2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение29.09.2017, 00:09 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение29.09.2017, 00:29 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251665 писал(а):
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?


Да, условие на перестановку элементов (сохранение свойств $A$) может быть сужено сформулировано таким образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение19.10.2017, 13:43 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251665 писал(а):
Есть ли требование, что столбцы матрицы, полученной из $A$ перестановкой элементов (давайте всё-таки эту матрицу обозначать буквой $B$) должны получаться циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$ до перестановки?

С учетом вопросов заинтересованных участников выкладываю уточненную формулировку задачи с примером:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом одного и того же первого столбца.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 21:39 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
maximkarimov в сообщении #1256891 писал(а):
Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.
К сожалению, это (подчёркнутое мной) тоже неверно. :-(
$A=\begin{bmatrix}3&3\\4&4\end{bmatrix}\quad\quad AA^T=\begin{bmatrix}18&24\\24&32\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{AA^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
$B=\begin{bmatrix}5&5\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad BB^T=\begin{bmatrix}50&0\\0&0\end{bmatrix}\quad\quad\chi_{BB^T}(\lambda)=\lambda^2-50\lambda$
Вы не расстраивайтесь, задачка всё равно интересная. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 21:59 


26/09/17
17
svv в сообщении #1257361 писал(а):
задачка всё равно интересная

Согласен, очень интересная! Обещаю показать, откуда такие матрицы берутся!
Но Вы снова не поняли условие - в приведенном Вами примере столбцы в матрице $B$ не являются циклическим сдвигом того же самого столбца (первого), что и в матрице $A$ (как указано в условии). Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 22:02 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Правильно, не являются. Хотя, в соответствии с утверждением, должны являться, раз характеристические полиномы совпадают.

-- Пт окт 20, 2017 22:06:01 --

maximkarimov в сообщении #1257370 писал(а):
Даже не знаю как еще переформулировать, чтобы избежать двоякого толкования)))
Возможно, так?
«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение20.10.2017, 22:09 


26/09/17
17
svv в сообщении #1257373 писал(а):
должны являться


Утверждение высказано только в отношении матриц, столбцы которых являются циклическими сдвигами ОДНОГО И ТОГО ЖЕ столбца. Ну посмотрите мой пример - в нем каждый столбец матрицы $A$ и матрицы $B$ является циклическим сдвигом одного и того же столбца. А у Вас - не так.

-- 20.10.2017, 23:11 --

svv в сообщении #1257373 писал(а):
«...в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$


Точно! Спасибо! Что-то я с самого начала с формулировкой перемудрил)))

-- 20.10.2017, 23:15 --

Итак, надеюсь финальная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы одного порядка, в которых каждый столбец является произвольным циклическим сдвигом первого столбца матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\2&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\\2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение21.10.2017, 12:25 


26/09/17
17
Эквивалентная формулировка:
$A$ и $B$ - неотрицательные вещественные матрицы с равным количеством строк, в которых каждая строка является произвольным циклическим сдвигом первой строки матрицы $A$.
Пример:

$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&1&2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&0\end{bmatrix}$

Утверждение: характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ равны если и только если $A$ является перестановкой строк и столбцов $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение23.10.2017, 23:25 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Контрпример:
$A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&2&3\\3&3&1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1&1&3\\2&2&1\\3&3&2\end{bmatrix}$
Характеристические полиномы $AA^T$ и $BB^T$ совпадают, но $A$ нельзя получить из $B$ перестановками строк и столбцов.

(Подробнее)

Т.к. матрицы квадратные, $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$ эквивалентно $\chi(A^TA)=\chi(B^TB)$, а последнее справедливо потому, что $A^TA=B^TB$.

Насчёт невозможности перевести $B$ в $A$ перестановками. Достаточно заметить, что при любых перестановках строк и столбцов $B$ сохраняется свойство «одна из строк матрицы содержит две единицы и тройку», которым не обладает $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение24.10.2017, 13:17 


26/09/17
17
svv в сообщении #1258433 писал(а):
Контрпример


Да, это корректный контрпример. А мое доказательство содержало огромную "дырку".
Я все же сохраняю надежду, что утверждение верно в отношении более узкого класса объектов (который я изучаю). Если позволите, то вместо строгого определения последнего (которое довольно громоздкое) я попробую неформально сформулировать дополнительные условия на первый столбец матрицы $A$:

Пусть в некоторой вершине простого графа-цикла расположен элемент $a$ (метка). Первый столбец матрицы $A$ - упорядоченное в порядке смежности вершин графа множество чисел, каждое из которых равно минимальной длине простого пути от вершины, в которой расположена "метка" до соответствующей вершины графа. Пример:

$[1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с четным числом вершин.
$[2 1 0 1 2]$ - первая строка матрицы $A$ для графа с нечетным числом вершин.

Если утверждение неверно с учетом такого сужения - пойду в хозяйственный магазин за веревкой и мылом!)))
P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 09:27 


26/09/17
17
maximkarimov в сообщении #1258560 писал(а):
P.S. Матрицы $A$ и $B$ получаются, если в вершинах графа произвольным образом расположить несколько элементов $a$ (в том числе несколько элементов $a$ могут быть расположены в одной и той же вершине).

Иными словами, если одинаковое количество элементов $a$ (меток) разместить в вершинах простого графа-цикла РАЗЛИЧНЫМ образом (с точностью до инверсии и сдвига вершин графа), то мы получим матрицы $A$ и $B$, у которых одинаковое количество строк (равно количеству вершин), одинаковое количество столбцов (равно количеству меток), но характеристические многочлены $AA^T$ и $BB^T$ РАЗЛИЧНЫ (не равны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 21:21 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Всё понятно. :-) Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение25.10.2017, 22:52 


26/09/17
17
svv в сообщении #1259030 писал(а):
Для очень специального вида матриц, который Вы описали, вполне возможно, Ваше утверждение справедливо.

С одной стороны действительно можно сказать, что матрицы очень специального вида и потому задача "малоинтересна" (специальна). С другой - отображение в матрицы такого вида может быть определено (существует) для любых объектов, описываемых на языке теории категорий - имеется декартово произведение двух множеств $A$ и $B$ и функция, которая каждой паре элементов, один из которых принадлежит множеству $A$, а другой - множеству $B$, ставит в соответствие некоторое число. Иными словами - задача имеет очень общий характер, а значит:
svv в сообщении #1257361 писал(а):
задачка всё равно интересная

Надеюсь, что Вы не утратили к ней интерес. Лично мне самостоятельно с ней похоже уже не справиться.(((

-- 26.10.2017, 00:16 --

svv в сообщении #1259030 писал(а):
Я, на самом деле, с самого начала всё это представлял наглядно.

Это очень интересно. Для всех, кому я объяснял эту задачу до Вас, это было самое трудное место (отображение графа в такую матрицу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение26.10.2017, 03:50 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Ответил в личном сообщении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group