Если же Вы хотите, например, определить плотность воздуха, то нужно взять жёсткий герметичный сосуд известного объёма, взвесить его с воздухом, потом воздух откачать до достаточно малого давления, и взвешивать "пустой" сосуд.
Ну, вообще-то это Вы изначально хотели именно получить число: "Воздух мы таким образом взвесим, но за вычетом архимедовой силы".
Опыт, который Вы только что описали - общеизвестный, проводимый на школьных уроках физики.
А что касается Вашего опыта с надуванием шарика, который Вы теперь перевели в категорию качественного, а не количественного эксперимента, то я могу, например, на Ваш вывод возразить, что этот эксперимент не доказывает, что у газа есть вес. Просто объём резины, из которой сделан шарик, уменьшился, архимедова сила - уменьшилась - вот и увеличилась сила давления шарика на весы.