2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение22.08.2017, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
615
МО
george66 в сообщении #1241695 писал(а):
Про топос графов популярная статья https://arxiv.org/abs/math/0306394

Все-таки недостаточно (популярная) для моего уровня ;) но я понял, что это про пример 7.9.
И конечные автоматы затрагиваются..
Обязательно прочту, спасибо!
--
Цитата:
self-contained example of “combinatorial topos”, which can be extremely useful to anyone wanting to get acquainted with topos-theoretical definitions

Это конечно, но еще интереснее было бы про эффект в другую сторону ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение05.09.2017, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
615
МО
Вопрос по примеру 10.55.
Я правильно понимаю, что подразумевается категория наборов стрелок для всевозможных пар объектов исходной категории?
Где стрелки из $\mathsf{K}(A,B)$ в $\mathsf{K}(C,D)$ задаются парами стрелок $f: C \to A, g: B \to D$ исходной категории.
И изоморфизм, соответственно, в этой категории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение05.09.2017, 20:49 


31/12/15
234
Нет, это просто изоморфизм множеств в $\mathsf{Set}$. Есть взаимно однозначное соответствие между множествами
$\mathsf{K}(D,A\times B)$ и $\mathsf{K}(D,A)\times \mathsf{K}(D,B)$
Никакой специальной категории там нет, просто $\mathsf{Set}$. Взаимно однозначное соответствие сопоставляет каждому элементу множества $\mathsf{K}(D,A\times B)$ (то есть, стрелке вида $h\colon D\to A\times B$) элемент множества $\mathsf{K}(D,A)\times \mathsf{K}(D,B)$ (то есть, пару стрелок вида $f_1\colon D\to A$ и $f_2\colon D\to B$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение06.09.2017, 00:19 


31/12/15
234
То, что Вы пишете -- это примерно категория $\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}$. Только её объекты -- это просто пары объектов вроде $(A,B)$ и $(C,D)$, а стрелками из $(A,B)$ в $(C,D)$ будут именно пары стрелок $f\colon C\to A$, $g\colon B\to D$
Дальше, зафиксировав $D$, имеем два функтора из $\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}$ в $\mathsf{Set}$
$F(A,B)=\mathsf{K}(D,A\times B)$
$G(A,B)=\mathsf{K}(D,A)\times\mathsf{K}(D,B)$
Эти функторы естественно изоморфны. При любых фиксированных $A,B$ получаем просто взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств (изоморфизм в $\mathsf{Set}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение06.09.2017, 11:47 


31/12/15
234
Ой, какую фигню я написал в прошлом комментарии. Приведённые там функторы оба действуют так
$F,G\colon \mathsf{K}\times\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$
и $\mathsf{K}^{op}$ вообще ни при чём. Предыдущий комментарий не считать здравым.

-- 06.09.2017, 11:51 --

Можно определить
$F(D,A,B)=\ldots$
$G(D,A,B)=\ldots$
тогда они будут такого типа $F,G\colon\mathsf{K}^{op}\times\mathsf{K}\times\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение06.09.2017, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
615
МО
Я Вас запутал ;)
Сори, в задаче прямо что изоморфизм в $\mathsf{Set}$ сказано же, это я по обыкновению только формулы, а текст мимо ушей пропустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение24.10.2017, 22:35 


24/10/17
1
Пример 6.7.
Условие "Пусть K1 и K2 – малые категории предпорядка."
Видимо, имеет смысл ослабить до:
"Пусть K1 -малая категория, а K2 – малая категория предпорядка."

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение24.10.2017, 22:50 


31/12/15
234
gor в сообщении #1258732 писал(а):
Пример 6.7.
Условие "Пусть K1 и K2 – малые категории предпорядка."
Видимо, имеет смысл ослабить до:
"Пусть K1 -малая категория, а K2 – малая категория предпорядка."

Это верно, но тут на будущее пример декартово замкнутой категории (категория частично упорядоченных множеств и монотонных отображений, в ней есть "экспоненты")

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение29.10.2017, 16:34 


31/12/15
234
Приснилась фраза "Теория множеств не даёт молока, но всех оплодотворяет", хочу со всеми поделиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение13.01.2018, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5691
Москва
george66 в сообщении #1260173 писал(а):
Приснилась фраза "Теория множеств не даёт молока, но всех оплодотворяет", хочу со всеми поделиться.


(Оффтоп)

Самэц, однако!

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение13.01.2018, 10:20 


31/12/15
234
Кстати, на arxiv.org есть два раздела "логика" -- в "Математике" и в "Computer science". И вот в математическом разделе на этой неделе две статьи, где в соавторах Сахарон Шелах и ещё две где он в названии
https://arxiv.org/list/math.LO/recent
Не пора ли гнать Шелаха? Рассказывал Денис Савельев (на прошлой неделе там была его статья, совместная с Шелахом):
идёт конференция по теории множеств на деньги чудаковатого миллионера, миллионер присутствует. Выходит Шелах и произносит вступительную речь -- вздымает руки вверх "Большие кардиналы!" Разводит в стороны "Универсум!"

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение08.02.2018, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
615
МО
Вопрос по упражнению 12.33. Точнее, просьба о помощи ;)
В одну сторону б.-.м. понятно, если имеем стрелку $\varphi: A \to B$, можем нарисовать:
$\xymatrix{{{1\times A}\cong A}\ar[rd]^{\varphi}\ar@{-->}[d]_{\Lambda(\varphi)\times id_A}\\{B^A \times A}\ar[r]^{ev}&B}$
откуда видно, что стрелке соответствует элемент $B^A$.
А как в обратную сторону? что-то торможу ;(

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение08.02.2018, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5956
Так в обратную сторону та же самая диаграмма - если есть $\gamma \colon 1 \to B^A$, то $\mathrm{ev} \circ (\gamma \times \mathrm{id}) \circ \left< !, \mathrm{id} \right> \colon A \to B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение08.02.2018, 15:48 


31/12/15
234
Да, по стрелке $\gamma\colon 1\to B^A$
делаем стрелку
$\gamma\times id\colon 1\times A\to B^A\times A$
и к ней приделываем $ev$
$ev\circ(\gamma\times id)\colon 1\times A\to B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Написал учебник теории категорий
Сообщение09.02.2018, 06:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
615
МО
А, ну да, с другой стороны посмотреть ;)
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 135 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group