2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение26.09.2017, 14:50 


26/09/17
17
$A$ - неотрицательная вещественная матрица, каждый столбец которой является произвольным циклическим сдвигом ее первого столбца. Докажите, что при перестановке элементов $A$ характеристический многочлен матрицы $M = AA^T$ (произведение матрицы на свою транспонированную) меняется если и только если такая перестановка не является перестановкой строк и/или столбцов $A$ либо не является перестановкой равных элементов $A$ (в тривиальном случае).
ВНИМАНИЕ:
1. Циклический сдвиг является произвольным, если j-столбец циклически сдвинут относительно первого столбца вверх либо вниз на n-позиций НЕЗАВИСИМО от сдвига других столбцов.
2.Перестановка строк и/или столбцов означает как перестановку строк ИЛИ столбцов, так и перестановку строк И столбцов (композицию).

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.09.2017, 21:44 
Модератор


19/10/15
1188
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.09.2017, 08:24 
Модератор


19/10/15
1188
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 22:06 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
maximkarimov в сообщении #1250926 писал(а):
меняется если и только если
Контрпример. Возьмём матрицу $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}$. Перестановкой элементов получим $B=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A^T$.

Матрицу $B$ нельзя получить из $A$ перестановками строк и столбцов. Тогда, согласно утверждению, должно быть $\chi(AA^T)\neq\chi(BB^T)$, то есть $\chi(AB)\neq\chi(BA)$. Но, как известно, для квадратных матриц $A$ и $B$ одного размера характеристические многочлены матриц $AB$ и $BA$ совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 22:43 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251334 писал(а):
Контрпример

Действительно, формулировка условий задачи содержит неточность.
Необходимое уточнение: "Докажите, что при перестановке элементов А, которая сохраняет ее свойство (зависимость столбцов)..." далее по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 22:54 


20/09/05
85
maximkarimov в сообщении #1251348 писал(а):
Необходимое уточнение: "Докажите, что при перестановке элементов А, которая сохраняет ее свойство (зависимость столбцов)..."

Что это значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:05 


26/09/17
17
NDP в сообщении #1251351 писал(а):
Что это значит?


Это значит что перестановка элементов А, которая приведена в контрпримере, не является допустимой (столбцы матрицы В не являются циклическими сдвигами ее первого столбца).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:09 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Сдвиньте первый столбец циклически на любое чётное число, получите второй.

Ещё до отправки Вашей темы в Карантин в стартовом сообщении был пример. Там второй столбец $A$ совпадал с первым, а третий отличался от них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:13 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251357 писал(а):
Сдвиньте первый столбец на любое чётное число, получите второй.

svv в сообщении #1251334 писал(а):
Перестановкой элементов получим $B=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}$.


Как ни сдвигать первый столбец матрицы B ее второй столбец не получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
А разве этим свойством не должна обладать только матрица $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:16 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251357 писал(а):
Там второй столбец $A$ совпадал с первым, а третий отличался от них.


Да, был приведен именно такой пример. Но там третий столбец являлся циклическим сдвигом первого столбца.

-- 28.09.2017, 00:17 --

svv в сообщении #1251360 писал(а):
А разве этим свойством не должна обладать только матрица $A$?


Матрица А должна обладать этим свойством как до, так и после перестановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:22 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
maximkarimov в сообщении #1251361 писал(а):
Матрица А должна обладать этим свойством как до, так и после перестановки.
Хорошо, я понял. Но Вы согласны, что перестановка строк $A$, вообще говоря, (а на практике чаще всего) это свойство не сохраняет? (в отличие от перестановки столбцов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение27.09.2017, 23:30 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251363 писал(а):
Но Вы согласны, что перестановка строк $A$, вообще говоря (а на практике чаще всего), это свойство не сохраняет?


Согласен что "чаще всего", но не вообще говоря)
По сути, речь идет о том, что характеристический многочлен меняется если меняется набор циклических сдвигов - с уточнением, что наборы, которые получены перестановкой строк и/или столбцов, считаются эквивалентными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение28.09.2017, 00:04 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
В одну сторону — легко: если матрица $B$ получена из $A$ перестановками строк и столбцов, то $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$. Тут никакие специальные свойства $A$ не требуются.

Достаточно доказать, что характеристический полином $AA^T$ не меняется при перестановке любых двух строк $A$, а также при перестановке любых двух столбцов $A$.

Пусть $B$ получается из $A$ перестановкой $i$-й и $k$-й строки, тогда $B^T$ получается из $A^T$ перестановкой $i$-го и $k$-го столбца, а $BB^T$ получается из $AA^T$ перестановкой и строк, и столбцов с этими номерами. Значит, $BB^T=U^{-1}AA^TU$ подобна $AA^T$ и имеет тот же характеристический полином. ($U$ — соответствующая матрица перестановки)

Пусть $B$ получается из $A$ перестановкой двух столбцов. Сводим этот случай к предыдущему:
$\chi(AA^T)=\lambda^k \chi(A^TA)=\lambda^k \chi(B^TB)=\chi(BB^T)$
Здесь $k$ — число строк минус число столбцов матрицы $A$, может быть любым целым числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать свойство матриц специального вида
Сообщение28.09.2017, 00:14 


26/09/17
17
svv в сообщении #1251373 писал(а):
В одну сторону — легко: если матрица $B$ получена из $A$ перестановками строк и столбцов, то $\chi(AA^T)=\chi(BB^T)$. Тут никакие специальные свойства $A$ не требуются.


Да, это так. Более того, можно доказать, что характеристический полином $AA^T$ не меняется при умножении $A$ на любую ортогональную матрицу (в частности - на матрицу перестановки).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group