнуляются и метрика делается галилеевой в точке не в одних каких-то конкретных координатах, таких координат бесконечно много.

Slav-27
СК, которая лоренцева в данной точке.

[Slav-27]

Erleker
И правда.

[misha.physics]

Значит есть некая неопределенность в выборе ЛИСО, ну это пока отложим на потом.

Значит, если мы будем знать $\Gamma^i_{kl}$ в каждой точке ПВ, то мы будем знать уравнение $\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau ^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=0$ в каждой точке ПВ. А это уравнение геодезической в ПВ. Задав начальные условия, мы решим это уравнение (я надеюсь ) и получим геодезическую - траекторию свободной частицы в ПВ в произвольных координатах $x^{\mu}$. А поскольку частица движеться только под действием "гравитации", то геодезическая будет зависеть только от "гравитации". А что в уравнении $\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau ^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=0$ может зависить от "гравитации" - только символы Кристоффеля $\Gamma^i_{kl}$.
Это я стараюсь логически мыслить, но нужно читать дальше. Но я стал чувствовать себя более уверенным.

Кажется теперь понятно почему мы используем произвольные координаты. Потому что геометрия ПВ кривая, зависит от распределения вещества и может менятся. И если мы хотим ввести глобальную СО то она должна быть криволинейной и для каждой модели ПВ можно брать "свою" СО. (Наверное даже потому недостаточно одной глобальной СО для покрытия всего ПВ, почему недостаточно одной карты для глобуса. Такая уж топология).

-- 03 ноя 2017, 21:20 --

Я рискну забежать вперед для чисто качественных рассуждений.

Полевые уравнения грав. поля. это уравнения на метрический тензор $g_{ik}$. Задаем распределение вещества (ну и разных там полей, не гравитационных) - тензор энергии-импульса $T_{ik}$. Решаем уравнения, получаем метрику $g_{ik}$. Зная метрику, считаем символы Кристоффеля. А зная их, решаем уравнение геодезической и получаем траекторию свободной частицы (о других силах я пока боюсь даже думать) в грав. поле, "созданным" тензором $T_{ik}$. Значит у нас нет необходимости обратно возвращаться в локальные лоренцевы СО. Нам не нужно искать функции $\xi ^i=\xi ^i(x^{\mu})$, разные для каждой точки ПВ. Координаты $\xi ^i$ нам нужны были только для того, чтобы записать уравнение геодезической, потому что мы знали как записать уравнение свободной частицы в ЛИСО, т.е. в самом простом случае. А потом мы формально перешли к произвольным координатам $x^{\mu}$. И теперь мы будем работать только в координатах $x^{\mu}$... Это первое что пришло в голову. Может это лишь мои мечты :)

Мне постоянно не хватает какой-то полной картины (или её наброска), чтобы было понятно, что и вообще для чего мы все это делаем.

-- 03 ноя 2017, 21:25 --

А уже эти операции паралельного переноса, ковариантного дифференцирования на многообразиях и т.д. это уже математические методы исследования тензоров на многообразиях и.д. Мне кажется для изучения ОТО нужно начать с идеи, и проследить её качественно от начала до конца. А потом уже понимая, для чего мы что-то делаем, приступать к переведению етой идеи на словах на математический язык.

[Erleker]

misha.physics
Да, примерно так.
ЛИСО действительно только для вывода. Просто $\Gamma^i_{kl}$ получаются у нас такими (выражаются через $g_{ik}$ известным образом), если мы требуем (и в выводе через ЛИСО у Вайнберга это требование "вшито"):

Erleker в сообщении #1261900 писал(а):

1. Существуют СК, в которых они локально зануляются.
2. $Dg_{ik}=0$

А могли бы и не требовать (и есть теории гравитации с кручением и пр. (но, как говорит Munin, это не мейнстрим)).

[misha.physics]

Erleker в сообщении #1261962 писал(а):

misha.physics

Erleker в сообщении #1261900 писал(а):

1. Существуют СК, в которых они локально зануляются.
2. $Dg_{ik}=0$

Ага, речь идет о ЛИСО, в которых "они" локально зануляются. Я сразу не понял
А это случайно не отражение того факта, что ПВ это многообразие, которое локально напоминает евклидово (в случае ПВ псевдоевклидово, или лучше пространство Минковского) пространство той же размерности?

[Erleker]

Этот факт отражает метрика. Связность задается отдельно.

[misha.physics]

Erleker, вот это мне пока непонятно. Я не очень понимаю что такое связность, но так назвали символы Кристоффеля в книге, пока думаю что это они и есть. Я думал, что если задана метрика то автоматически заданы и символы Кристоффеля, т.е. связность. Ведь символы Кристоффеля считаются с помощью метрики. Или я неправильно понял, в каком смысле они задаются отдельно...

[Erleker]

misha.physics Не, эти $\Gamma^i_{kl}$ задаются, чтобы ввести операцию ковариантного дифференцирования тензоров, чтобы $DA^i=dA^i+\Gamma^i_{kl}A^kdx^l$ (сравниваются $A^i$ в бесконечно близких точках) был вектором (преобразовывался как вектор).
Общеизвестное выражение через метрику - частный случай, получаемый из соображения принципа эквивалентности.

Но, наверное, сейчас в это вам можно и не вникать. В ОТО связность одна и на эту тему можно не думать.

[misha.physics]

Erleker, вот кстати, ещё одна трудность изучения по разным книгам. Например в Вайнберге, $\Gamma ^i_{kl}$ впервые появляются как просто обозначение для комбинации производных от функций перехода $\xi ^i(x^{\mu})$. В ЛЛ-2, $\Gamma ^i_{kl}$ появляются при ковариантном дифференцировании. Я как-раз до этой формулы, которую вы привели для $DA^i$ и дошел. И здесь понял, что такое краткое объяснение для меня непонятно. В книге по диф. геометрии поверхности, $\Gamma ^i_{kl}$ вообще вводятся как коеффициенты в разложении вторых производных от параметризации по первым производным, т.е. по векторам $\boldsymbol{r_u}$ и $\boldsymbol{r_v}$. Я понимаю что эти $\Gamma ^i_{kl}$ во всех этих представлениях должны быть одним и тем же. Но логичеки связать все это в одну картину не получается... Но согласен, с этим пока можно не углублятся.

[Geen]

misha.physics в сообщении #1261967 писал(а):

Я не очень понимаю что такое связность, но так назвали символы Кристоффеля в книге, пока думаю что это они и есть.

Вообще говоря нет - символы Кристоффеля это то, что выражается через метрику. А аффинная связность (Гамма) - это совсем отдельная структура, она задаёт "параллельный перенос". Геодезические и тензор Римана выводятся именно из аффинной связности. Однако, есть естественное желание, что бы геодезические были экстремальны с точки зрения метрики. И вот тут оказывается, что аффинная связность равна символам Кристоффеля (с точностью до тензора кручения).

[misha.physics]

Geen, спасибо. Значит мне ещё многое предстоит узнать...

[misha.physics]

Значит, когда Вейнберг вводит СК $\xi ^{\alpha}$, он предполагает, что это ЛИСО, заданная в малой окрестности какой-то данной точки ПВ. В той точке где в данный момент находится частица. Но говорится, что в СК $\xi ^{\alpha}$ частица движется по прямой линии. Почему не сказать что частица в этой СК покоится? Разве мы не с частицей связываем СК?

А, нет это безсмысленно, в такой СК частица всегда будет покоится по определению.

Нет, все-таки будет прямая линия (мировая линия), время то в такой СК течёт. Я забываю, что время это одна из координат.

[Erleker]

misha.physics Можно сказать (вернее, выбрать такую ЛИСО).
Нетрудно понять, что если по отношению к этим $\xi ^{i}$ применять ПЛ, то в данной точке условия $\Gamma ^i_{kl}=0$ ( $d^2\xi'^i/ds^2=0$) и $ds^2=\eta_{ik}d\xi'^id\xi'^k$ все еще будут выполняться. А скорость любой частицы таким образом можно занулить.

-- 04 ноя 2017 12:27 --

misha.physics в сообщении #1262131 писал(а):

А, нет это безсмысленно, в такой СК частица всегда будет покоится по определению.

Не обязательно.

[misha.physics]

А я правильно понял, что:
Эсли грав. поле однородно и статично, то можно выбрать одну ЛИСО для всего ПВ.
Эсли грав. поле только однородно, то можно брать ЛИСО с конечнимы пространственными размерами, но для каждой малой области времени свою.
Эсли грав. поле только статично, то можно брать ЛИСО с конечной временной координатой, но для каждой малой пространственной области ПВ свою?

-- 04 ноя 2017, 11:44 --

Эсли бы грав. поле было хотя бы статично, то можно было бы выбрать маленький лифт, связанный с частицей (падающий вместе с ней в грав. поле), и эта частица постоянно была бы в нем неподвижна, относительно пространственных координат. Менялось бы только время.

-- 04 ноя 2017, 12:09 --

Но даже эсли ПВ и неоднородно и не статично, то почему нельзя выбрать бесконечно малый лифт только в смысле пространственной области ПВ. Почему область времени должна быть малой. Ведь в малой области пространства изменение ПВ со временем будет одинаковым (как бы "синхронным") в каждой точке этой малой пространственной области. Изменение грав. поля одновременно подействуют на движение и частицы и на лифта, и не всё что будет в этой малой пространственной области лифта. Почему мы не можем следить за движением частиц в этом малом лифте на протяжении конечного промежутка времени, и считать при этом, что этот лифт это ЛИСО.
Хочется понять это, прежде чем идти дальше в математику... Сейчас непонимания больше в физике, чем в математике...

-- 04 ноя 2017, 12:12 --

misha.physics в сообщении #1262140 писал(а):

-- 04 ноя 2017, 11:44 --
Эсли бы грав. поле было хотя бы статично, то можно было бы выбрать маленький лифт, связанный с частицей (падающий вместе с ней в грав. поле), и эта частица постоянно была бы в нем неподвижна, относительно пространственных координат. Менялось бы только время.

Т. е. почему этого не было бы, даже эсли грав. поле было бы нестатичным.